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1. (2024·天津中考)$\sqrt{2}\cos 45° -1$的值等于（
A.0
B.1
C.$\frac{\sqrt{2}}{2} -1$
D.$\sqrt{2} -1$
A
）A.0
B.1
C.$\frac{\sqrt{2}}{2} -1$
D.$\sqrt{2} -1$
答案
1. A 解析:$\sqrt{2}\cos 45°-1=\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}-1=0$,故选 A.
解析
【分析】
本题需要先回忆特殊锐角45°的余弦值，再代入原式按照先乘法后减法的运算顺序计算即可。解题时首先要准确记牢$\cos45°$的取值，再正确进行二次根式的乘法运算，最后计算减法得到结果。
【解析】
首先，特殊角45°的余弦值为$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，将其代入原式计算：
$\sqrt{2}\cos 45° -1 = \sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} - 1$
先计算乘法部分：$\sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{(\sqrt{2})^2}{2} = \frac{2}{2}=1$
再计算减法：$1 - 1 = 0$
因此结果为0，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
特殊角的三角函数值；二次根式的运算
【点评】
本题是基础类题型，核心考查对特殊锐角三角函数值的识记能力和简单的二次根式计算能力，熟练掌握常见特殊角的三角函数值、细心运算即可快速得到正确答案。
【难度系数】
0.9
本题需要先回忆特殊锐角45°的余弦值，再代入原式按照先乘法后减法的运算顺序计算即可。解题时首先要准确记牢$\cos45°$的取值，再正确进行二次根式的乘法运算，最后计算减法得到结果。
【解析】
首先，特殊角45°的余弦值为$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，将其代入原式计算：
$\sqrt{2}\cos 45° -1 = \sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} - 1$
先计算乘法部分：$\sqrt{2} × \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{(\sqrt{2})^2}{2} = \frac{2}{2}=1$
再计算减法：$1 - 1 = 0$
因此结果为0，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
特殊角的三角函数值；二次根式的运算
【点评】
本题是基础类题型，核心考查对特殊锐角三角函数值的识记能力和简单的二次根式计算能力，熟练掌握常见特殊角的三角函数值、细心运算即可快速得到正确答案。
【难度系数】
0.9
2. ★★(2026·合肥期末)在$Rt△ ACB$中，$∠ C=90°$，$AC=2BC$，则$\sin A=$ (
A.$\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
C.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
C
)A.$\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$
C.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
答案
2. C 解析:如图,设 $BC = a$,则 $AC = 2a$,
∵ $∠ C= 90°$,
∴ $AB = \sqrt{BC^2+AC^2} =\sqrt{a^2+(2a)^2}=\sqrt{5}a$,
∴ $\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{a}{\sqrt{5}a}=\frac{\sqrt{5}}{5}$,故选 C.
解析
【分析】
要求$\sin A$的值，首先明确直角三角形中锐角正弦的定义：锐角的正弦等于该角的对边与斜边的比值。本题仅给出两条直角边的倍数关系，无具体边长，可通过设参数的方式表示各边长度：先设$BC=a$，根据$AC=2BC$得到$AC=2a$，再用勾股定理求出斜边$AB$的长度，最后代入正弦定义式化简计算即可。
【解析】
设$BC = a$，则$AC = 2BC = 2a$。
∵ 在$Rt△ ACB$中，$∠ C = 90°$，
∴ 由勾股定理得：$AB = \sqrt{BC^2 + AC^2} = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = \sqrt{5}a$。
根据正弦的定义，$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{a}{\sqrt{5}a} = \frac{\sqrt{5}}{5}$，因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
正弦的定义、勾股定理、二次根式化简
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础题，核心考查正弦函数的定义和勾股定理的应用，通过设参数处理边的比例关系是常用的解题技巧，掌握基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
要求$\sin A$的值，首先明确直角三角形中锐角正弦的定义：锐角的正弦等于该角的对边与斜边的比值。本题仅给出两条直角边的倍数关系，无具体边长，可通过设参数的方式表示各边长度：先设$BC=a$，根据$AC=2BC$得到$AC=2a$，再用勾股定理求出斜边$AB$的长度，最后代入正弦定义式化简计算即可。
【解析】
设$BC = a$，则$AC = 2BC = 2a$。
∵ 在$Rt△ ACB$中，$∠ C = 90°$，
∴ 由勾股定理得：$AB = \sqrt{BC^2 + AC^2} = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = \sqrt{5}a$。
根据正弦的定义，$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{a}{\sqrt{5}a} = \frac{\sqrt{5}}{5}$，因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
正弦的定义、勾股定理、二次根式化简
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础题，核心考查正弦函数的定义和勾股定理的应用，通过设参数处理边的比例关系是常用的解题技巧，掌握基础概念即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
3. （宿迁中考）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.A，B，C三点都在格点上，则$\sin∠ ABC=$
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
.答案
3. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 解析:如图,取 AB 的中点 D,连接 AC,CD,
∵ $AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$, $BC = \sqrt{1^2+3^2} = \sqrt{10}$, $CD = \sqrt{1^2+2^2} =\sqrt{5}$,
∴ $AC = BC$. 又
∵ 点 D 是 AB 的中点,
∴ $CD ⊥ AB$,
∴ $\sin∠ABC=\frac{CD}{BC}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.故答案为$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
解析
【分析】
要求∠ABC的正弦值，根据锐角三角函数的定义，需要将该角放在直角三角形中计算。首先可利用勾股定理计算△ABC各边的长度，发现AC与BC长度相等，即△ABC是等腰三角形，此时利用等腰三角形“三线合一”的性质，作AB边上的高CD，即可得到包含∠ABC的直角三角形BCD，最后计算对应边长的比值即可得到结果。
【解析】
解：如图，取AB的中点D，连接AC，CD。
由勾股定理可得：
$AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，$BC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，$CD=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
∴$AC=BC$，即△ABC是等腰三角形。
∵点D是AB的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$CD⊥AB$，即△BCD为直角三角形。
根据正弦的定义，$\sin∠ABC=\frac{∠ABC\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{CD}{BC}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
勾股定理，等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义
【点评】
本题是网格中求锐角三角函数值的典型题型，解题核心是构造含所求角的直角三角形，综合考查了勾股定理的应用、等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义，解题时要注意准确数出网格中的边长，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
要求∠ABC的正弦值，根据锐角三角函数的定义，需要将该角放在直角三角形中计算。首先可利用勾股定理计算△ABC各边的长度，发现AC与BC长度相等，即△ABC是等腰三角形，此时利用等腰三角形“三线合一”的性质，作AB边上的高CD，即可得到包含∠ABC的直角三角形BCD，最后计算对应边长的比值即可得到结果。
【解析】
解：如图，取AB的中点D，连接AC，CD。
由勾股定理可得：
$AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，$BC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，$CD=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，
∴$AC=BC$，即△ABC是等腰三角形。
∵点D是AB的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$CD⊥AB$，即△BCD为直角三角形。
根据正弦的定义，$\sin∠ABC=\frac{∠ABC\mathrm{的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{CD}{BC}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
【知识点】
勾股定理，等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义
【点评】
本题是网格中求锐角三角函数值的典型题型，解题核心是构造含所求角的直角三角形，综合考查了勾股定理的应用、等腰三角形的性质以及锐角三角函数的定义，解题时要注意准确数出网格中的边长，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
4. (2024·临夏中考)如图,在$△ ABC$中, $AB=AC=5, \sin B=\dfrac{4}{5}$,则$BC$的长是 (
A.3
B.6
C.8
D.9
B
)A.3
B.6
C.8
D.9
答案
4. B 解析:如图,过点 A 作 $AD ⊥ BC$ 于点 D.
∵ $AB=AC=5$,
∴ $BD=CD=\frac{1}{2}BC$. 在 $Rt△ABD$ 中,$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{4}{5}$,
∴ $AD=\frac{4}{5}AB=\frac{4}{5}×5=4$,
∴ $BD = \sqrt{AB^2-AD^2} = \sqrt{5^2-4^2} = 3$,
∴ $BC=2BD=6$.故选 B.
解析
【分析】
已知△ABC是等腰三角形（AB=AC），要求底边BC的长度，可利用等腰三角形“三线合一”的性质，过点A作BC边上的高AD，将△ABC分为两个全等的直角三角形，此时BC=2BD，只需算出BD的长度即可。在Rt△ABD中，已知AB的长度和sinB的值，可先通过锐角三角函数的定义求出AD的长度，再利用勾股定理算出BD，最终得到BC的长。
【解析】
如图，过点A作$AD ⊥ BC$于点D。
$\because AB=AC=5$，
$\therefore BD=CD=\frac{1}{2}BC$。
在$Rt△ ABD$中，$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{4}{5}$，
$\therefore AD=\frac{4}{5}AB=\frac{4}{5} × 5=4$，
由勾股定理得$BD = \sqrt{AB^2-AD^2} = \sqrt{5^2-4^2} = 3$，
$\therefore BC=2BD=2×3=6$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义；勾股定理
【点评】
本题是解直角三角形与等腰三角形性质结合的基础题，解题的核心是通过作高构造直角三角形，将等腰三角形问题转化为直角三角形问题求解，解题过程中需要熟练掌握三角函数的定义和勾股定理的应用。
【难度系数】
0.7
已知△ABC是等腰三角形（AB=AC），要求底边BC的长度，可利用等腰三角形“三线合一”的性质，过点A作BC边上的高AD，将△ABC分为两个全等的直角三角形，此时BC=2BD，只需算出BD的长度即可。在Rt△ABD中，已知AB的长度和sinB的值，可先通过锐角三角函数的定义求出AD的长度，再利用勾股定理算出BD，最终得到BC的长。
【解析】
如图，过点A作$AD ⊥ BC$于点D。
$\because AB=AC=5$，
$\therefore BD=CD=\frac{1}{2}BC$。
在$Rt△ ABD$中，$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{4}{5}$，
$\therefore AD=\frac{4}{5}AB=\frac{4}{5} × 5=4$，
由勾股定理得$BD = \sqrt{AB^2-AD^2} = \sqrt{5^2-4^2} = 3$，
$\therefore BC=2BD=2×3=6$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；锐角三角函数的定义；勾股定理
【点评】
本题是解直角三角形与等腰三角形性质结合的基础题，解题的核心是通过作高构造直角三角形，将等腰三角形问题转化为直角三角形问题求解，解题过程中需要熟练掌握三角函数的定义和勾股定理的应用。
【难度系数】
0.7
5. (2024·深圳中考)如图,在平面直角坐标系中,四边形AOCB为菱形,tan∠AOC=$\dfrac{4}{3}$,且点A落在反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$上,点B落在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$上,则k=
8
.答案
5. 8 解析:过点 A,B 作 x 轴的垂线,垂足分别为 D,E,如图,
∵ $\tan∠AOC=\frac{4}{3}$,
∴ $\frac{AD}{OD}=\frac{4}{3}$,
∴ 设 $AD = 4a$, 则 $OD = 3a$,
∴ 点 $A(3a,4a)$.
∵ 点 A 在反比例函数 $y=\frac{3}{x}$ 上,
∴ $3a·4a=3$,
∴ $a=\frac{1}{2}$(负值已舍),则点 $A(\frac{3}{2},2)$,
∴ $AD=2$,$OD=\frac{3}{2}$,
∴ $OA=\sqrt{OD^2+AD^2}=\frac{5}{2}$.
∵ 四边形 AOCB 为菱形,
∴ $AB=OA=\frac{5}{2}$,$AB// CO$,
∴ 点 $B(4,2)$.
∵ 点 B 落在反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$ 上,
∴ $k=4×2=8$.故答案为 8.
解析
【分析】
解题时可结合三类性质推导：一是锐角三角函数的正切值可转化为直角三角形对边与邻边的比值；二是反比例函数上点的横纵坐标乘积等于比例系数；三是菱形四条边相等、对边平行。首先作辅助线构造直角三角形，利用tan∠AOC的比值设出点A坐标的参数，代入点A所在的反比例函数求出参数，得到点A坐标后计算菱形边长，再利用菱形对边平行的性质得到点B的坐标，最后代入点B所在的反比例函数即可求出k。
【解析】
过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E，如图：
∵ $\tan∠AOC=\frac{4}{3}$，在Rt△AOD中，$\tan∠AOC=\frac{AD}{OD}$，
∴ $\frac{AD}{OD}=\frac{4}{3}$，设$AD=4a$，则$OD=3a$，即点A坐标为$(3a,4a)$。
∵ 点A在反比例函数$y=\frac{3}{x}$上，
∴ $3a·4a=3$，解得$a^2=\frac{1}{4}$，结合点A在第一象限舍去负值，得$a=\frac{1}{2}$。
∴ 点A坐标为$(\frac{3}{2},2)$，由勾股定理得$OA=\sqrt{(\frac{3}{2})^2+2^2}=\frac{5}{2}$。
∵ 四边形AOCB为菱形，
∴ $AB=OA=\frac{5}{2}$，且$AB// CO$，即AB平行于x轴，点B纵坐标与A相等为2，横坐标为$\frac{3}{2}+\frac{5}{2}=4$，即点B坐标为$(4,2)$。
∵ 点B在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，
∴ $k=4×2=8$。
【答案】8
【知识点】
反比例函数的性质，菱形的性质，锐角三角函数的定义
【点评】
本题是函数与几何的综合基础题型，解题关键是通过作辅助线将三角函数值转化为线段比例关系，结合几何图形性质求出点坐标，侧重考察对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时可结合三类性质推导：一是锐角三角函数的正切值可转化为直角三角形对边与邻边的比值；二是反比例函数上点的横纵坐标乘积等于比例系数；三是菱形四条边相等、对边平行。首先作辅助线构造直角三角形，利用tan∠AOC的比值设出点A坐标的参数，代入点A所在的反比例函数求出参数，得到点A坐标后计算菱形边长，再利用菱形对边平行的性质得到点B的坐标，最后代入点B所在的反比例函数即可求出k。
【解析】
过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E，如图：
∵ $\tan∠AOC=\frac{4}{3}$，在Rt△AOD中，$\tan∠AOC=\frac{AD}{OD}$，
∴ $\frac{AD}{OD}=\frac{4}{3}$，设$AD=4a$，则$OD=3a$，即点A坐标为$(3a,4a)$。
∵ 点A在反比例函数$y=\frac{3}{x}$上，
∴ $3a·4a=3$，解得$a^2=\frac{1}{4}$，结合点A在第一象限舍去负值，得$a=\frac{1}{2}$。
∴ 点A坐标为$(\frac{3}{2},2)$，由勾股定理得$OA=\sqrt{(\frac{3}{2})^2+2^2}=\frac{5}{2}$。
∵ 四边形AOCB为菱形，
∴ $AB=OA=\frac{5}{2}$，且$AB// CO$，即AB平行于x轴，点B纵坐标与A相等为2，横坐标为$\frac{3}{2}+\frac{5}{2}=4$，即点B坐标为$(4,2)$。
∵ 点B在反比例函数$y=\frac{k}{x}$上，
∴ $k=4×2=8$。
【答案】8
【知识点】
反比例函数的性质，菱形的性质，锐角三角函数的定义
【点评】
本题是函数与几何的综合基础题型，解题关键是通过作辅助线将三角函数值转化为线段比例关系，结合几何图形性质求出点坐标，侧重考察对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
6. ★★★ (2024·深圳中考)如图,在$△ ABC$中,
$AB=BC,\tan B=\dfrac{5}{12},D$为$BC$上一点,且满足
$\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{8}{5}$,过$D$作$DE ⊥ AD$交$AC$延长线于点$E$,
则$\dfrac{CE}{AC}=$
$AB=BC,\tan B=\dfrac{5}{12},D$为$BC$上一点,且满足
$\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{8}{5}$,过$D$作$DE ⊥ AD$交$AC$延长线于点$E$,
则$\dfrac{CE}{AC}=$
$\frac{20}{21}$
.答案
6. $\frac{20}{21}$ 解析:如图,过点 A 作 $AH ⊥ CB$,垂足为 H,
∵ $\frac{BD}{DC}=\frac{8}{5}$,$AB=BC$,设 $AB=BC=13x$,
∴ $BD=8x$,$DC=5x$.
∵ $\tan B=\frac{5}{12}$,$AH ⊥ CB$,
∴ $\frac{AH}{BH}=\frac{5}{12}$.
∵ $AB=BC=13x$,
∴ $AH^2+BH^2=AB^2=169x^2$,解得 $AH=5x$,$BH=12x$,
∴ $DH=12x-8x=4x$,$HC=5x-4x=x$,
∴ $AD = \sqrt{AH^2+DH^2} = \sqrt{41}x$, $AC = \sqrt{AH^2+CH^2} =\sqrt{26}x$,
∴ $\cos∠ADC=\frac{DH}{AD}=\frac{4\sqrt{41}}{41}$.过点 C 作 $CM ⊥ AD$,垂足为 M,
∴ $DM = CD · \cos∠ADC = \frac{20\sqrt{41}}{41}x$,$AM = AD - DM =\frac{21\sqrt{41}}{41}x$.
∵ $DE ⊥ AD$,$CM ⊥ AD$,
∴ $MC// DE$,
∴ $\frac{CE}{AC}=\frac{DM}{AM}=\frac{\frac{20\sqrt{41}}{41}x}{\frac{21\sqrt{41}}{41}x}=\frac{20}{21}$.故答案为$\frac{20}{21}$.
解析
【分析】
解题时先结合已知条件$\tan B=\frac{5}{12}$，考虑构造直角三角形使用三角函数，因此过点A作$AH⊥ BC$，将$\tan B$转化为直角边的比例；再结合$AB=BC$、$\frac{BD}{CD}=\frac{8}{5}$的条件，采用参数法设边长，利用勾股定理计算出各线段的长度；接着过点C作$CM⊥ AD$，利用$DE⊥ AD$、$CM⊥ AD$得到$CM// DE$，即可通过平行线分线段成比例建立$\frac{CE}{AC}$和AD上两段线段的比例关系，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：如图，过点A作$AH ⊥ CB$，垂足为H。
∵ $\frac{BD}{DC}=\frac{8}{5}$，且$AB=BC$，设 $AB=BC=13x$，
∴ $BD=8x$，$DC=5x$。
∵ $\tan B=\frac{5}{12}$，$AH ⊥ CB$，
∴ $\frac{AH}{BH}=\frac{5}{12}$。
在$Rt△ ABH$中，由勾股定理得$AH^2+BH^2=AB^2=169x^2$，解得 $AH=5x$，$BH=12x$，
∴ $DH=BH-BD=12x-8x=4x$，$HC=BC-BH=13x-12x=x$。
在$Rt△ AHD$中，$AD = \sqrt{AH^2+DH^2} = \sqrt{(5x)^2+(4x)^2}=\sqrt{41}x$，
在$Rt△ AHC$中，$AC = \sqrt{AH^2+CH^2} =\sqrt{(5x)^2+x^2}=\sqrt{26}x$，
∴ $\cos∠ ADC=\frac{DH}{AD}=\frac{4x}{\sqrt{41}x}=\frac{4\sqrt{41}}{41}$。
过点C作 $CM ⊥ AD$，垂足为M，
在$Rt△ CMD$中，$DM = CD · \cos∠ ADC = 5x×\frac{4\sqrt{41}}{41}=\frac{20\sqrt{41}}{41}x$，
∴ $AM = AD - DM =\sqrt{41}x-\frac{20\sqrt{41}}{41}x=\frac{21\sqrt{41}}{41}x$。
∵ $DE ⊥ AD$，$CM ⊥ AD$，
∴ $MC// DE$，
由平行线分线段成比例可得：$\frac{CE}{AC}=\frac{DM}{AM}=\frac{\frac{20\sqrt{41}}{41}x}{\frac{21\sqrt{41}}{41}x}=\frac{20}{21}$。
【答案】
$\frac{20}{21}$
【知识点】
等腰三角形的性质、解直角三角形、平行线分线段成比例
【点评】
本题是三角函数与几何比例的综合题，通过作两条垂线构造直角三角形和平行关系是解题的突破口，参数法的使用有效简化了比例计算，较好地考查了数形结合思想和综合运用知识的能力。
【难度系数】
0.4
解题时先结合已知条件$\tan B=\frac{5}{12}$，考虑构造直角三角形使用三角函数，因此过点A作$AH⊥ BC$，将$\tan B$转化为直角边的比例；再结合$AB=BC$、$\frac{BD}{CD}=\frac{8}{5}$的条件，采用参数法设边长，利用勾股定理计算出各线段的长度；接着过点C作$CM⊥ AD$，利用$DE⊥ AD$、$CM⊥ AD$得到$CM// DE$，即可通过平行线分线段成比例建立$\frac{CE}{AC}$和AD上两段线段的比例关系，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：如图，过点A作$AH ⊥ CB$，垂足为H。
∵ $\frac{BD}{DC}=\frac{8}{5}$，且$AB=BC$，设 $AB=BC=13x$，
∴ $BD=8x$，$DC=5x$。
∵ $\tan B=\frac{5}{12}$，$AH ⊥ CB$，
∴ $\frac{AH}{BH}=\frac{5}{12}$。
在$Rt△ ABH$中，由勾股定理得$AH^2+BH^2=AB^2=169x^2$，解得 $AH=5x$，$BH=12x$，
∴ $DH=BH-BD=12x-8x=4x$，$HC=BC-BH=13x-12x=x$。
在$Rt△ AHD$中，$AD = \sqrt{AH^2+DH^2} = \sqrt{(5x)^2+(4x)^2}=\sqrt{41}x$，
在$Rt△ AHC$中，$AC = \sqrt{AH^2+CH^2} =\sqrt{(5x)^2+x^2}=\sqrt{26}x$，
∴ $\cos∠ ADC=\frac{DH}{AD}=\frac{4x}{\sqrt{41}x}=\frac{4\sqrt{41}}{41}$。
过点C作 $CM ⊥ AD$，垂足为M，
在$Rt△ CMD$中，$DM = CD · \cos∠ ADC = 5x×\frac{4\sqrt{41}}{41}=\frac{20\sqrt{41}}{41}x$，
∴ $AM = AD - DM =\sqrt{41}x-\frac{20\sqrt{41}}{41}x=\frac{21\sqrt{41}}{41}x$。
∵ $DE ⊥ AD$，$CM ⊥ AD$，
∴ $MC// DE$，
由平行线分线段成比例可得：$\frac{CE}{AC}=\frac{DM}{AM}=\frac{\frac{20\sqrt{41}}{41}x}{\frac{21\sqrt{41}}{41}x}=\frac{20}{21}$。
【答案】
$\frac{20}{21}$
【知识点】
等腰三角形的性质、解直角三角形、平行线分线段成比例
【点评】
本题是三角函数与几何比例的综合题，通过作两条垂线构造直角三角形和平行关系是解题的突破口，参数法的使用有效简化了比例计算，较好地考查了数形结合思想和综合运用知识的能力。
【难度系数】
0.4
7. ★★★ (2026·合肥期末)如图,在$△ ABC$中,$AC=6,BC=8,∠ C=60°$,求$\cos∠ ABC$的值.
答案
7. 如图,过点 A 作 $AD ⊥ BC$,垂足为 D,
∵ $∠ C=60°$,
∴ $∠ CAD=30°$,
∴ $CD=\frac{1}{2}AC=3$,
∴ $BD = BC - CD = 5$, $AD =\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$, 在 $Rt△ABD$ 中, $AB =\sqrt{AD^2+BD^2} = \sqrt{27+25} = 2 \sqrt{13}$,
∴ $\cos∠ABC=\frac{BD}{AB}=\frac{5}{2\sqrt{13}}=\frac{5\sqrt{13}}{26}$.
解析
【分析】
要求$\cos∠ABC$的值，需将$∠ ABC$放在直角三角形中求解，因此先过点$A$作$AD ⊥ BC$构造直角三角形。首先在$Rt△ ACD$中，利用含$60°$角的直角三角形的性质求出$CD$、$AD$的长度，再计算$BD$的长度；接着在$Rt△ ABD$中用勾股定理求出$AB$的长度，最后根据余弦的定义（邻边比斜边）计算$\cos∠ABC$即可。
【解析】
解：过点$A$作 $AD ⊥ BC$，垂足为$D$，
$\because ∠ C=60°$，
$\therefore ∠ CAD=90° - ∠ C=30°$，
$\therefore CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3$，
$\therefore BD = BC - CD = 8-3=5$，
在$Rt△ ACD$中，由勾股定理得：
$AD =\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$，
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：
$AB =\sqrt{AD^2+BD^2} = \sqrt{(3\sqrt{3})^2+5^2} = \sqrt{27+25} = 2 \sqrt{13}$，
$\therefore \cos∠ABC=\frac{BD}{AB}=\frac{5}{2\sqrt{13}}=\frac{5\sqrt{13}}{26}$。
【答案】
$\frac{5\sqrt{13}}{26}$
【知识点】
解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题解题的核心是通过作高将斜三角形转化为直角三角形，把未知问题转化为已学的直角三角形问题求解，需要熟练掌握直角三角形的性质、勾股定理和锐角三角函数的定义，注意最终的三角函数值要化为最简二次根式形式。
【难度系数】
0.6
要求$\cos∠ABC$的值，需将$∠ ABC$放在直角三角形中求解，因此先过点$A$作$AD ⊥ BC$构造直角三角形。首先在$Rt△ ACD$中，利用含$60°$角的直角三角形的性质求出$CD$、$AD$的长度，再计算$BD$的长度；接着在$Rt△ ABD$中用勾股定理求出$AB$的长度，最后根据余弦的定义（邻边比斜边）计算$\cos∠ABC$即可。
【解析】
解：过点$A$作 $AD ⊥ BC$，垂足为$D$，
$\because ∠ C=60°$，
$\therefore ∠ CAD=90° - ∠ C=30°$，
$\therefore CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×6=3$，
$\therefore BD = BC - CD = 8-3=5$，
在$Rt△ ACD$中，由勾股定理得：
$AD =\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$，
在$Rt△ ABD$中，由勾股定理得：
$AB =\sqrt{AD^2+BD^2} = \sqrt{(3\sqrt{3})^2+5^2} = \sqrt{27+25} = 2 \sqrt{13}$，
$\therefore \cos∠ABC=\frac{BD}{AB}=\frac{5}{2\sqrt{13}}=\frac{5\sqrt{13}}{26}$。
【答案】
$\frac{5\sqrt{13}}{26}$
【知识点】
解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数定义
【点评】
本题解题的核心是通过作高将斜三角形转化为直角三角形，把未知问题转化为已学的直角三角形问题求解，需要熟练掌握直角三角形的性质、勾股定理和锐角三角函数的定义，注意最终的三角函数值要化为最简二次根式形式。
【难度系数】
0.6
8. ★★★ (2024·浙江中考)如图,在$△ ABC$中,$AD ⊥ BC$,$AE$是$BC$边上的中线,$AB=10$,$AD=6$,$\tan ∠ ACB=1$.
(1)求$BC$的长;
(2)求$\sin ∠ DAE$的值.
(1)求$BC$的长;
(2)求$\sin ∠ DAE$的值.
答案
8. (1) 在 $Rt△ABD$ 中,$AB=10$,$AD=6$,
∴ $BD = \sqrt{AB^2-AD^2} =\sqrt{10^2-6^2}=8$. 在 $Rt△ADC$ 中,$\tan∠ACB=\frac{AD}{DC}=1$,
∴ $DC=6$,
∴ $BC=BD+DC=8+6=14$.
(2)
∵ AE 是 BC 边上的中线,
∴ $BE=\frac{1}{2}BC=7$,
∴ $DE=BD-BE=8-7=1$,
∴ $AE = \sqrt{AD^2+DE^2} = \sqrt{6^2+1^2} = \sqrt{37}$,
∴ $\sin∠DAE=\frac{DE}{AE}=\frac{1}{\sqrt{37}}=\frac{\sqrt{37}}{37}$.
∴ $BD = \sqrt{AB^2-AD^2} =\sqrt{10^2-6^2}=8$. 在 $Rt△ADC$ 中,$\tan∠ACB=\frac{AD}{DC}=1$,
∴ $DC=6$,
∴ $BC=BD+DC=8+6=14$.
(2)
∵ AE 是 BC 边上的中线,
∴ $BE=\frac{1}{2}BC=7$,
∴ $DE=BD-BE=8-7=1$,
∴ $AE = \sqrt{AD^2+DE^2} = \sqrt{6^2+1^2} = \sqrt{37}$,
∴ $\sin∠DAE=\frac{DE}{AE}=\frac{1}{\sqrt{37}}=\frac{\sqrt{37}}{37}$.
解析
【分析】
（1）要求BC的长度，观察图形可得$BC=BD+DC$，可分别在两个直角三角形中求解两条线段：在$Rt△ ABD$中，已知AB和AD的长度，用勾股定理即可求出BD；在$Rt△ ADC$中，已知$\tan∠ ACB=1$，结合正切“对边比邻边”的定义可求出DC的长度，二者相加即可得到BC的长。
（2）要求$\sin∠ DAE$的值，$∠ DAE$在$Rt△ ADE$中，根据正弦的定义，$\sin∠ DAE=\frac{\mathrm{对边}DE}{\mathrm{斜边}AE}$，因此需要先求出DE和AE的长度：先根据三角形中线的性质求出BE的长度，用BD减去BE得到DE的长度，再用勾股定理求出AE的长度，代入比值化简即可。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABD$中，$AB=10$，$AD=6$，
由勾股定理得：$BD = \sqrt{AB^2-AD^2} =\sqrt{10^2-6^2}=8$。
在$Rt△ ADC$中，$\tan∠ ACB=\frac{AD}{DC}=1$，
∴ $DC=AD=6$，
∴ $BC=BD+DC=8+6=14$。
(2)
∵ AE 是 BC 边上的中线，
∴ $BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×14=7$，
∴ $DE=BD-BE=8-7=1$，
在$Rt△ ADE$中，由勾股定理得：
$AE = \sqrt{AD^2+DE^2} = \sqrt{6^2+1^2} = \sqrt{37}$，
∴ $\sin∠ DAE=\frac{DE}{AE}=\frac{1}{\sqrt{37}}=\frac{\sqrt{37}}{37}$。
【答案】
(1) $BC=14$；(2) $\sin∠ DAE=\frac{\sqrt{37}}{37}$
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数的定义，三角形中线的性质
【点评】
本题属于解直角三角形的常规题型，解题的关键是找准对应的直角三角形，结合勾股定理、三角形中线的性质以及锐角三角函数的定义逐步推导，计算时注意最终的三角函数结果要化为最简二次根式形式。
【难度系数】
0.7
（1）要求BC的长度，观察图形可得$BC=BD+DC$，可分别在两个直角三角形中求解两条线段：在$Rt△ ABD$中，已知AB和AD的长度，用勾股定理即可求出BD；在$Rt△ ADC$中，已知$\tan∠ ACB=1$，结合正切“对边比邻边”的定义可求出DC的长度，二者相加即可得到BC的长。
（2）要求$\sin∠ DAE$的值，$∠ DAE$在$Rt△ ADE$中，根据正弦的定义，$\sin∠ DAE=\frac{\mathrm{对边}DE}{\mathrm{斜边}AE}$，因此需要先求出DE和AE的长度：先根据三角形中线的性质求出BE的长度，用BD减去BE得到DE的长度，再用勾股定理求出AE的长度，代入比值化简即可。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABD$中，$AB=10$，$AD=6$，
由勾股定理得：$BD = \sqrt{AB^2-AD^2} =\sqrt{10^2-6^2}=8$。
在$Rt△ ADC$中，$\tan∠ ACB=\frac{AD}{DC}=1$，
∴ $DC=AD=6$，
∴ $BC=BD+DC=8+6=14$。
(2)
∵ AE 是 BC 边上的中线，
∴ $BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×14=7$，
∴ $DE=BD-BE=8-7=1$，
在$Rt△ ADE$中，由勾股定理得：
$AE = \sqrt{AD^2+DE^2} = \sqrt{6^2+1^2} = \sqrt{37}$，
∴ $\sin∠ DAE=\frac{DE}{AE}=\frac{1}{\sqrt{37}}=\frac{\sqrt{37}}{37}$。
【答案】
(1) $BC=14$；(2) $\sin∠ DAE=\frac{\sqrt{37}}{37}$
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数的定义，三角形中线的性质
【点评】
本题属于解直角三角形的常规题型，解题的关键是找准对应的直角三角形，结合勾股定理、三角形中线的性质以及锐角三角函数的定义逐步推导，计算时注意最终的三角函数结果要化为最简二次根式形式。
【难度系数】
0.7
