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2. 阅读下面材料:
小元遇到这样一个问题:如图①,在正方形ABCD中,点E,F分别为DC,BC边上的点,∠EAF=45°,连接EF,设DE=a,EF=b,FB=c,则把关于x的一元二次方程$ax^2 -bx +c=0$叫作正方形ABCD的关联方程,正方形ABCD叫作方程$ax^2 -bx +c=0$的关联四边形.
探究方程$ax^2 -bx +c=0$是否存在常数根t.
小元是这样思考的:要想解决这个问题,首先应想办法把这些分散的线段集中到同一条线段上.他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法,发现通过旋转可以解决此问题.他的方法是把$△ ADE$绕点A顺时针旋转$90°$得到$△ ABG$(如图②),此时GF等于DE+BF.
请回答:$t=$
参考小元得到的结论和思考问题的方法,解决下列问题:
(1)如图①,若$AD=10,DE=4$,则正方形ABCD的关联方程为
(2)正方形ABCD的关联方程是$2x^2 -bx+3=0$,则正方形ABCD的面积=
小元遇到这样一个问题:如图①,在正方形ABCD中,点E,F分别为DC,BC边上的点,∠EAF=45°,连接EF,设DE=a,EF=b,FB=c,则把关于x的一元二次方程$ax^2 -bx +c=0$叫作正方形ABCD的关联方程,正方形ABCD叫作方程$ax^2 -bx +c=0$的关联四边形.
探究方程$ax^2 -bx +c=0$是否存在常数根t.
小元是这样思考的:要想解决这个问题,首先应想办法把这些分散的线段集中到同一条线段上.他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法,发现通过旋转可以解决此问题.他的方法是把$△ ADE$绕点A顺时针旋转$90°$得到$△ ABG$(如图②),此时GF等于DE+BF.
请回答:$t=$
1
.参考小元得到的结论和思考问题的方法,解决下列问题:
(1)如图①,若$AD=10,DE=4$,则正方形ABCD的关联方程为
$4x^2-\frac{58}{7}x+\frac{30}{7}=0$
;(2)正方形ABCD的关联方程是$2x^2 -bx+3=0$,则正方形ABCD的面积=
36
.答案
解析:
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ ∠D = ∠ABC =∠BAD=90°.
∵ 把 △ADE 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ABG,
∴ AE=AG,∠ABG=∠D=90°,∠GAB=∠EAD,DE=BG=a,∠GAE=90°.
∵ ∠EAF=45°,
∴ ∠GAF=∠EAF=45°,
在△GAF 和 △EAF 中,$\begin{cases} AG=AE, \\ ∠GAF=∠EAF, \\ AF=AF, \end{cases}$
∴ △GAF≌△EAF(SAS),
∴ GF=EF,即 BG+BF=EF.
∵ BG=a,EF=b,FB=c,
∴ a+c=b,即 a-b+c=0,
∴ 关于 x 的一元二次方程 ax²-bx+c=0 有一个根是 x=1,
∴ t=1.故答案为 1.
(1)解析:
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ BC=CD=AD=10.
∵ DE=4=a,
∴ CE=CD-DE=6,由阅读材料知 DE+BF=EF=b,FB=c,
∴ EF=4+c,CF=BC-BF=10-c.在 Rt△CEF 中,CF²+CE²=EF²,
∴ (10-c)²+6²=(4+c)²,解得 c=$\frac{30}{7}$,
∴ b=EF=4+c=$\frac{58}{7}$,而 a=4,
∴ 正方形 ABCD 的关联方程为 4x²-$\frac{58}{7}$x+$\frac{30}{7}$=0.故答案为 $4x^2-\frac{58}{7}x+\frac{30}{7}=0$.
(2)解析:由阅读材料知,正方形 ABCD 的关联方程 2x²-bx+3=0 存在常数根 x=1,
∴ 2×1²-b+3=0,解得 b=5,
∴ 正方形 ABCD 的关联方程是 2x²-5x+3=0,
∴ DE=2,BF=3,EF=5.设正方形 ABCD 的边长为 m,在 Rt△CEF 中,CF²+CE²=EF²,
∴ (m-2)²+(m-3)²=5²,解得 m=6 或 m=-1(舍去),
∴ 正方形 ABCD 的边长为 6,
∴ 正方形 ABCD 的面积为 36.故答案为 36.
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ ∠D = ∠ABC =∠BAD=90°.
∵ 把 △ADE 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ABG,
∴ AE=AG,∠ABG=∠D=90°,∠GAB=∠EAD,DE=BG=a,∠GAE=90°.
∵ ∠EAF=45°,
∴ ∠GAF=∠EAF=45°,
在△GAF 和 △EAF 中,$\begin{cases} AG=AE, \\ ∠GAF=∠EAF, \\ AF=AF, \end{cases}$
∴ △GAF≌△EAF(SAS),
∴ GF=EF,即 BG+BF=EF.
∵ BG=a,EF=b,FB=c,
∴ a+c=b,即 a-b+c=0,
∴ 关于 x 的一元二次方程 ax²-bx+c=0 有一个根是 x=1,
∴ t=1.故答案为 1.
(1)解析:
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ BC=CD=AD=10.
∵ DE=4=a,
∴ CE=CD-DE=6,由阅读材料知 DE+BF=EF=b,FB=c,
∴ EF=4+c,CF=BC-BF=10-c.在 Rt△CEF 中,CF²+CE²=EF²,
∴ (10-c)²+6²=(4+c)²,解得 c=$\frac{30}{7}$,
∴ b=EF=4+c=$\frac{58}{7}$,而 a=4,
∴ 正方形 ABCD 的关联方程为 4x²-$\frac{58}{7}$x+$\frac{30}{7}$=0.故答案为 $4x^2-\frac{58}{7}x+\frac{30}{7}=0$.
(2)解析:由阅读材料知,正方形 ABCD 的关联方程 2x²-bx+3=0 存在常数根 x=1,
∴ 2×1²-b+3=0,解得 b=5,
∴ 正方形 ABCD 的关联方程是 2x²-5x+3=0,
∴ DE=2,BF=3,EF=5.设正方形 ABCD 的边长为 m,在 Rt△CEF 中,CF²+CE²=EF²,
∴ (m-2)²+(m-3)²=5²,解得 m=6 或 m=-1(舍去),
∴ 正方形 ABCD 的边长为 6,
∴ 正方形 ABCD 的面积为 36.故答案为 36.
3. (2026·济南月考)城建部门计划修建一条喷泉步行通道.图①是项目俯视示意图.步行通道的一侧是一排垂直于路面的柱形喷水装置,另一侧是方形水池.图②是主视示意图.喷水装置OA的高度是2米,水流从喷头A处喷出后呈抛物线路径落入水池内.当水流在与喷头水平距离为2米时达到最高点B,此时距路面的最大高度为3.6米.为避免溅起的水雾影响通道上的行人,计划安装一个透明的倾斜防水罩.防水罩的一端固定在喷水装置上的点M处,另一端与路面的垂直高度NC为1.8米,且与喷泉水流的水平距离ND为0.3米.点C到水池外壁的水平距离CE=0.6米,求步行通道的宽OE.(结果精确到0.1米,参考数据:$\sqrt{2}\approx1.41$)
答案
如图,以路面上的点 O 为原点,水平方向为 x 轴,竖直方向为 y轴建立平面直角坐标系.喷头 A在喷水装置顶端,OA 高 2 米,故 A 点坐标为(0,2).水流最高点 B 距喷头水平距离 2 米,高度3.6 米,故 B 点坐标为(2,3.6).设抛物线的顶点式为 y=a(x-2)²+3.6,顶点为 B(2,3.6).将 A点坐标(0,2)代入顶点式:2=a(0-2)²+3.6 化简得 2=4a+3.6,移项得 4a=-1.6,解得 a=-0.4.因此,水流轨迹的抛物线表达式为 y=-0.4(x-2)²+3.6. 防水罩另一端 N 的高度 NC=1.8 米,且 ND=0.3 米(水平距离),说明点 D 在抛物线上且纵坐标为 1.8.令 y=1.8 代入抛物线表达式得1.8=-0.4(x-2)²+3.6,移项得-0.4(x-2)²=-1.8,两边除以-0.4得(x-2)²=4.5,开平方得 x-2=±$\sqrt{4.5}$=±$\frac{3\sqrt{2}}{2}$(因水流从左向右喷射,取右侧正根).因此,点 D 的横坐标为 x=2+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$.
已知 ND=0.3 米是水平距离,说明 N 在 D 左侧 0.3 米处,故点 N 的横坐标为 $x_N=(2+\frac{3\sqrt{2}}{2})-0.3$,NC 垂直路面,C 与 N在同一竖直线上,故 C 点坐标为 $(2+\frac{3\sqrt{2}}{2}-0.3,0)$.已知CE=0.6 米,且 E 在 C 左侧(水池外壁在 C 左侧),故点 E 的横坐标为 $x_E=(2+\frac{3\sqrt{2}}{2}-0.3)-0.6=2-0.9+\frac{3\sqrt{2}}{2}=1.1+\frac{3\sqrt{2}}{2}$,代入$\sqrt{2}\approx1.41$,计算得$\frac{3\sqrt{2}}{2}\approx\frac{3×1.41}{2}=2.115$,则 $x_E\approx1.1+2.115=3.215\approx3.2$(精确到 0.1 米).因此步行通道的宽 OE约为 3.2 米.
已知 ND=0.3 米是水平距离,说明 N 在 D 左侧 0.3 米处,故点 N 的横坐标为 $x_N=(2+\frac{3\sqrt{2}}{2})-0.3$,NC 垂直路面,C 与 N在同一竖直线上,故 C 点坐标为 $(2+\frac{3\sqrt{2}}{2}-0.3,0)$.已知CE=0.6 米,且 E 在 C 左侧(水池外壁在 C 左侧),故点 E 的横坐标为 $x_E=(2+\frac{3\sqrt{2}}{2}-0.3)-0.6=2-0.9+\frac{3\sqrt{2}}{2}=1.1+\frac{3\sqrt{2}}{2}$,代入$\sqrt{2}\approx1.41$,计算得$\frac{3\sqrt{2}}{2}\approx\frac{3×1.41}{2}=2.115$,则 $x_E\approx1.1+2.115=3.215\approx3.2$(精确到 0.1 米).因此步行通道的宽 OE约为 3.2 米.
