1. 如图,在菱形ABCD中,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,点E为垂足,连接DF.若∠BAD=α,则∠CDF为 ()

A.α
B.$\frac{3}{2}α$
C.$180°-\frac{3}{2}α$
D.$180°-2α$

1. C 解析:
∵ 四边形ABCD是菱形,
∴ ∠DCF = ∠BCF,CD = CB,∠BAF = $\frac{1}{2}∠BAD = \frac{1}{2}α$,∠BAD + ∠ABC = 180°,在△BCF 和 △DCF 中,$\begin{cases} CB=CD, \\ ∠BCF=∠DCF, \\ CF=CF, \end{cases}$
∴ △BCF≌△DCF,
∴ ∠CBF = ∠CDF.
∵ FE 垂直平分 AB, ∠BAF = $\frac{1}{2}α$,
∴ ∠ABF = ∠BAF = $\frac{1}{2}α$.
∵ ∠ABC = 180° - ∠BAD = 180° - α,
∴ ∠CBF = ∠ABC - ∠ABF = 180° - α - $\frac{1}{2}α$ = 180° - $\frac{3}{2}α$,
∴ ∠CDF = 180° - $\frac{3}{2}α$. 故选 C.

2. 如图,已知在矩形$ABCD$中,$M$是$AD$边的中点,$BM$与$AC$垂直,交直线$AC$于点$N$,连接$DN$,则下列四个结论中:①$CN=2AN$;②$DN=DC$;③$\frac{CD}{AD}=\sqrt{2}$;④$△ AMN ∽ △ CAB$.正确的有 ()

A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.①②③④

2. B 解析:在矩形 ABCD 中,AD // BC,
∴ △AMN∽△CBN,
∴ $\frac{AM}{BC}=\frac{AN}{CN}$.
∵ M 是 AD 边的中点,
∴ AM = MD = $\frac{1}{2}AD$ = $\frac{1}{2}BC$,
∴ $\frac{AN}{NC}=\frac{1}{2}$,
∴ CN=2AN,故①正确;
如图,过 D 作 DH // BM 交 AC 于 G,连接 NH,
∵ DH // BM, BM ⊥ AC,
∴ DH ⊥ AC.
∵ DH // BM,AD // BC,
∴ 四边形 BMDH 是平行四边形,
∴ BH = MD = $\frac{1}{2}BC$,
∴ BH=CH.
∵ ∠BNC=90°,
∴ NH=HC.又 DH ⊥ AC,
∴ DH 是 NC 的垂直平分线,
∴ DN=DC,故②正确;
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴ AD // BC,∠ABC=90°,AD=BC,
∴ ∠DAC= ∠ACB, ∠ABC = ∠ANM = 90°,
∴ △AMN ∽ △CAB,故④正确;
∵ △AMN∽△CAB,
∴ $\frac{MN}{AN}=\frac{AB}{BC}$.
∵ ∠DAC=∠BCA,且∠BAC+∠ACB=90°,∠DAC+∠AMB=90°,
∴ ∠BAC=∠AMB. 又∠BAM=∠ABC,
∴ △ABM∽△BCA,
∴ $\frac{AM}{AB}=\frac{AB}{BC}$,
∴ $AB^2 = \frac{1}{2}BC^2$,
∴ $AB=\frac{\sqrt{2}}{2}BC$,
∴ $\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴ $\frac{CD}{AD}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,故③错误.
故选 B.

3. 如图,菱形ABCD中,$AB=2\sqrt{3}$,$∠ABC=60°$,矩形BEFG的边EF经过点C,且点G在边AD上,若BG=4,则BE的长为.

3. $\frac{3\sqrt{3}}{2}$ 解析:如图,过点 G 作 GM ⊥ BC 于点 M,过点 C 作 CN ⊥ AD 于点 N,则∠GMB=∠GMC=∠CNG=∠CND=90°.
∵ 四边形 ABCD 为菱形,
∴ AB=BC=CD=$2\sqrt{3}$,∠ABC = ∠D = 60°, AD // BC,
∴ ∠MGN=90°,
∴ 四边形 GMCN 为矩形,
∴ GM = CN, 在 Rt△CDN 中,∠D=60°,CD=$2\sqrt{3}$,
∴ ∠NCD=30°,
∴ CN=3,
∴ GM=3.
∵ 四边形 BEFG 为矩形,
∴ ∠E=90°,BG//EF,
∴ ∠BCE = ∠GBM. 又
∵ ∠E = ∠BMG = 90°,
∴ △GBM∽△BCE,
∴ $\frac{BG}{BC}=\frac{GM}{BE}$,
∴ $\frac{4}{2\sqrt{3}}=\frac{3}{BE}$,
∴ $BE=\frac{3\sqrt{3}}{2}$. 故答案为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

4. 如图,已知正方形ABCD,AB=10,E为BC边上的一点,连接AE,将AE绕点E顺时针旋转90°,得到EF.连接DF,以DF为边作正方形DFMN,设正方形DFMN的面积为S,则S的最小值为.

4. 50 解析:如图,过点 F 作 FH ⊥ BC,交 BC 的延长线于点 H,
∵ 四边形 ABCD 为正方形,将 AE 绕点 E 顺时针旋转 90°,得到 EF,
∴ ∠1+∠2=90°,∠3+∠2=90°,∠B=∠H,AE=EF,
∴ ∠1=∠3,
∴ △ABE ≅ △EHF (AAS),
∴ BE=HF,BC=AB=EH,
∴ BC-CE=EH-CE,即 BE=HC,
∴ HC=HF,
∴ △CHF为等腰直角三角形,
∴ ∠HCF=45°,
∴ ∠DCF=45°,
∴ 点 F 在射线 CK 上,
∴ 当 DF ⊥ CK 时,DF 最短,即此时正方形 DFMN 的面积最小,
∴ 此时△CDF 为等腰直角三角形,
∴ $DF^2+CF^2=CD^2$,
∴ $2DF^2=CD^2$,
∴ $DF^2=\frac{10^2}{2}=50$,
∴ S 的最小值为 50. 故答案为 50.

5. 在菱形ABCD中，∠ABC=60°,P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE(A，P,E按逆时针排列)，点E的位置随点P的位置变化而变化.
(1)如图①，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是，BC与CE的位置关系是.
(2)如图②，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由.
(3)当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE.若AB=2，$BE=2\sqrt{13}$，请直接写出△APE的面积.

5. (1)BP=CE CE⊥BC 解析:如图①,连接 AC,延长 CE 交 AD 于 H,
∵ 四边形 ABCD 是菱形,∠ABC=60°,
∴ AB=BC=CD=AD,
∴ △ABC,△ACD 都是等边三角形,∠ABD=∠CBD=30°,
∴ AB=AC,∠BAC=60°,∠CAH=60°.
∵ △APE 是等边三角形,
∴ AP=AE,∠PAE=60°.
∵ ∠BAC=∠PAE,
∴ ∠BAP + ∠PAC = ∠CAE + ∠PAC,
∴ ∠BAP = ∠CAE,
∴ △BAP≌△CAE(SAS),
∴ BP=CE,∠ABP=∠ACE=30°.
∵ △ACD 是等边三角形,
∴ ∠ACD = 2∠ACH = 60°,
∴ CH ⊥ AD,即 CE ⊥ AD. 又
∵ AD // BC,
∴ CE ⊥ BC. 故答案为 BP=CE;CE⊥BC.

(2)(1)中结论仍然成立,证明如下:
如图②,连接 AC,
∵ AB = BC = CD = AD, ∠ABC = 60°,
∴ △ABC,△ACD 为等边三角形. 在 △ABP 和 △ACE 中,AB=AC,AP=AE. 又
∵ ∠BAP=∠BAC+∠CAP=60°+∠CAP,∠CAE=∠EAP+∠CAP=60°+∠CAP,
∴ ∠BAP=∠CAE,
∴ △ABP≌△ACE(SAS),
∴ BP=CE,∠ACE=∠ABD=30°,则∠ACD = 2∠ACE = 60°,
∴ CE ⊥ AD. 又
∵ AD // BC,
∴ CE ⊥ BC.
(3)△APE 的面积为 $7\sqrt{3}$ 或 $19\sqrt{3}$. 解析:如图③中,当点 P 在 BD 的延长线上时,连接 AC 交 BD 于点 O,连接 CE,作 EF ⊥ AP 于 F,
∵ 四边形 ABCD 是菱形,
∴ AC ⊥ BD,BD 平分 ∠ABC.
∵ ∠ABC = 60°, AB = 2,
∴ ∠ABO = 30°,
∴ OA = $\frac{1}{2}AB=1$,
∴ OB = $\sqrt{AB^2-OA^2}=\sqrt{3}$,
∴ BD=2OB=$2\sqrt{3}$,OD=OB=$\sqrt{3}$. 由(2)知 CE ⊥ BC,
∵ BE = $2\sqrt{13}$, BC = AB = 2,
∴ CE = $\sqrt{BE^2-BC^2}=4\sqrt{3}$.
由(2)知 BP=CE=$4\sqrt{3}$,
∴ DP=BP-BD=$2\sqrt{3}$,
∴ OP=OD+PD=$3\sqrt{3}$,
∴ AP = $\sqrt{OA^2+OP^2}=2\sqrt{7}$.
∵ △APE 是等边三角形, EF ⊥ AP,
∴ AF = $\frac{1}{2}AP=\sqrt{7}$,
∴ EF = $\sqrt{AE^2-AF^2}=\sqrt{AP^2-AF^2}=\sqrt{21}$,
∴ $S_{△AEP}=\frac{1}{2}AP×EF=7\sqrt{3}$;
如图④中,当点 P 在 DB 的延长线上时,连接 AC 交 BD 于点 O,连接 CE,作 EF ⊥ AP 于 F, 同理得 CE = $\sqrt{BE^2-BC^2}=4\sqrt{3}$,OA=1,OB=$\sqrt{3}$,
由(2)知 BP=CE=$4\sqrt{3}$,
∴ OP = BO + BP = $5\sqrt{3}$,
∴ AP = $\sqrt{OA^2+OP^2}=2\sqrt{19}$.
∵ △APE 是等边三角形,EF ⊥ AP,
∴ AF = $\frac{1}{2}AP=\sqrt{19}$,
∴ EF = $\sqrt{AE^2-AF^2}=\sqrt{AP^2-AF^2}=\sqrt{57}$,
∴ $S_{△AEP}=\frac{1}{2}AP×EF=19\sqrt{3}$.
综上所述,△AEP 的面积为 $7\sqrt{3}$ 或 $19\sqrt{3}$.