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1. 如图,河坝横断面迎水坡AB的坡比是$1:\sqrt{3}$(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比),坝高BC=3 m,则坡面AB的长度是 (
A.9 m
B.6 m
C.$6\sqrt{3}$ m
D.$3\sqrt{3}$ m
B
)A.9 m
B.6 m
C.$6\sqrt{3}$ m
D.$3\sqrt{3}$ m
答案
1. B 解析:由题图可知,BC:AC=1:$\sqrt{3}$,即$\frac{BC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$,$\therefore AC= \sqrt{3} BC=3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$,$\therefore AB= \sqrt{AC^2+BC^2} = \sqrt{3^2+(3\sqrt{3})^2} =6(\mathrm{m})$.故选B.
解析
【分析】解题时首先明确坡比的定义：坡比是坡面铅直高度与水平宽度的比值，即本题中$BC:AC=1:\sqrt{3}$。已知坝高$BC$的长度，可先根据坡比求出水平宽度$AC$的长度，再观察到$△ ABC$是直角三角形，$∠ C$为直角，最后利用勾股定理即可求出坡面$AB$的长度。
【解析】由题意可知，迎水坡$AB$的坡比$BC:AC=1:\sqrt{3}$，即$\frac{BC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$。
已知$BC=3\ \mathrm{m}$，代入得$AC=\sqrt{3}BC=\sqrt{3}×3=3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
$\because △ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$，
$\therefore$由勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(3\sqrt{3})^2+3^2}=\sqrt{27+9}=\sqrt{36}=6(\mathrm{m})$。
故选B。
【答案】B
【知识点】坡比的概念；勾股定理
【点评】本题属于解直角三角形的实际应用类基础题，核心是准确理解坡比的定义，结合勾股定理即可快速求解，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】由题意可知，迎水坡$AB$的坡比$BC:AC=1:\sqrt{3}$，即$\frac{BC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$。
已知$BC=3\ \mathrm{m}$，代入得$AC=\sqrt{3}BC=\sqrt{3}×3=3\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
$\because △ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$，
$\therefore$由勾股定理可得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(3\sqrt{3})^2+3^2}=\sqrt{27+9}=\sqrt{36}=6(\mathrm{m})$。
故选B。
【答案】B
【知识点】坡比的概念；勾股定理
【点评】本题属于解直角三角形的实际应用类基础题，核心是准确理解坡比的定义，结合勾股定理即可快速求解，难度较低。
【难度系数】0.8
2. ★★★ 如图, 坡角为$30°$的斜坡上有一棵大树$MN$($MN$垂直于水平地面), 当太阳光线与水平线成$45°$角沿斜坡照下时, 在斜坡上树影$NT$的长为30米, 则大树$MN$的高为(
A.15米
B.$15\sqrt{3}$米
C.$(15\sqrt{3}-15)$米
D.$(15\sqrt{3}+15)$米
C
)A.15米
B.$15\sqrt{3}$米
C.$(15\sqrt{3}-15)$米
D.$(15\sqrt{3}+15)$米
答案
2. C 解析:如图,过点 $T$ 作 $TA ⊥ MN$,交 $MN$ 的延长线于 $A$,则$∠ NTA=30°$,$\because TN=30$ 米,$\therefore TA = TN · \cos ∠ NTA = 30× \cos 30°=15\sqrt{3}$(米), $NA = \frac{1}{2}TN = 15$ 米. 在 $\mathrm{Rt}△ MTA$ 中,$∠ MTA = 45°$,$\therefore MA = TA = 15\sqrt{3}$ 米, $\therefore MN = MA - NA=(15\sqrt{3}-15)$米,故选 C.
解析
【分析】
要求大树MN的高度，我们需要将已知的影长、坡角、光线角度这些条件转化到直角三角形中求解。首先过点T作水平辅助线TA垂直于MN的延长线，构造出两个直角三角形：Rt△NTA和Rt△MTA。先在Rt△NTA中利用30°角的三角函数值求出TA和NA的长度，再在Rt△MTA中利用45°角的等腰直角三角形性质得到MA的长度，最后用MA减去NA即可得到MN的高度。
【解析】
如图，过点 $T$ 作 $TA ⊥ MN$，交 $MN$ 的延长线于 $A$。
由于斜坡坡角为$30°$，可得$∠ NTA=30°$，已知$TN=30$ 米，
在$\mathrm{Rt}△NTA$中：
$TA = TN · \cos30° = 30× \frac{\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{3}$（米），
$NA = TN · \sin30° = 30×\frac{1}{2}=15$（米）。
又因为太阳光线与水平线成$45°$角，因此$∠ MTA = 45°$，$\mathrm{Rt}△ MTA$为等腰直角三角形，故$MA = TA = 15\sqrt{3}$ 米。
因此$MN = MA - NA=(15\sqrt{3}-15)$米，本题选C。
【答案】C
【知识点】
解直角三角形应用，特殊角三角函数，坡角问题
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类题型，解题核心是通过作辅助线构造含特殊角的直角三角形，理清角度与边长的对应关系，结合三角函数性质计算边长，既考验学生的几何建模能力，也对特殊角三角函数值的掌握程度有要求。
【难度系数】
0.6
要求大树MN的高度，我们需要将已知的影长、坡角、光线角度这些条件转化到直角三角形中求解。首先过点T作水平辅助线TA垂直于MN的延长线，构造出两个直角三角形：Rt△NTA和Rt△MTA。先在Rt△NTA中利用30°角的三角函数值求出TA和NA的长度，再在Rt△MTA中利用45°角的等腰直角三角形性质得到MA的长度，最后用MA减去NA即可得到MN的高度。
【解析】
如图，过点 $T$ 作 $TA ⊥ MN$，交 $MN$ 的延长线于 $A$。
由于斜坡坡角为$30°$，可得$∠ NTA=30°$，已知$TN=30$ 米，
在$\mathrm{Rt}△NTA$中：
$TA = TN · \cos30° = 30× \frac{\sqrt{3}}{2}=15\sqrt{3}$（米），
$NA = TN · \sin30° = 30×\frac{1}{2}=15$（米）。
又因为太阳光线与水平线成$45°$角，因此$∠ MTA = 45°$，$\mathrm{Rt}△ MTA$为等腰直角三角形，故$MA = TA = 15\sqrt{3}$ 米。
因此$MN = MA - NA=(15\sqrt{3}-15)$米，本题选C。
【答案】C
【知识点】
解直角三角形应用，特殊角三角函数，坡角问题
【点评】
本题属于解直角三角形的实际应用类题型，解题核心是通过作辅助线构造含特殊角的直角三角形，理清角度与边长的对应关系，结合三角函数性质计算边长，既考验学生的几何建模能力，也对特殊角三角函数值的掌握程度有要求。
【难度系数】
0.6
3. ★★★ 如图,这是某拦河坝改造前后河床的横断面示意图,$AD // BC$,坝高$DC=8\ \mathrm{m}$,将原坡度$i=1:0.25$的迎水坡面$AB$改为坡角为$60°$的斜坡$EB$,此时,河坝面宽减少的长度$AE$等于(结果精确到$0.1\ \mathrm{m}$,参考数据:$\sqrt{3}\approx1.73$)
$\begin{array}{ll}\mathrm{A. }2.2\ \mathrm{m}&\mathrm{B. }2.6\ \mathrm{m}\\\mathrm{C. }3.2\ \mathrm{m}&\mathrm{D. }3.6\ \mathrm{m}\end{array}$
$\begin{array}{ll}\mathrm{A. }2.2\ \mathrm{m}&\mathrm{B. }2.6\ \mathrm{m}\\\mathrm{C. }3.2\ \mathrm{m}&\mathrm{D. }3.6\ \mathrm{m}\end{array}$
答案
3. B 解析:如图,过点 $A$ 作 $AF ⊥ BC$ 于点 $F$,过点 $E$ 作 $EH ⊥ BC$ 于点 $H$,$\because AF ⊥ BC$,$EH ⊥ BC$,$AD // BC$,$\therefore AF = EH = DC = 8\ \mathrm{m}$.$\because$ 坡度 $i=1:0.25$,$\therefore AF:BF=8:BF=1:0.25$,解得$BF=2\ \mathrm{m}$.$\because \tan 60°=\frac{EH}{BH}=\frac{8}{BH}=\sqrt{3}$,$\therefore BH=\frac{8\sqrt{3}}{3}\mathrm{m}$,$\therefore AE=FH= BH-BF=\frac{8\sqrt{3}}{3}-2\approx2.6(\mathrm{m})$.故选 B.
解析
【分析】
这类坡面改造的实际问题，可通过作高将梯形横断面转化为矩形和直角三角形求解。由于$AD// BC$，坝高为$DC$，因此过$A$作$AF⊥ BC$、过$E$作$EH⊥ BC$，可得四边形$AFHE$、$EHCD$均为矩形，因此$AF=EH=DC=8\mathrm{m}$，且$AE=FH$。接下来分别利用坡度的定义求原坡面$AB$的水平宽度$BF$，利用坡角的三角函数求新坡面$EB$的水平宽度$BH$，二者的差即为$FH$，也就是$AE$的长度。
【解析】
解：如图，过点$A$作$AF ⊥ BC$于点$F$，过点$E$作$EH ⊥ BC$于点$H$。
$\because AF ⊥ BC$，$EH ⊥ BC$，$AD // BC$，$∠ C=90°$，
$\therefore$ 四边形$AFHE$、$EHCD$均为矩形，
$\therefore AF = EH = DC = 8\ \mathrm{m}$，$AE=FH$。
$\because$ 原迎水坡面$AB$的坡度$i=1:0.25$，即$i=\frac{AF}{BF}=\frac{1}{0.25}$，
代入$AF=8\mathrm{m}$得：$\frac{8}{BF}=\frac{1}{0.25}$，解得$BF=2\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ EBH$中，$∠ EBH=60°$，
$\tan60°=\frac{EH}{BH}=\sqrt{3}$，代入$EH=8\mathrm{m}$得：$\frac{8}{BH}=\sqrt{3}$，
解得$BH=\frac{8\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{m}$。
$\therefore AE=FH=BH-BF=\frac{8\sqrt{3}}{3}-2\approx\frac{8×1.73}{3}-2\approx2.6(\mathrm{m})$。
【答案】
B
【知识点】
解直角三角形应用，坡度坡角，矩形性质
【点评】
本题是解直角三角形在实际工程中的应用，解题核心是作辅助线构造直角三角形与矩形，将未知线段转化为直角三角形边长的差，结合坡度、锐角三角函数的定义计算即可，能考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.6
这类坡面改造的实际问题，可通过作高将梯形横断面转化为矩形和直角三角形求解。由于$AD// BC$，坝高为$DC$，因此过$A$作$AF⊥ BC$、过$E$作$EH⊥ BC$，可得四边形$AFHE$、$EHCD$均为矩形，因此$AF=EH=DC=8\mathrm{m}$，且$AE=FH$。接下来分别利用坡度的定义求原坡面$AB$的水平宽度$BF$，利用坡角的三角函数求新坡面$EB$的水平宽度$BH$，二者的差即为$FH$，也就是$AE$的长度。
【解析】
解：如图，过点$A$作$AF ⊥ BC$于点$F$，过点$E$作$EH ⊥ BC$于点$H$。
$\because AF ⊥ BC$，$EH ⊥ BC$，$AD // BC$，$∠ C=90°$，
$\therefore$ 四边形$AFHE$、$EHCD$均为矩形，
$\therefore AF = EH = DC = 8\ \mathrm{m}$，$AE=FH$。
$\because$ 原迎水坡面$AB$的坡度$i=1:0.25$，即$i=\frac{AF}{BF}=\frac{1}{0.25}$，
代入$AF=8\mathrm{m}$得：$\frac{8}{BF}=\frac{1}{0.25}$，解得$BF=2\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ EBH$中，$∠ EBH=60°$，
$\tan60°=\frac{EH}{BH}=\sqrt{3}$，代入$EH=8\mathrm{m}$得：$\frac{8}{BH}=\sqrt{3}$，
解得$BH=\frac{8\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{m}$。
$\therefore AE=FH=BH-BF=\frac{8\sqrt{3}}{3}-2\approx\frac{8×1.73}{3}-2\approx2.6(\mathrm{m})$。
【答案】
B
【知识点】
解直角三角形应用，坡度坡角，矩形性质
【点评】
本题是解直角三角形在实际工程中的应用，解题核心是作辅助线构造直角三角形与矩形，将未知线段转化为直角三角形边长的差，结合坡度、锐角三角函数的定义计算即可，能考查学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.6
4. 为了学生的安全,某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造.已知四边形ABCD为矩形,DE=10 m,其坡度为 $i_1 = 1:\sqrt{3}$,将步梯DE改造为斜坡AF,其坡度为 $i_2 = 1:4$,求斜坡AF的长度.(结果保留根号)
答案
4. $\because DE=10\ \mathrm{m}$,其坡度为 $i_1 = 1:\sqrt{3}$,$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ DCE$ 中,$DE=\sqrt{DC^2+CE^2}=2DC$,$\therefore CD=5\ \mathrm{m}$.$\because$ 四边形 $ABCD$ 为矩形,$\therefore AB=CD=5\ \mathrm{m}$.$\because$ 斜坡 $AF$ 的坡度为 $i_2 = 1:4$,$\therefore \frac{AB}{BF}=\frac{1}{4}$,$\therefore BF=4AB=20\ \mathrm{m}$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABF$ 中, $AF = \sqrt{AB^2+BF^2} =5\sqrt{17}(\mathrm{m})$,$\therefore$ 斜坡 $AF$ 的长度为 $5\sqrt{17}\ \mathrm{m}$.
解析
【分析】
解题时需围绕坡度的定义展开分析：第一步，先根据DE的坡度和长度，在Rt△DCE中求出竖直高度DC的长度；第二步，利用矩形对边相等的性质，得到斜坡AF的竖直高度AB的长度；第三步，根据AF的坡度求出其水平宽度BF的长度；最后在Rt△ABF中用勾股定理计算AF的长度即可。
【解析】
解：
∵$DE=10\ \mathrm{m}$，其坡度为 $i_1 = 1:\sqrt{3}$，
∴在 $\mathrm{Rt}△ DCE$中，$\frac{DC}{CE}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，即$CE=\sqrt{3}DC$，
由勾股定理得$DE=\sqrt{DC^2+CE^2}=\sqrt{DC^2+3DC^2}=2DC$，
∴$CD=\frac{1}{2}DE=5\ \mathrm{m}$。
∵四边形 $ABCD$ 为矩形，
∴$AB=CD=5\ \mathrm{m}$。
∵ 斜坡 $AF$ 的坡度为 $i_2 = 1:4$，
∴ $\frac{AB}{BF}=\frac{1}{4}$，
∴ $BF=4AB=20\ \mathrm{m}$。
在 $\mathrm{Rt}△ ABF$ 中，由勾股定理得：
$AF = \sqrt{AB^2+BF^2} =\sqrt{5^2+20^2}=\sqrt{425}=5\sqrt{17}\ (\mathrm{m})$。
【答案】
斜坡AF的长度为$5\sqrt{17}\ \mathrm{m}$
【知识点】
坡度的定义；矩形的性质；勾股定理
【点评】
本题是坡度相关的基础应用题，解题核心是准确理解坡度的含义，结合几何图形性质找到直角三角形的对应边长，再利用勾股定理计算即可，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
解题时需围绕坡度的定义展开分析：第一步，先根据DE的坡度和长度，在Rt△DCE中求出竖直高度DC的长度；第二步，利用矩形对边相等的性质，得到斜坡AF的竖直高度AB的长度；第三步，根据AF的坡度求出其水平宽度BF的长度；最后在Rt△ABF中用勾股定理计算AF的长度即可。
【解析】
解：
∵$DE=10\ \mathrm{m}$，其坡度为 $i_1 = 1:\sqrt{3}$，
∴在 $\mathrm{Rt}△ DCE$中，$\frac{DC}{CE}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，即$CE=\sqrt{3}DC$，
由勾股定理得$DE=\sqrt{DC^2+CE^2}=\sqrt{DC^2+3DC^2}=2DC$，
∴$CD=\frac{1}{2}DE=5\ \mathrm{m}$。
∵四边形 $ABCD$ 为矩形，
∴$AB=CD=5\ \mathrm{m}$。
∵ 斜坡 $AF$ 的坡度为 $i_2 = 1:4$，
∴ $\frac{AB}{BF}=\frac{1}{4}$，
∴ $BF=4AB=20\ \mathrm{m}$。
在 $\mathrm{Rt}△ ABF$ 中，由勾股定理得：
$AF = \sqrt{AB^2+BF^2} =\sqrt{5^2+20^2}=\sqrt{425}=5\sqrt{17}\ (\mathrm{m})$。
【答案】
斜坡AF的长度为$5\sqrt{17}\ \mathrm{m}$
【知识点】
坡度的定义；矩形的性质；勾股定理
【点评】
本题是坡度相关的基础应用题，解题核心是准确理解坡度的含义，结合几何图形性质找到直角三角形的对应边长，再利用勾股定理计算即可，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.7
5. 电力公司在农村电网改造升级工程中把某一输电线铁塔AB建在了一个坡度为1：0.75的山坡CD的平台BC上(如图),测得∠AED=52.5°,BC=5米,CD=35米,DE=19米,则铁塔AB的高度约为多少米?(参考数据：$\sin 52.5° \approx 0.79$, $\cos 52.5° \approx 0.61$, $\tan 52.5° \approx 1.30$)
答案
5. 如图,延长 $AB$ 交 $ED$ 于点 $G$,过点 $C$ 作 $CF ⊥ DE$ 于点 $F$,$\therefore GF=BC=5$ 米.$\because$ 山坡 $CD$ 的坡度为 $1:0.75=4:3$,$\therefore$ 设$DF=3k$ 米,$CF=4k$ 米,$\therefore$ 由勾股定理得 $CD=5k$ 米 $= 35$ 米,$\therefore k=7$,$\therefore DF=21$ 米,$BG=CF=28$ 米,$\therefore EG=GF+DF+DE=5+21+19= 45$(米).$\because ∠ AED=52.5°$,$\therefore AG = EG · \tan 52.5° \approx 45×1.30=58.5$(米),$\therefore AB=AG-BG= 58.5-28 =30.5$(米).
解析
【分析】
要计算铁塔AB的高度，需通过作辅助线将不规则图形转化为熟悉的矩形和直角三角形求解：首先延长AB交ED于点G，过点C作CF⊥DE于点F，构造出矩形BGFC和两个直角三角形△CFD、△AGE；再利用CD的坡度和长度，结合勾股定理求出CF、DF的长度；接着计算出EG的总长度，在Rt△AGE中用正切三角函数求出AG的高度；最后用AG减去BG（即CF）的长度，即可得到AB的高度。
【解析】
解：延长AB交ED于点G，过点C作$CF ⊥ DE$于点F，
则四边形BGFC为矩形，因此$GF=BC=5$米，$BG=CF$。
∵ 山坡CD的坡度为$1:0.75=4:3$，即竖直高度与水平宽度的比为$4:3$，
∴ 设$DF=3k$米，$CF=4k$米，
在$Rt△ CFD$中，由勾股定理得：$CD=\sqrt{(3k)^2+(4k)^2}=5k$，
已知$CD=35$米，
∴ $5k=35$，解得$k=7$，
∴ $DF=3×7=21$米，$BG=CF=4×7=28$米，
∴ $EG=GF+DF+DE=5+21+19=45$米。
在$Rt△ AGE$中，$∠ AED=52.5°$，
∴ $AG = EG · \tan52.5° \approx 45×1.30=58.5$米，
∴ $AB=AG-BG=58.5-28=30.5$米。
【答案】
铁塔AB的高度约为30.5米。
【知识点】
坡度的定义，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题结合实际应用场景，考查了坡度、锐角三角函数的相关知识，解题核心是合理添加辅助线，将分散的已知条件整合到直角三角形和矩形中，转化为边长关系进行计算。
【难度系数】
0.65
要计算铁塔AB的高度，需通过作辅助线将不规则图形转化为熟悉的矩形和直角三角形求解：首先延长AB交ED于点G，过点C作CF⊥DE于点F，构造出矩形BGFC和两个直角三角形△CFD、△AGE；再利用CD的坡度和长度，结合勾股定理求出CF、DF的长度；接着计算出EG的总长度，在Rt△AGE中用正切三角函数求出AG的高度；最后用AG减去BG（即CF）的长度，即可得到AB的高度。
【解析】
解：延长AB交ED于点G，过点C作$CF ⊥ DE$于点F，
则四边形BGFC为矩形，因此$GF=BC=5$米，$BG=CF$。
∵ 山坡CD的坡度为$1:0.75=4:3$，即竖直高度与水平宽度的比为$4:3$，
∴ 设$DF=3k$米，$CF=4k$米，
在$Rt△ CFD$中，由勾股定理得：$CD=\sqrt{(3k)^2+(4k)^2}=5k$，
已知$CD=35$米，
∴ $5k=35$，解得$k=7$，
∴ $DF=3×7=21$米，$BG=CF=4×7=28$米，
∴ $EG=GF+DF+DE=5+21+19=45$米。
在$Rt△ AGE$中，$∠ AED=52.5°$，
∴ $AG = EG · \tan52.5° \approx 45×1.30=58.5$米，
∴ $AB=AG-BG=58.5-28=30.5$米。
【答案】
铁塔AB的高度约为30.5米。
【知识点】
坡度的定义，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题结合实际应用场景，考查了坡度、锐角三角函数的相关知识，解题核心是合理添加辅助线，将分散的已知条件整合到直角三角形和矩形中，转化为边长关系进行计算。
【难度系数】
0.65
