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6. ★★★ 如图，坡面CD的坡比为1：$\sqrt{3}$，坡顶的平地BC上有一棵小树AB，当太阳光线与水平线夹角成$60°$时，测得小树在坡顶平地上的树影BC=3米，斜坡上的树影CD=$\sqrt{3}$米，则小树AB的高是
$4\sqrt{3}$米
。答案
6. $4\sqrt{3}$米 解析:如图,由已知得$△ AFD$,$△ CED$ 为直角三角形,$∠ ADF=60°$,$FE=BC$,$BF=CE$,在 $\mathrm{Rt}△ CED$ 中,设 $CE= x$ 米,由坡面 $CD$ 的坡比为 $1:\sqrt{3}$,得 $DE=\sqrt{3}x$ 米,则根据勾股定理得 $x^2+(\sqrt{3}x)^2=(\sqrt{3})^2$,解得 $x=\frac{\sqrt{3}}{2}(x=-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{ 不合题意,舍去})$,$\therefore CE=\frac{\sqrt{3}}{2}$米,则 $ED=\frac{3}{2}$米,那么 $FD=FE+ED= BC+ED=3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$(米), 在 $\mathrm{Rt}△ AFD$ 中,$\frac{AF}{FD}=\tan∠ ADF$,$\therefore AF=FD · \tan 60°=\frac{9}{2} × \sqrt{3}=\frac{9\sqrt{3}}{2}$(米),$\therefore AB=AF-BF= AF-CE=\frac{9\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$(米),故答案为$4\sqrt{3}$米.
解析
【分析】
要解决这道题，需通过作辅助线构造直角三角形，将坡比、光线夹角的条件转化为直角三角形的边角关系求解：第一步，过D作水平线DF交AB的延长线于F，过C作CE⊥DF于E，把斜坡CD拆分为垂直高度CE和水平宽度DE，利用坡比结合勾股定理求出CE、DE的长度；第二步，先计算总水平宽度FD（FD=BC+DE），再在含60°角的Rt△AFD中，利用正切函数求出AF的长度；最后，AB长度等于AF减去BF，而BF和CE长度相等，代入数值即可算出结果。
【解析】
解：如图，过D作水平线DF交AB的延长线于点F，过C作CE⊥DF于点E，可得△AFD、△CED均为直角三角形，且∠ADF=60°，FE=BC，BF=CE。
在Rt△CED中，坡面CD的坡比为$1:\sqrt{3}$，即$\frac{CE}{DE}=\frac{1}{\sqrt{3}}$。设$CE=x$米，则$DE=\sqrt{3}x$米，由勾股定理得：
$x^2+(\sqrt{3}x)^2=(\sqrt{3})^2$
$4x^2=3$
解得$x=\frac{\sqrt{3}}{2}$（$x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$不符合实际意义，舍去）
$\therefore CE=\frac{\sqrt{3}}{2}$米，$ED=\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}$米
$\therefore FD=FE+ED=BC+ED=3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$米
在Rt△AFD中，$\tan∠ADF=\frac{AF}{FD}$，$\tan60°=\sqrt{3}$
$\therefore AF=FD·\tan60°=\frac{9}{2}×\sqrt{3}=\frac{9\sqrt{3}}{2}$米
又$\because BF=CE=\frac{\sqrt{3}}{2}$米
$\therefore AB=AF-BF=\frac{9\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$米
【答案】
$4\sqrt{3}$米
【知识点】
1. 解直角三角形的应用；2. 坡比的概念；3. 锐角三角函数
【点评】
本题结合实际场景考查解直角三角形的应用，解题关键是合理构造辅助线，将坡比、光线夹角等条件转化为直角三角形的边角关系计算，同时要注意结合实际意义舍去不合题意的解。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需通过作辅助线构造直角三角形，将坡比、光线夹角的条件转化为直角三角形的边角关系求解：第一步，过D作水平线DF交AB的延长线于F，过C作CE⊥DF于E，把斜坡CD拆分为垂直高度CE和水平宽度DE，利用坡比结合勾股定理求出CE、DE的长度；第二步，先计算总水平宽度FD（FD=BC+DE），再在含60°角的Rt△AFD中，利用正切函数求出AF的长度；最后，AB长度等于AF减去BF，而BF和CE长度相等，代入数值即可算出结果。
【解析】
解：如图，过D作水平线DF交AB的延长线于点F，过C作CE⊥DF于点E，可得△AFD、△CED均为直角三角形，且∠ADF=60°，FE=BC，BF=CE。
在Rt△CED中，坡面CD的坡比为$1:\sqrt{3}$，即$\frac{CE}{DE}=\frac{1}{\sqrt{3}}$。设$CE=x$米，则$DE=\sqrt{3}x$米，由勾股定理得：
$x^2+(\sqrt{3}x)^2=(\sqrt{3})^2$
$4x^2=3$
解得$x=\frac{\sqrt{3}}{2}$（$x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$不符合实际意义，舍去）
$\therefore CE=\frac{\sqrt{3}}{2}$米，$ED=\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}$米
$\therefore FD=FE+ED=BC+ED=3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$米
在Rt△AFD中，$\tan∠ADF=\frac{AF}{FD}$，$\tan60°=\sqrt{3}$
$\therefore AF=FD·\tan60°=\frac{9}{2}×\sqrt{3}=\frac{9\sqrt{3}}{2}$米
又$\because BF=CE=\frac{\sqrt{3}}{2}$米
$\therefore AB=AF-BF=\frac{9\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$米
【答案】
$4\sqrt{3}$米
【知识点】
1. 解直角三角形的应用；2. 坡比的概念；3. 锐角三角函数
【点评】
本题结合实际场景考查解直角三角形的应用，解题关键是合理构造辅助线，将坡比、光线夹角等条件转化为直角三角形的边角关系计算，同时要注意结合实际意义舍去不合题意的解。
【难度系数】
0.6
7. 如图是某地滑雪运动场大跳台简化成的示意图.其中AB段是助滑坡,倾斜角∠1=37°,BC段是水平起跳台,CD段是着陆坡,倾斜角∠2=30°,sin 37°≈0.6,cos 37°≈0.8.若整个赛道长度(包括AB,BC,CD段)为300 m,平台BC的长度是60 m,整个赛道的垂直落差AN是131 m,则AB段的长度大约是
110 m
.答案
7. 110 m 解析:过点 $C$ 作 $CF ⊥ DN$ 于 $F$,由题意,得 $BM ⊥ AN$,设 $AB$ 长为 $x$ m,在 $\mathrm{Rt}△ ABM$ 中,$∠ AMB=90°$,$\therefore \sin∠ ABM =\frac{AM}{AB}$,$\cos∠ ABM = \frac{BM}{AB}$.$\because ∠ ABM = ∠ 1 = 37°$,$\sin 37°\approx 0.6$,$\cos 37°\approx0.8$,$\therefore AM = 0.6x$ m, $BM = 0.8x$ m,$\therefore MN = AN - AM=(131-0.6x)\mathrm{m}$.$\because CF ⊥ DN$,$BM ⊥ AN$,$DN ⊥ AN$,$\therefore$ 四边形$CFNM$ 为矩形,$\therefore CF = MN = (131-0.6x)$ m. 在 $\mathrm{Rt}△ CDF$ 中,$∠ CFD = 90°$,$\therefore \sin∠ CDF = \frac{CF}{CD}$.$\because ∠ CDF = ∠ 2 = 30°$,$\therefore \sin 30°=\frac{131-0.6x}{CD}$,即 $\frac{1}{2}=\frac{131-0.6x}{CD}$,$\therefore CD = 2 ( 131 -0.6x)=(262-1.2x)\mathrm{m}$.$\because AB+BC+CD=300$ m,$BC=60$ m,$\therefore x+60+262-1.2x = 300$,解得 $x = 110$,$\therefore AB$ 段的长度大约是110 m.故答案为 110 m.
解析
【分析】
本题要求AB段的长度，可通过设未知数结合解直角三角形、矩形性质列方程求解。首先作辅助线CF⊥DN，将图形拆分为两个直角三角形和一个矩形；设AB长度为x m，先在Rt△ABM中利用∠1的三角函数表示出AM的长度，进而得到MN的长度，再根据矩形性质得到CF=MN；接着在Rt△CDF中利用∠2的三角函数将CD的长度用含x的式子表示；最后根据三段赛道总长度为300 m的等量关系列方程，解方程即可得到AB的长度。
【解析】
过点 $C$ 作 $CF ⊥ DN$ 于 $F$，由题意得 $BM ⊥ AN$，设 $AB$ 长为 $x$ m。
在 $\mathrm{Rt}△ ABM$ 中，$∠ AMB=90°$，$∠ ABM = ∠ 1 = 37°$，
$\because \sin∠ ABM =\frac{AM}{AB}$，$\cos∠ ABM = \frac{BM}{AB}$，$\sin 37°\approx 0.6$，$\cos 37°\approx0.8$，
$\therefore AM = 0.6x$ m， $BM = 0.8x$ m，
$\therefore MN = AN - AM=(131-0.6x)\mathrm{m}$。
$\because CF ⊥ DN$，$BM ⊥ AN$，$DN ⊥ AN$，
$\therefore$ 四边形$CFNM$ 为矩形，$\therefore CF = MN = (131-0.6x)$ m。
在 $\mathrm{Rt}△ CDF$ 中，$∠ CFD = 90°$，$∠ CDF = ∠ 2 = 30°$，
$\because \sin∠ CDF = \frac{CF}{CD}$，即 $\sin 30°=\frac{131-0.6x}{CD}$，
$\therefore CD = 2 ( 131 -0.6x)=(262-1.2x)\mathrm{m}$。
$\because AB+BC+CD=300$ m，$BC=60$ m，
$\therefore x+60+262-1.2x = 300$，
解得 $x = 110$。
【答案】
110 m
【知识点】
解直角三角形，矩形的性质，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合滑雪大跳台的实际场景考查坡角相关的解直角三角形应用，解题的关键是合理作辅助线构造直角三角形与矩形，利用三角函数将未知边用含未知数的式子表示，再结合题干给出的等量关系列方程求解，能有效考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
本题要求AB段的长度，可通过设未知数结合解直角三角形、矩形性质列方程求解。首先作辅助线CF⊥DN，将图形拆分为两个直角三角形和一个矩形；设AB长度为x m，先在Rt△ABM中利用∠1的三角函数表示出AM的长度，进而得到MN的长度，再根据矩形性质得到CF=MN；接着在Rt△CDF中利用∠2的三角函数将CD的长度用含x的式子表示；最后根据三段赛道总长度为300 m的等量关系列方程，解方程即可得到AB的长度。
【解析】
过点 $C$ 作 $CF ⊥ DN$ 于 $F$，由题意得 $BM ⊥ AN$，设 $AB$ 长为 $x$ m。
在 $\mathrm{Rt}△ ABM$ 中，$∠ AMB=90°$，$∠ ABM = ∠ 1 = 37°$，
$\because \sin∠ ABM =\frac{AM}{AB}$，$\cos∠ ABM = \frac{BM}{AB}$，$\sin 37°\approx 0.6$，$\cos 37°\approx0.8$，
$\therefore AM = 0.6x$ m， $BM = 0.8x$ m，
$\therefore MN = AN - AM=(131-0.6x)\mathrm{m}$。
$\because CF ⊥ DN$，$BM ⊥ AN$，$DN ⊥ AN$，
$\therefore$ 四边形$CFNM$ 为矩形，$\therefore CF = MN = (131-0.6x)$ m。
在 $\mathrm{Rt}△ CDF$ 中，$∠ CFD = 90°$，$∠ CDF = ∠ 2 = 30°$，
$\because \sin∠ CDF = \frac{CF}{CD}$，即 $\sin 30°=\frac{131-0.6x}{CD}$，
$\therefore CD = 2 ( 131 -0.6x)=(262-1.2x)\mathrm{m}$。
$\because AB+BC+CD=300$ m，$BC=60$ m，
$\therefore x+60+262-1.2x = 300$，
解得 $x = 110$。
【答案】
110 m
【知识点】
解直角三角形，矩形的性质，一元一次方程的应用
【点评】
本题结合滑雪大跳台的实际场景考查坡角相关的解直角三角形应用，解题的关键是合理作辅助线构造直角三角形与矩形，利用三角函数将未知边用含未知数的式子表示，再结合题干给出的等量关系列方程求解，能有效考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.7
8. |方程思想（泸州中考）如图，某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为$i=2:\sqrt{3}$的斜坡AB前进$20\sqrt{7}$ m到达点B，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C。在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为$37°$，底部D的俯角为$60°$，求古树DE的高度。（参考数据：$\sin 37° \approx \frac{3}{5}$，$\cos 37° \approx \frac{4}{5}$，$\tan 37° \approx \frac{3}{4}$，计算结果用根号表示，不取近似值）
答案
8. 延长 $BC$,$DE$ 交于点 $G$,过点 $B$ 作 $BF ⊥ AD$ 于点 $F$,则$∠ AFB=∠ BFD=90°$,$\because$ 斜面 $AB$ 的坡度为 $i=2:\sqrt{3}$,$\therefore$ 设$BF=2x$,则 $AF=\sqrt{3}x$.在 $\mathrm{Rt}△ ABF$ 中,根据勾股定理,$BF^2+AF^2=AB^2$,即$(2x)^2+(\sqrt{3}x)^2=(20\sqrt{7})^2$,解得 $x=20$($x=-20$不符合题意,舍去),即 $BF=2×20=40(\mathrm{m})$.$\because BC$ 为水平方向,$DE$ 为竖直方向,$\therefore ∠ BGD=90°$.$\because ∠ BFD=∠ FDG=∠ BGD=90°$,$\therefore$ 四边形 $BFDG$ 为矩形,$\therefore DG = BF = 40$ m.$\because ∠ DCG=60°$,$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ DCG$中,$CG=\frac{DG}{\tan∠ DCG}=\frac{40}{\tan60°}=\frac{40}{\sqrt{3}}=\frac{40\sqrt{3}}{3}\ (\mathrm{m})$.$\because ∠ ECG=37°$,$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ECG$ 中,$EG= CG×\tan∠ ECG=\frac{40\sqrt{3}}{3} ×\tan 37° \approx\frac{40\sqrt{3}}{3} × \frac{3}{4} = 10\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$,$\therefore DE=DG-EG=(40-10\sqrt{3})\mathrm{m}$.答:古树 $DE$ 的高度为$(40-10\sqrt{3})\mathrm{m}$.
解析
【分析】
本题是解直角三角形的实际应用类问题，解题思路可分为以下几步：首先遇到斜坡坡度，优先构造直角三角形，过点B作BF垂直AD于F，根据坡度的定义设出直角边长度，结合AB的长度用勾股定理求出BF的高度；其次结合BC为水平线段、DE为竖直线段的特征，延长BC、DE交于点G，可证明四边形BFDG为矩形，将BF的长度转化为DG的长度；接着利用点C处的两个俯角，分别在Rt△DCG和Rt△ECG中，通过正切函数计算CG、EG的长度；最后用DG减去EG即可得到古树DE的高度。
【解析】
延长$BC$,$DE$ 交于点 $G$,过点 $B$ 作 $BF ⊥ AD$ 于点 $F$,则$∠ AFB=∠ BFD=90°$。
$\because$ 斜面 $AB$ 的坡度为 $i=2:\sqrt{3}$,即竖直高度与水平宽度的比为$2:\sqrt{3}$，
$\therefore$ 设$BF=2x$,则 $AF=\sqrt{3}x$。
在 $\mathrm{Rt}△ ABF$ 中,根据勾股定理,$BF^2+AF^2=AB^2$,即$(2x)^2+(\sqrt{3}x)^2=(20\sqrt{7})^2$,
化简得$7x^2=2800$，解得 $x=20$($x=-20$不符合题意,舍去),
即 $BF=2×20=40(\mathrm{m})$。
$\because BC$ 为水平方向,$DE$ 为竖直方向,$\therefore ∠ BGD=90°$。
$\because ∠ BFD=∠ FDG=∠ BGD=90°$,$\therefore$ 四边形 $BFDG$ 为矩形,$\therefore DG = BF = 40$ m。
$\because ∠ DCG=60°$,$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ DCG$中,$CG=\frac{DG}{\tan∠ DCG}=\frac{40}{\tan60°}=\frac{40}{\sqrt{3}}=\frac{40\sqrt{3}}{3}\ (\mathrm{m})$。
$\because ∠ ECG=37°$,$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ECG$ 中,$EG= CG×\tan∠ ECG=\frac{40\sqrt{3}}{3} ×\tan 37° \approx\frac{40\sqrt{3}}{3} × \frac{3}{4} = 10\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$,
$\therefore DE=DG-EG=(40-10\sqrt{3})\mathrm{m}$。
【答案】
古树 $DE$ 的高度为$(40-10\sqrt{3})\mathrm{m}$。
【知识点】
解直角三角形应用，坡度的定义，俯角的定义
【点评】
本题结合实际测量场景，综合考察了坡度、俯角相关知识，解题核心是合理添加辅助线构造直角三角形与矩形，实现已知条件的转化，同时需要熟练掌握勾股定理、三角函数的运算，是解直角三角形实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
本题是解直角三角形的实际应用类问题，解题思路可分为以下几步：首先遇到斜坡坡度，优先构造直角三角形，过点B作BF垂直AD于F，根据坡度的定义设出直角边长度，结合AB的长度用勾股定理求出BF的高度；其次结合BC为水平线段、DE为竖直线段的特征，延长BC、DE交于点G，可证明四边形BFDG为矩形，将BF的长度转化为DG的长度；接着利用点C处的两个俯角，分别在Rt△DCG和Rt△ECG中，通过正切函数计算CG、EG的长度；最后用DG减去EG即可得到古树DE的高度。
【解析】
延长$BC$,$DE$ 交于点 $G$,过点 $B$ 作 $BF ⊥ AD$ 于点 $F$,则$∠ AFB=∠ BFD=90°$。
$\because$ 斜面 $AB$ 的坡度为 $i=2:\sqrt{3}$,即竖直高度与水平宽度的比为$2:\sqrt{3}$，
$\therefore$ 设$BF=2x$,则 $AF=\sqrt{3}x$。
在 $\mathrm{Rt}△ ABF$ 中,根据勾股定理,$BF^2+AF^2=AB^2$,即$(2x)^2+(\sqrt{3}x)^2=(20\sqrt{7})^2$,
化简得$7x^2=2800$，解得 $x=20$($x=-20$不符合题意,舍去),
即 $BF=2×20=40(\mathrm{m})$。
$\because BC$ 为水平方向,$DE$ 为竖直方向,$\therefore ∠ BGD=90°$。
$\because ∠ BFD=∠ FDG=∠ BGD=90°$,$\therefore$ 四边形 $BFDG$ 为矩形,$\therefore DG = BF = 40$ m。
$\because ∠ DCG=60°$,$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ DCG$中,$CG=\frac{DG}{\tan∠ DCG}=\frac{40}{\tan60°}=\frac{40}{\sqrt{3}}=\frac{40\sqrt{3}}{3}\ (\mathrm{m})$。
$\because ∠ ECG=37°$,$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ECG$ 中,$EG= CG×\tan∠ ECG=\frac{40\sqrt{3}}{3} ×\tan 37° \approx\frac{40\sqrt{3}}{3} × \frac{3}{4} = 10\sqrt{3}\ (\mathrm{m})$,
$\therefore DE=DG-EG=(40-10\sqrt{3})\mathrm{m}$。
【答案】
古树 $DE$ 的高度为$(40-10\sqrt{3})\mathrm{m}$。
【知识点】
解直角三角形应用，坡度的定义，俯角的定义
【点评】
本题结合实际测量场景，综合考察了坡度、俯角相关知识，解题核心是合理添加辅助线构造直角三角形与矩形，实现已知条件的转化，同时需要熟练掌握勾股定理、三角函数的运算，是解直角三角形实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
9. 如图,在一个建筑物两侧搭两个长度相同的滑梯(即$BC=EF$),设计要求左、右两边的滑梯$BC$,$EF$的坡度分别为$1:2$和$1:0.5$.测得$AD=3$米,$CD=5$米.
(1)求滑梯的长；
(2)试猜想两个滑梯$BC$,$EF$的位置关系,并证明；
(3)小亮(看成点)$P$从点$E$沿滑梯$EF$下滑,请直接写出他与$C$处距离的最小值.
(1)求滑梯的长；
(2)试猜想两个滑梯$BC$,$EF$的位置关系,并证明；
(3)小亮(看成点)$P$从点$E$沿滑梯$EF$下滑,请直接写出他与$C$处距离的最小值.
答案
9. (1) $\because AD = 3$ 米, $CD = 5$ 米, $∠ CAD = 90°$, $\therefore AC =\sqrt{CD^2-AD^2}=4$(米),$\because$ 滑梯$BC$的坡度为$1:2$,$\therefore \frac{AC}{AB}=\frac{1}{2}$,$\therefore AB=8$ 米,$\therefore BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=4\sqrt{5}$(米),$\therefore$ 滑梯的长为$4\sqrt{5}$米.
(2)$BC⊥ EF$.证明如下:延长 $BC$ 交 $EF$ 于点 $G$,如图①,$\because EF=BC=4\sqrt{5}$米,滑梯 $EF$ 的坡度为$1:0.5$,$\therefore \frac{ED}{DF}=\frac{1}{0.5}$,设$DF=x$ 米,则 $DE=2x$ 米,$\therefore EF=\sqrt{5}x=4\sqrt{5}$,$\therefore DF=4$ 米,$DE=8$ 米,$\therefore DF=AC$,$DE=AB$. 又$\because EF=BC=4\sqrt{5}$ 米,$\therefore △ DFE≌△ ACB$,$\therefore ∠ B = ∠ DEF$,$\therefore ∠ B+∠ F = ∠ DEF+∠ F=90°$,$\therefore ∠ BGF=90°$,$\therefore BC⊥ EF$.
(3)$CP$的最小值为$2\sqrt{5}$米. 解析:$\because$ 点 $P$ 在 $EF$ 上,$\therefore$ 当 $CP⊥ EF$ 时,$CP$ 最小,如图②.由(2)知 $CG⊥ EF$,$\therefore G,P$ 重合.$\because BF=BA+AD+DF=8+3+4=15$(米),$\tan∠ FBG=\frac{AC}{AB}=\frac{FG}{BG}=\frac{1}{2}$,$\therefore BG=2FG$,$\therefore BF=\sqrt{BG^2+FG^2}=\sqrt{5}\ FG=15$ 米,$\therefore FG=3\sqrt{5}$米,$\therefore BG=6\sqrt{5}$ 米,$\therefore CG=BG-BC=6\sqrt{5}-4\sqrt{5}=2\sqrt{5}$(米),$\therefore CP$ 的最小值为$2\sqrt{5}$米.
解析
【分析】
(1) 求滑梯长度时，先在Rt△ACD中利用勾股定理求出AC，再根据BC的坡度定义求出AB的长度，最后在Rt△ABC中用勾股定理计算BC即可；
(2) 猜想BC⊥EF，先根据EF的坡度和EF的长度求出DF、DE的长度，证明△DFE和△ACB全等，通过对应角相等进行角的转化，即可证明垂直关系；
(3) 根据垂线段最短，当CP⊥EF时CP长度最小，结合(2)中已证的BC⊥EF，可知最小值为CG的长度，通过计算BG与BC的差即可得到结果。
【解析】
(1) 由题意得∠CAD=90°，AD=3米，CD=5米，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：$AC=\sqrt{CD^2-AD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$（米），
∵滑梯BC的坡度为1:2，即竖直高度与水平宽度的比为$\frac{AC}{AB}=\frac{1}{2}$，
∴$AB=2AC=8$（米），
在Rt△ABC中，$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}$（米）。
(2) 猜想$BC⊥EF$，证明如下：
延长BC交EF于点G，如图①，
∵$EF=BC=4\sqrt{5}$米，滑梯EF的坡度为1:0.5，即$\frac{ED}{DF}=\frac{1}{0.5}=2$，
设$DF=x$米，则$DE=2x$米，
在Rt△DEF中，$EF=\sqrt{DE^2+DF^2}=\sqrt{(2x)^2+x^2}=\sqrt{5}x$，
∴$\sqrt{5}x=4\sqrt{5}$，解得$x=4$，
∴$DF=4$米，$DE=8$米，
∴$DF=AC$，$DE=AB$，又
∵$EF=BC$，
∴△DFE≌△ACB（SSS），
∴∠B=∠DEF，
∵在Rt△DEF中，∠DEF+∠F=90°，
∴∠B+∠F=90°，
∴∠BGF=180°-(∠B+∠F)=90°，即$BC⊥EF$。
(3) 根据垂线段最短，当$CP⊥EF$时CP的长度最小，如图②，
由(2)知$CG⊥EF$，此时P与G重合，CP最小值为CG的长度，
∵$BF=BA+AD+DF=8+3+4=15$（米），
在Rt△BGF中，$\tan∠FBG=\frac{AC}{AB}=\frac{FG}{BG}=\frac{1}{2}$，即$BG=2FG$，
由勾股定理得：$BF=\sqrt{BG^2+FG^2}=\sqrt{5}FG=15$，
解得$FG=3\sqrt{5}$米，$BG=6\sqrt{5}$米，
∴$CG=BG-BC=6\sqrt{5}-4\sqrt{5}=2\sqrt{5}$（米）。
【答案】
(1) 滑梯的长为$4\sqrt{5}$米；
(2) $BC⊥EF$，证明见解析，；
(3) 他与C处距离的最小值为$2\sqrt{5}$米，。
【知识点】
坡度的应用，全等三角形的判定与性质，垂线段最短
【点评】
本题结合实际场景考查几何知识的综合应用，解题关键是准确理解坡度的定义，灵活运用勾股定理、全等三角形的性质解决问题，同时要掌握垂线段最短在求最值问题中的应用。
【难度系数】
0.6
(1) 求滑梯长度时，先在Rt△ACD中利用勾股定理求出AC，再根据BC的坡度定义求出AB的长度，最后在Rt△ABC中用勾股定理计算BC即可；
(2) 猜想BC⊥EF，先根据EF的坡度和EF的长度求出DF、DE的长度，证明△DFE和△ACB全等，通过对应角相等进行角的转化，即可证明垂直关系；
(3) 根据垂线段最短，当CP⊥EF时CP长度最小，结合(2)中已证的BC⊥EF，可知最小值为CG的长度，通过计算BG与BC的差即可得到结果。
【解析】
(1) 由题意得∠CAD=90°，AD=3米，CD=5米，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：$AC=\sqrt{CD^2-AD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$（米），
∵滑梯BC的坡度为1:2，即竖直高度与水平宽度的比为$\frac{AC}{AB}=\frac{1}{2}$，
∴$AB=2AC=8$（米），
在Rt△ABC中，$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}$（米）。
(2) 猜想$BC⊥EF$，证明如下：
延长BC交EF于点G，如图①，
∵$EF=BC=4\sqrt{5}$米，滑梯EF的坡度为1:0.5，即$\frac{ED}{DF}=\frac{1}{0.5}=2$，
设$DF=x$米，则$DE=2x$米，
在Rt△DEF中，$EF=\sqrt{DE^2+DF^2}=\sqrt{(2x)^2+x^2}=\sqrt{5}x$，
∴$\sqrt{5}x=4\sqrt{5}$，解得$x=4$，
∴$DF=4$米，$DE=8$米，
∴$DF=AC$，$DE=AB$，又
∵$EF=BC$，
∴△DFE≌△ACB（SSS），
∴∠B=∠DEF，
∵在Rt△DEF中，∠DEF+∠F=90°，
∴∠B+∠F=90°，
∴∠BGF=180°-(∠B+∠F)=90°，即$BC⊥EF$。
(3) 根据垂线段最短，当$CP⊥EF$时CP的长度最小，如图②，
由(2)知$CG⊥EF$，此时P与G重合，CP最小值为CG的长度，
∵$BF=BA+AD+DF=8+3+4=15$（米），
在Rt△BGF中，$\tan∠FBG=\frac{AC}{AB}=\frac{FG}{BG}=\frac{1}{2}$，即$BG=2FG$，
由勾股定理得：$BF=\sqrt{BG^2+FG^2}=\sqrt{5}FG=15$，
解得$FG=3\sqrt{5}$米，$BG=6\sqrt{5}$米，
∴$CG=BG-BC=6\sqrt{5}-4\sqrt{5}=2\sqrt{5}$（米）。
【答案】
(1) 滑梯的长为$4\sqrt{5}$米；
(2) $BC⊥EF$，证明见解析，
；(3) 他与C处距离的最小值为$2\sqrt{5}$米，
。【知识点】
坡度的应用，全等三角形的判定与性质，垂线段最短
【点评】
本题结合实际场景考查几何知识的综合应用，解题关键是准确理解坡度的定义，灵活运用勾股定理、全等三角形的性质解决问题，同时要掌握垂线段最短在求最值问题中的应用。
【难度系数】
0.6
