9. (哈尔滨中考)已知四边形ABCD是正方形,点E在边DA的延长线上,连接CE交AB于点G,过点B作BM⊥CE,垂足为M,BM的延长线交AD于点F,交CD的延长线于点H.
(1)如图①,求证:CE=BH;
(2)如图②,若AE=AB,连接CF,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图②中的四个三角形(△AEG除外),使写出的每个三角形都与△AEG全等.

9.(1)
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ BC = CD = AD = AB,∠BCD = ∠ADC = 90°.
∵ BM ⊥ CE,
∴ ∠HMC = ∠ADC = 90°,
∴ ∠H+∠HCM = ∠E+∠ECD,
∴ ∠H = ∠E. 在 △EDC 和△HCB 中,
∵ ∠E = ∠H, ∠EDC = ∠HCB = 90°, CD = BC,
∴ △EDC≌△HCB,
∴ CE=BH.
(2)△BCG,△DCF,△DHF,△ABF.
解析:
∵ AE = AB,
∴ AE = BC = AD = CD.
∵ △EDC≌△HCB,
∴ ED = HC.
∵ AD = CD,
∴ AE = HD = BC = AB. 在 △AEG 和△BCG 中,
∵ ∠EAG = ∠CBG = 90°,∠AGE = ∠BGC,AE = BC,
∴ △AEG≌△BCG,
∴ AG = BG = $\frac{1}{2}AB$. 同理可证△AFB≌△DFH,
∴ AF = DF = $\frac{1}{2}AD$,
∴ AG = AF = DF. 在 △AEG 和△ABF 中,
∵ AE = AB, ∠EAG = ∠BAF = 90°, AG = AF,
∴ △AEG ≌ △ABF. 同理 可 证 △AEG ≌ △DHF,△AEG≌△DCF.

10. 如图,在正方形ABCD中,点E是对角线AC上的一个动点(不与点A,C重合),连接BE,点C关于直线BE的对称点为点F,连接BF,EF.
(1)如图①,若点F恰好落在对角线BD上,连接AF,求∠CAF的度数.
(2)如图②,连接DF,CF,若DF//BE,试判断线段DF与CF的数量关系和位置关系,并说明理由.
(3)如图③,连接DF,DE,记△DEF的面积为S₁,△BEF的面积为S₂,若DF⊥FE,求$\frac{S₁}{S₂}$的值.

10.(1)
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ AB = BC,∠BAD = ∠ABC = 90°,∠ABD = $\frac{1}{2}∠ABC = 45°$,∠BAC = $\frac{1}{2}∠BAD = 45°$.
∵ 点 C 关于直线 BE 的对称点为点 F,
∴ BF = BC,
∴ AB = BF,
∴ ∠BAF = ∠BFA = $\frac{180°-∠ABD}{2}=\frac{180°-45°}{2}=67.5°$,
∴ ∠CAF = ∠BAF - ∠BAC = 67.5°-45°=22.5°.
(2)DF⊥CF,CF=2DF,理由如下:如图①,延长 BE 交 CF 于点 G,
∵ 点 C 关于直线 BE 的对称点为点 F,
∴ BG⊥CF,CF = 2CG,
∴ ∠BGC = 90°.
∵ DF // BE,
∴ DF ⊥ CF,
∴ ∠CFD = 90°,
∴ ∠BGC = ∠CFD = 90°,
∴ ∠DCF + ∠CDF = 90°.
∵ ∠BCD = 90°,
∴ ∠BCG + ∠DCF = 90°,
∴ ∠BCG = ∠CDF.
∵ BC = CD,
∴ △BCG≌△CDF(AAS),
∴ CG=DF,
∴ CF=2DF.
(3)如图②,作 BH ⊥ DF,交 DF 的延长线于点 H,作 BG ⊥ FE,交 FE 的延长线于点 G,连接 BD 交 AC 于点 O,不妨设正方形的边长是 2,
∵ 四边形 ABCD 是正方形,
∴ BD⊥AC,BD = $\sqrt{2}AB=2\sqrt{2}$,OB = OD = $\frac{1}{2}BD=\sqrt{2}$,∠ACB = $\frac{1}{2}∠BCD=45°$.
∵ 点 C 关于直线 BE 的对称点为点 F,
∴ $S_{△BCE}=S_{△BEF}$,CE = EF,∠BFE = ∠ACB = 45°,BF = BC=2,
∴ $\frac{1}{2}EF·BG=\frac{1}{2}CE·OB$,
∴ BG = OB = $\sqrt{2}$.
∵ DF ⊥ EF,
∴ ∠DFE = 90°,
∴ ∠BFH = 180°-∠DFE-∠BFE = 45°,
∴ △BHF 是等腰直角三角形,
∴ BH = FH = $\frac{\sqrt{2}}{2}BF=\sqrt{2}$,
∴ DH = $\sqrt{BD^2-BH^2}=\sqrt{(2\sqrt{2})^2-(\sqrt{2})^2}=\sqrt{6}$,
∴ DF = DH-FH = $\sqrt{6}-\sqrt{2}$,
∴ $\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{1}{2}EF·DF}{\frac{1}{2}EF·BG}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}-1$.