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1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是（
A.对边平行且相等
B.对角线互相垂直
C.每条对角线平分一组对角
D.四边相等
A
）A.对边平行且相等
B.对角线互相垂直
C.每条对角线平分一组对角
D.四边相等
答案
1.A 解析:根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质可知,它们共同的性质是对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分.故选 A.
2. 如图，正方形ABCD的周长为28 cm，则矩形MNGC的周长是 （
A.24 cm
B.14 cm
C.18 cm
D.7 cm
B
）A.24 cm
B.14 cm
C.18 cm
D.7 cm
答案
2.B 解析:
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ ∠DBC=∠BDC=45°.
∵ 正方形 ABCD 的周长为 28 cm,
∴ BC+CD = 14 cm.
∵ 四边形 NMC G 是矩形,
∴ ∠NGB=∠NMD=90°,
∴ △BNG与△DNM 都是等腰直角三角形,
∴ BG=GN,NM=DM,
∴ 矩形 MNGC 的周长是 MN+MC+CG+NG = BC+CD = 14 cm.故选 B.
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ ∠DBC=∠BDC=45°.
∵ 正方形 ABCD 的周长为 28 cm,
∴ BC+CD = 14 cm.
∵ 四边形 NMC G 是矩形,
∴ ∠NGB=∠NMD=90°,
∴ △BNG与△DNM 都是等腰直角三角形,
∴ BG=GN,NM=DM,
∴ 矩形 MNGC 的周长是 MN+MC+CG+NG = BC+CD = 14 cm.故选 B.
3. (2026·济南期末)如图,点E是正方形ABCD对角线BD上的一点,连接CE,AE,延长CE交AD于点F,若∠DCE=26°,则∠AEF的度数是
38°
.答案
3.38° 解析:
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ AD=CD,∠ADE=∠CDE,∠ADC=90°.
∵ ∠DCE = 26°,
∴ ∠DFC = 90°-∠DCE = 90° - 26° = 64°, 在 △ADE 和 △CDE 中,
$\begin{cases} DA=DC, \\ ∠ADE=∠CDE, \\ DE=DE, \end{cases}$
∴ △ADE ≌ △CDE ( SAS ),
∴ ∠DAE = ∠DCE=26°,
∴ ∠AEF=∠DFC-∠DAE=64°-26°=38°.
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ AD=CD,∠ADE=∠CDE,∠ADC=90°.
∵ ∠DCE = 26°,
∴ ∠DFC = 90°-∠DCE = 90° - 26° = 64°, 在 △ADE 和 △CDE 中,
$\begin{cases} DA=DC, \\ ∠ADE=∠CDE, \\ DE=DE, \end{cases}$
∴ △ADE ≌ △CDE ( SAS ),
∴ ∠DAE = ∠DCE=26°,
∴ ∠AEF=∠DFC-∠DAE=64°-26°=38°.
4.（恩施州中考）如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，$CE ⊥ BG$于点E，$DF ⊥ CE$于点F.求证:$DF=BE+EF$.
答案
4.
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ BC=CD,∠BCD=90°.
∵ CE ⊥ BG,DF ⊥ CE,
∴ ∠BEC=∠DFC=90°,
∴ ∠BCE+∠CBE = 90°.
∵ ∠BCE+∠DCF=90°,
∴ ∠CBE = ∠DCF.在△CBE 和△DCF 中,
∵ ∠EBC = ∠FCD, ∠BEC = ∠CFD, BC = CD,
∴ △CBE≌ △DCF,
∴ BE = CF , CE = DF.
∵ CE = EF + CF ,
∴ DF=BE+EF.
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ BC=CD,∠BCD=90°.
∵ CE ⊥ BG,DF ⊥ CE,
∴ ∠BEC=∠DFC=90°,
∴ ∠BCE+∠CBE = 90°.
∵ ∠BCE+∠DCF=90°,
∴ ∠CBE = ∠DCF.在△CBE 和△DCF 中,
∵ ∠EBC = ∠FCD, ∠BEC = ∠CFD, BC = CD,
∴ △CBE≌ △DCF,
∴ BE = CF , CE = DF.
∵ CE = EF + CF ,
∴ DF=BE+EF.
5. 如图,在正方形ABCD的边BC上取一点E,连接AE并延长交DC的延长线于点F,将射线AE绕点A顺时针旋转$45°$后交CB的延长线于点G,连接FG,若$∠ AFD=α$,则$∠ CGF$的大小是 (
A.$α$
B.$45° - \frac{α}{2}$
C.$90° - 2α$
D.$60° - α$
C
)A.$α$
B.$45° - \frac{α}{2}$
C.$90° - 2α$
D.$60° - α$
答案
5.C 解析:如图,在 DC 上截取 DH = BG,连接 AH.
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ AB=AD,∠ADC=∠ABC=90°=∠ABG.
在△ADH 和△ABG 中,$\begin{cases} AD=AB, \\ ∠ADH=∠ABG, \\ DH=BG, \end{cases}$
∴ △ADH ≌ △ABG ( SAS ),
∴ AG = AH,∠DAH=∠BAG,
∴ ∠DAB = ∠GAH = 90°.
∵ 将射线 AE 绕点 A 顺时针旋转 45°后交 CB 的延长线于点 G,
∴ ∠GAE = 45°,
∴ ∠GAE = ∠HAF = 45°. 又
∵ AF = AF,
∴ △AFG≌△AFH(SAS),
∴ ∠AGF = ∠AHF.
∵ ∠AFD = α,
∴ ∠AHF = 180°-α-45° = 135°-α = ∠AGF.
∵ AB//CD,
∴ ∠BAE=∠AFD = α,
∴ ∠BAG = 45°-α,
∴ ∠AGC = 90°-(45°-α) = 45°+α,
∴ ∠CGF = ( 135°-α ) - ( 45°+α ) = 90°-2α.故选 C.
6. (2026·西安期中)如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,正方形$A'B'C'O$与正方形ABCD的边长相等,在正方形$A'B'C'O$绕点O旋转的过程中,当重叠部分为四边形BEOF且面积为$\frac{15}{4}$时,则正方形ABCD的边长为
√15
.答案
6.$\sqrt{15}$ 解析:
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ OB = OC,∠OBE = ∠OBC = ∠OCB = 45°,∠BOC = 90°,
∴ ∠BOF + ∠FOC = 90°.
∵ 四边形 A'B'C' O 为正方形,
∴ ∠EOF = ∠EOB+∠BOF = 90°,
∴ ∠EOB = ∠FOC,在△OEB 与△OFC中,$\begin{cases} ∠EOB=∠FOC, \\ OB=OC, \\ ∠OBE=∠OCF, \end{cases}$
∴ △OEB≌△OFC(ASA),
∴ $S_{△OEB}=S_{△OFC}$,
∴ $S_{四边形OEBF}=S_{△OEB}+S_{△OBF}=S_{△OFC}+S_{△OBF}=S_{△OBC}$.
∵ $S_{△OBC}=\frac{1}{2}OB·OC=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}BD×\frac{1}{2}AC=\frac{1}{4}×(\frac{1}{2}AC×BD)=\frac{1}{4}S_{正方形ABCD}$,
∴ $\frac{1}{4}BC^2=\frac{15}{4}$,解得 $BC=\sqrt{15}$,
∴ 正方形 ABCD 的边长为 $\sqrt{15}$.
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ OB = OC,∠OBE = ∠OBC = ∠OCB = 45°,∠BOC = 90°,
∴ ∠BOF + ∠FOC = 90°.
∵ 四边形 A'B'C' O 为正方形,
∴ ∠EOF = ∠EOB+∠BOF = 90°,
∴ ∠EOB = ∠FOC,在△OEB 与△OFC中,$\begin{cases} ∠EOB=∠FOC, \\ OB=OC, \\ ∠OBE=∠OCF, \end{cases}$
∴ △OEB≌△OFC(ASA),
∴ $S_{△OEB}=S_{△OFC}$,
∴ $S_{四边形OEBF}=S_{△OEB}+S_{△OBF}=S_{△OFC}+S_{△OBF}=S_{△OBC}$.
∵ $S_{△OBC}=\frac{1}{2}OB·OC=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}BD×\frac{1}{2}AC=\frac{1}{4}×(\frac{1}{2}AC×BD)=\frac{1}{4}S_{正方形ABCD}$,
∴ $\frac{1}{4}BC^2=\frac{15}{4}$,解得 $BC=\sqrt{15}$,
∴ 正方形 ABCD 的边长为 $\sqrt{15}$.
7. 如图,在正方形ABCD中,AB=9,点E在CD边上,且DE=2CE,点P是对角线AC上的一个动点,则PE+PD的最小值为
3√10
.答案
7.$3\sqrt{10}$ 解析:如图,连接 BE,PB,设 BE 与 AC 交于点 P',连接 P'D.
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ 点 B 与点 D 关于直
线 AC 对称,∴ P'D = P'B,PB = PD,
∴ PD+PE = PB+PE.当 P 为 AC 与 BE 的交点 P'时,PD+PE 最小,为 BE 的长度.
∵ 在Rt△CBE 中,∠BCE = 90°,BC = 9,CE = $\frac{1}{3}CD$ = 3,
∴ BE = $\sqrt{9^2+3^2}=3\sqrt{10}$.
8. 如图, 在 Rt△ABC 中, ∠ACB = 90°, AC = 3, BC = 4, 分别以 AB, AC, BC 为边在 AB 的同侧作正方形 ABEF, ACPQ, BCMN, 四块阴影部分的面积分别为$ S_1, S_2, S_3, S_4, $则$ S_1 + S_2 + S_3 + S_4 $等于
18
.答案
8.18 解析:过点 F 作 AM 的垂线交 AM 于点 D,连接 PF,如图.
∵ FD⊥AD,PC⊥AD,
∴ PC//FD.
设 CP 和 AF 的交点为 T,EF 和 CM 的交点为 K,由题可知∠FAD=∠CBA,∠FDA=∠ACB=90°,AF=AB,
在△ADF 和△BCA 中,$\begin{cases} ∠FDA=∠ACB, \\ ∠FAD=∠ABC, \\ AF=BA, \end{cases}$
∴ △ADF≌△BCA(AAS),
∴ AC = FD, 同理可证△DFK≌△CAT,
∴ $S_2=S_{△ADF}=S_{△ABC}$.
由△DFK≌△CAT,可得 FK = AT.
∵ EF = AF,
∴ EF-FK = AF-AT,即 FT=KE,同理可证△FPT≌△EMK,
∴ $S_3=S_{△FPT}$.
∵ PC//FD 且 PC = FD,
∴ 四边形 PFDC 是平行四边形,
∴ PF//CD,又
∵ PQ//AC,
∴ 点 Q,P,F 共线.易证△AQF≌△ACB,
∴ $S_1+S_3=S_{△AQF}=S_{△ABC}$.
易证△ABC≌△EBN,
∴ $S_4=S_{△ABC}$,
∴ $S_1+S_2+S_3+S_4=(S_1+S_3)+S_2+S_4=S_{△ABC}+S_{△ABC}+S_{△ABC}=3S_{△ABC}=4×3÷2×3=18$.
