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1.三角形的内心是该三角形的(
A.三条高线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三边垂直平分线的交点
D.三条中线的交点
B
).A.三条高线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三边垂直平分线的交点
D.三条中线的交点
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查三角形不同特殊线段交点的概念辨析，解题时首先回忆三角形内心的本质：内心是三角形内切圆的圆心，内切圆与三角形三边都相切，因此圆心到三边的距离相等，结合角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），可推知内心是三条角平分线的交点，再逐一核对各选项的对应概念排除错误选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 三角形三条高线的交点是三角形的垂心，不符合内心的定义，排除；
B. 三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等，是三角形内切圆的圆心，即三角形的内心，符合题意；
C. 三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，是三角形外接圆的圆心，即外心，不符合题意，排除；
D. 三角形三条中线的交点是三角形的重心，不符合题意，排除。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1.三角形内心的定义
2.三角形四心辨析
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分三角形几类特殊交点的对应定义，只要熟记各类交点对应的线段性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题考查三角形不同特殊线段交点的概念辨析，解题时首先回忆三角形内心的本质：内心是三角形内切圆的圆心，内切圆与三角形三边都相切，因此圆心到三边的距离相等，结合角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），可推知内心是三条角平分线的交点，再逐一核对各选项的对应概念排除错误选项即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A. 三角形三条高线的交点是三角形的垂心，不符合内心的定义，排除；
B. 三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等，是三角形内切圆的圆心，即三角形的内心，符合题意；
C. 三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，是三角形外接圆的圆心，即外心，不符合题意，排除；
D. 三角形三条中线的交点是三角形的重心，不符合题意，排除。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
1.三角形内心的定义
2.三角形四心辨析
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分三角形几类特殊交点的对应定义，只要熟记各类交点对应的线段性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2.如图，$△ ABC$ 的内切圆$\odot O$与$AB$，$BC$，$CA$分别相切于点$D$，$E$，$F$，若$∠ DEF=50°$，则$∠ A$的度数是
$80°$
。答案
2.$80°$
解析
【分析】
解题可按以下思路推导：第一步，要求∠A的度数，观察∠A在四边形ADOF中，根据切线性质可知∠ADO和∠AFO均为直角，因此只需先求出圆心角∠DOF的度数即可计算∠A；第二步，已知∠DEF是弧DF对应的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可直接求出∠DOF的度数；第三步，利用四边形内角和为360°，代入已知角度即可算出∠A。
【解析】
解：连接OD、OF，
∵⊙O是△ABC的内切圆，D、F是AB、AC边上的切点，
∴OD⊥AB，OF⊥AC，即∠ADO=∠AFO=90°，
∵∠DEF是弧DF所对的圆周角，∠DOF是弧DF所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴∠DOF=2∠DEF=2×50°=100°，
∵四边形ADOF的内角和为360°，
∴∠A=360°-∠ADO-∠AFO-∠DOF=360°-90°-90°-100°=80°。
【答案】
$80°$
【知识点】
三角形内切圆性质，圆周角定理，四边形内角和
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础常考题，解题的核心是通过连接圆心和切点构造辅助线，将已知的圆周角和待求的三角形内角建立关联，只要熟练掌握切线性质和圆周角定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题可按以下思路推导：第一步，要求∠A的度数，观察∠A在四边形ADOF中，根据切线性质可知∠ADO和∠AFO均为直角，因此只需先求出圆心角∠DOF的度数即可计算∠A；第二步，已知∠DEF是弧DF对应的圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可直接求出∠DOF的度数；第三步，利用四边形内角和为360°，代入已知角度即可算出∠A。
【解析】
解：连接OD、OF，
∵⊙O是△ABC的内切圆，D、F是AB、AC边上的切点，
∴OD⊥AB，OF⊥AC，即∠ADO=∠AFO=90°，
∵∠DEF是弧DF所对的圆周角，∠DOF是弧DF所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，
∴∠DOF=2∠DEF=2×50°=100°，
∵四边形ADOF的内角和为360°，
∴∠A=360°-∠ADO-∠AFO-∠DOF=360°-90°-90°-100°=80°。
【答案】
$80°$
【知识点】
三角形内切圆性质，圆周角定理，四边形内角和
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础常考题，解题的核心是通过连接圆心和切点构造辅助线，将已知的圆周角和待求的三角形内角建立关联，只要熟练掌握切线性质和圆周角定理即可快速求解。
【难度系数】
0.7
3.如图,点O是△ABC的内心,∠A=80°,则∠BOC的度数是
$130°$
.答案
3.$130°$
解析
【分析】
首先明确三角形内心的性质：内心是三角形三个内角角平分线的交点，因此BO平分∠ABC、CO平分∠ACB。解题时先利用△ABC的内角和为180°，结合已知的∠A的度数求出∠ABC与∠ACB的和；再根据角平分线的性质，得到∠OBC与∠OCB的和是∠ABC+∠ACB的一半；最后在△BOC中再次运用三角形内角和定理，即可求出∠BOC的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 180° - 80° = 100°
∵点O是△ABC的内心
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，即：
$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$
∴$∠ OBC + ∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×100°=50°$
在△BOC中，根据三角形内角和定理：
$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-50°=130°$
【答案】
$130°$
【知识点】
三角形内心的定义，三角形内角和定理，角平分线的性质
【点评】
本题是三角形内心相关的基础常考题，解题关键是掌握内心是三角形内角平分线的交点，结合角平分线性质和内角和公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先明确三角形内心的性质：内心是三角形三个内角角平分线的交点，因此BO平分∠ABC、CO平分∠ACB。解题时先利用△ABC的内角和为180°，结合已知的∠A的度数求出∠ABC与∠ACB的和；再根据角平分线的性质，得到∠OBC与∠OCB的和是∠ABC+∠ACB的一半；最后在△BOC中再次运用三角形内角和定理，即可求出∠BOC的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 180° - 80° = 100°
∵点O是△ABC的内心
∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，即：
$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$
∴$∠ OBC + ∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×100°=50°$
在△BOC中，根据三角形内角和定理：
$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-50°=130°$
【答案】
$130°$
【知识点】
三角形内心的定义，三角形内角和定理，角平分线的性质
【点评】
本题是三角形内心相关的基础常考题，解题关键是掌握内心是三角形内角平分线的交点，结合角平分线性质和内角和公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4.如图，点O是$△ ABC$的内心，$OD ⊥ BC$，垂足为点D，$OD=2$，若$△ ABC$的周长为12，则$△ ABC$的面积是
$12$
。答案
4.$12$
解析
【分析】
解题时先回忆三角形内心的性质：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。要求△ABC的面积，我们可以用割补法，将△ABC拆分为△OAB、△OBC、△OAC三个小三角形，三个小三角形的高都等于内心到边的距离OD=2，底之和就是△ABC的周长，代入面积公式计算即可。
【解析】
连接OA、OB、OC，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F。
∵点O是△ABC的内心，OD⊥BC，
∴OD=OE=OF=2（三角形内心到三边的距离相等）。
△ABC的面积等于三个小三角形的面积之和：
$S_{△ ABC}=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC}$
$=\frac{1}{2}AB· OE + \frac{1}{2}BC· OD + \frac{1}{2}AC· OF$
代入OE=OF=OD=2，提取公因式可得：
$=\frac{1}{2}×2×(AB + BC + AC)$
$=AB + BC + AC$
又
∵△ABC的周长为12，即$AB+BC+AC=12$，
∴$S_{△ ABC}=12$。
【答案】
12
【知识点】
三角形内心的性质；割补法求面积；三角形面积计算
【点评】
本题考查三角形内心相关的面积计算，解题的核心是利用内心到三边距离相等的性质，将大三角形面积转化为三个等高小三角形的面积和，结合周长即可快速求出结果，是三角形内切圆部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆三角形内心的性质：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。要求△ABC的面积，我们可以用割补法，将△ABC拆分为△OAB、△OBC、△OAC三个小三角形，三个小三角形的高都等于内心到边的距离OD=2，底之和就是△ABC的周长，代入面积公式计算即可。
【解析】
连接OA、OB、OC，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F。
∵点O是△ABC的内心，OD⊥BC，
∴OD=OE=OF=2（三角形内心到三边的距离相等）。
△ABC的面积等于三个小三角形的面积之和：
$S_{△ ABC}=S_{△ OAB}+S_{△ OBC}+S_{△ OAC}$
$=\frac{1}{2}AB· OE + \frac{1}{2}BC· OD + \frac{1}{2}AC· OF$
代入OE=OF=OD=2，提取公因式可得：
$=\frac{1}{2}×2×(AB + BC + AC)$
$=AB + BC + AC$
又
∵△ABC的周长为12，即$AB+BC+AC=12$，
∴$S_{△ ABC}=12$。
【答案】
12
【知识点】
三角形内心的性质；割补法求面积；三角形面积计算
【点评】
本题考查三角形内心相关的面积计算，解题的核心是利用内心到三边距离相等的性质，将大三角形面积转化为三个等高小三角形的面积和，结合周长即可快速求出结果，是三角形内切圆部分的典型基础题。
【难度系数】
0.7
5.△ABC的三边分别为6,8,10,则△ABC内切圆的半径为
$2$
.答案
5.$2$
解析
【分析】
首先观察三角形三边长度6、8、10，可先通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状，发现它是直角三角形。要求内切圆半径，可利用面积法求解：三角形的面积既可以用直角边乘积的一半计算，也可以表示为三个以内切圆圆心为顶点、分别以原三角形三边为底的小三角形的面积之和，而三个小三角形的高都等于内切圆半径r，据此列方程即可求出r的值，也可直接使用直角三角形内切圆半径公式计算。
【解析】
解：第一步：判断△ABC的形状
∵$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$
∴△ABC是直角三角形，直角边长为6、8，斜边长为10
第二步：计算△ABC的面积
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$
第三步：利用内切圆性质列方程求半径
设内切圆半径为r，根据内切圆的性质，圆心到三边的距离均为r，三角形面积可表示为：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × (6 + 8 + 10) × r$
代入面积值得：
$24 = \frac{1}{2} × 24 × r$
解得$r=2$
【答案】
2
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形内切圆性质；面积法计算
【点评】
本题是基础题，解题的关键是先判断三角形为直角三角形，再结合内切圆的性质用面积法建立方程求解，也可直接用直角三角形内切圆半径公式$r=\frac{a+b-c}{2}$（a、b为直角边，c为斜边）快速得出结果。
【难度系数】
0.8
首先观察三角形三边长度6、8、10，可先通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状，发现它是直角三角形。要求内切圆半径，可利用面积法求解：三角形的面积既可以用直角边乘积的一半计算，也可以表示为三个以内切圆圆心为顶点、分别以原三角形三边为底的小三角形的面积之和，而三个小三角形的高都等于内切圆半径r，据此列方程即可求出r的值，也可直接使用直角三角形内切圆半径公式计算。
【解析】
解：第一步：判断△ABC的形状
∵$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$
∴△ABC是直角三角形，直角边长为6、8，斜边长为10
第二步：计算△ABC的面积
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$
第三步：利用内切圆性质列方程求半径
设内切圆半径为r，根据内切圆的性质，圆心到三边的距离均为r，三角形面积可表示为：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × (6 + 8 + 10) × r$
代入面积值得：
$24 = \frac{1}{2} × 24 × r$
解得$r=2$
【答案】
2
【知识点】
勾股定理的逆定理；三角形内切圆性质；面积法计算
【点评】
本题是基础题，解题的关键是先判断三角形为直角三角形，再结合内切圆的性质用面积法建立方程求解，也可直接用直角三角形内切圆半径公式$r=\frac{a+b-c}{2}$（a、b为直角边，c为斜边）快速得出结果。
【难度系数】
0.8
6.如图，△ABC与它的内切圆相切于点D，E，F.若△ABC的周长为20，BC=7，则AD的长为
$3$
.答案
6.$3$
解析
【分析】
本题可利用切线长定理求解，首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等。我们可以设三组切线长分别为未知数，结合已知的BC长度和三角形周长，建立等式即可求出AD的长度。具体思路为：先根据切线长定理得到AD=AF、BD=BE、CE=CF，再设AD=x，BD=y，CE=z，结合BC=y+z=7，利用三角形周长公式列出方程，代入已知条件即可算出x的值。
【解析】
根据切线长定理可得：$AD=AF$，$BD=BE$，$CE=CF$。
设$AD=AF=x$，$BD=BE=y$，$CE=CF=z$。
已知$BC=7$，则$BE+CE=y+z=7$。
又因为$△ ABC$的周长为20，即$AB+BC+AC=20$，其中$AB=AD+BD=x+y$，$AC=AF+CF=x+z$，代入得：
$(x+y)+7+(x+z)=20$
整理得$2x+(y+z)+7=20$，把$y+z=7$代入上式：
$2x+7+7=20$
解得$2x=6$，$x=3$，即$AD=3$。
【答案】
3
【知识点】
切线长定理；三角形内切圆性质
【点评】
本题是三角形内切圆相关的基础题型，解题核心是熟练运用切线长定理得到相等的线段，再结合周长条件建立方程即可求解，掌握切线长定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题可利用切线长定理求解，首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等。我们可以设三组切线长分别为未知数，结合已知的BC长度和三角形周长，建立等式即可求出AD的长度。具体思路为：先根据切线长定理得到AD=AF、BD=BE、CE=CF，再设AD=x，BD=y，CE=z，结合BC=y+z=7，利用三角形周长公式列出方程，代入已知条件即可算出x的值。
【解析】
根据切线长定理可得：$AD=AF$，$BD=BE$，$CE=CF$。
设$AD=AF=x$，$BD=BE=y$，$CE=CF=z$。
已知$BC=7$，则$BE+CE=y+z=7$。
又因为$△ ABC$的周长为20，即$AB+BC+AC=20$，其中$AB=AD+BD=x+y$，$AC=AF+CF=x+z$，代入得：
$(x+y)+7+(x+z)=20$
整理得$2x+(y+z)+7=20$，把$y+z=7$代入上式：
$2x+7+7=20$
解得$2x=6$，$x=3$，即$AD=3$。
【答案】
3
【知识点】
切线长定理；三角形内切圆性质
【点评】
本题是三角形内切圆相关的基础题型，解题核心是熟练运用切线长定理得到相等的线段，再结合周长条件建立方程即可求解，掌握切线长定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
7.如图，$△ ABC$的内切圆$\odot O$与$BC$，$CA$，$AB$分别相切于点$D$，$E$，$F$，若$AB=5\ \mathrm{cm}$，$BC=7\ \mathrm{cm}$，$CA=6\ \mathrm{cm}$，求$AF$，$BD$，$CE$的长.
答案
7.根据切线长定理,设 $AF=AE=x$ cm,则 $BF=BD=(5-x)$ cm,$EC=DC=(6-x)$ cm,根据题意得 $5-x+6-x=7$,解得 $x=2$.
$\therefore AF=2\ \mathrm{cm},BD=3\ \mathrm{cm},EC=4\ \mathrm{cm}.$
$\therefore AF=2\ \mathrm{cm},BD=3\ \mathrm{cm},EC=4\ \mathrm{cm}.$
解析
【分析】
解题时首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等。本题中△ABC的内切圆与三边分别相切，因此可得AF=AE，BF=BD，CD=CE。我们可以设其中一组等长的切线为未知数，用该未知数表示出其余的切线长度，再结合BC边的总长度为7cm列方程，解方程即可求出各段的长度。
【解析】
解：根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线长相等，可得：
$AF=AE$，$BF=BD$，$CD=CE$。
设$AF=AE=x\ \mathrm{cm}$，则$BF=AB-AF=(5-x)\ \mathrm{cm}$，即$BD=(5-x)\ \mathrm{cm}$；
$CE=AC-AE=(6-x)\ \mathrm{cm}$，即$CD=(6-x)\ \mathrm{cm}$。
又因为$BD+CD=BC=7\ \mathrm{cm}$，代入得：
$5-x+6-x=7$
化简得：$11-2x=7$
解得：$x=2$
因此$AF=2\ \mathrm{cm}$，
$BD=5-x=5-2=3\ \mathrm{cm}$，
$CE=6-x=6-2=4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$AF=2\ \mathrm{cm}$，$BD=3\ \mathrm{cm}$，$CE=4\ \mathrm{cm}$
【知识点】
切线长定理；三角形内切圆性质；一元一次方程的应用
【点评】
本题是三角形内切圆相关的基础题型，核心是运用切线长定理得到各段边长的等量关系，通过设未知数列方程的代数方法求解几何问题，掌握切线长定理是顺利解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长度相等。本题中△ABC的内切圆与三边分别相切，因此可得AF=AE，BF=BD，CD=CE。我们可以设其中一组等长的切线为未知数，用该未知数表示出其余的切线长度，再结合BC边的总长度为7cm列方程，解方程即可求出各段的长度。
【解析】
解：根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线长相等，可得：
$AF=AE$，$BF=BD$，$CD=CE$。
设$AF=AE=x\ \mathrm{cm}$，则$BF=AB-AF=(5-x)\ \mathrm{cm}$，即$BD=(5-x)\ \mathrm{cm}$；
$CE=AC-AE=(6-x)\ \mathrm{cm}$，即$CD=(6-x)\ \mathrm{cm}$。
又因为$BD+CD=BC=7\ \mathrm{cm}$，代入得：
$5-x+6-x=7$
化简得：$11-2x=7$
解得：$x=2$
因此$AF=2\ \mathrm{cm}$，
$BD=5-x=5-2=3\ \mathrm{cm}$，
$CE=6-x=6-2=4\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$AF=2\ \mathrm{cm}$，$BD=3\ \mathrm{cm}$，$CE=4\ \mathrm{cm}$
【知识点】
切线长定理；三角形内切圆性质；一元一次方程的应用
【点评】
本题是三角形内切圆相关的基础题型，核心是运用切线长定理得到各段边长的等量关系，通过设未知数列方程的代数方法求解几何问题，掌握切线长定理是顺利解题的关键。
【难度系数】
0.7
