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一、基础性作业
1. 下列选项中的∠1可以用∠O表示的是（
1. 下列选项中的∠1可以用∠O表示的是（
A
）。答案
1.A
解析
【分析】
要判断∠1能否用∠O表示，首先要明确角的表示规则：当角的顶点处只有唯一1个角时，才可以用顶点的单个大写字母表示这个角，避免混淆。我们只需要逐个判断每个选项中顶点O处的角的数量，只有O处仅1个角的选项符合要求。
【解析】
根据角的表示规则：若顶点处存在多个角，不可用单个顶点字母表示角，否则无法区分具体是哪个角。
选项A：顶点O处只有∠1这1个角，因此∠1可以用∠O表示，符合要求；
选项B：顶点O处共有3个角，用∠O无法确定对应哪个角，不符合要求；
选项C：顶点O处共有2个角，用∠O无法区分，不符合要求；
选项D：顶点O处共有4个角，用∠O无法确定具体角，不符合要求。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
角的表示方法
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是掌握用单个顶点字母表示角的前提条件，牢记规则即可快速判断正误。
【难度系数】
0.9
要判断∠1能否用∠O表示，首先要明确角的表示规则：当角的顶点处只有唯一1个角时，才可以用顶点的单个大写字母表示这个角，避免混淆。我们只需要逐个判断每个选项中顶点O处的角的数量，只有O处仅1个角的选项符合要求。
【解析】
根据角的表示规则：若顶点处存在多个角，不可用单个顶点字母表示角，否则无法区分具体是哪个角。
选项A：顶点O处只有∠1这1个角，因此∠1可以用∠O表示，符合要求；
选项B：顶点O处共有3个角，用∠O无法确定对应哪个角，不符合要求；
选项C：顶点O处共有2个角，用∠O无法区分，不符合要求；
选项D：顶点O处共有4个角，用∠O无法确定具体角，不符合要求。
综上，选A。
【答案】
A
【知识点】
角的表示方法
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是掌握用单个顶点字母表示角的前提条件，牢记规则即可快速判断正误。
【难度系数】
0.9
2. 如图4-2-1，射线OA的方向是北偏东$30°$，在同一平面内$∠ AOB=70°$，则射线OB的方向是(
A.北偏东$40°$
B.北偏西$40°$或东偏南$80°$
C.南偏东$80°$
D.北偏西$40°$或南偏东$80°$
D
)。A.北偏东$40°$
B.北偏西$40°$或东偏南$80°$
C.南偏东$80°$
D.北偏西$40°$或南偏东$80°$
答案
2.D
解析
【分析】
本题考查方向角的计算，解题时要注意∠AOB的位置没有明确给出，因此需要分两种情况讨论：①OB在OA与正北方向之间；②OB在OA的东南侧。先明确射线OA与正北方向的夹角，再结合∠AOB=70°分别计算两种情况下OB与基准方向的夹角，即可确定OB的方向。
【解析】
已知射线OA的方向是北偏东30°，即OA与正北方向的夹角为30°，朝向东侧。
分两种情况讨论：
1. 当OB在OA与正北方向之间时：
∠AOB=70°，因此OB与正北方向的夹角为$70°-30°=40°$，朝向西侧，即OB的方向是北偏西40°。
2. 当OB在OA的东南侧时：
OA与正北方向夹角为30°，加上∠AOB=70°，可得OB与正北方向的夹角为$30°+70°=100°$，超过正东方向（正北转90°为正东）的部分为$100°-90°=10°$，即OB为东偏南10°方向，换算为南偏东方向为$90°-10°=80°$，即OB的方向是南偏东80°。
综上，射线OB的方向是北偏西40°或南偏东80°。
【答案】
D
【知识点】
方向角识别；角的和差计算；分类讨论
【点评】
本题易错点是忽略OB位置的两种可能性，仅计算其中一种情况导致漏解。解题时需结合方向角的定义，全面考虑所有可能的位置关系，再通过角的和差计算判断方向即可。
【难度系数】
0.6
本题考查方向角的计算，解题时要注意∠AOB的位置没有明确给出，因此需要分两种情况讨论：①OB在OA与正北方向之间；②OB在OA的东南侧。先明确射线OA与正北方向的夹角，再结合∠AOB=70°分别计算两种情况下OB与基准方向的夹角，即可确定OB的方向。
【解析】
已知射线OA的方向是北偏东30°，即OA与正北方向的夹角为30°，朝向东侧。
分两种情况讨论：
1. 当OB在OA与正北方向之间时：
∠AOB=70°，因此OB与正北方向的夹角为$70°-30°=40°$，朝向西侧，即OB的方向是北偏西40°。
2. 当OB在OA的东南侧时：
OA与正北方向夹角为30°，加上∠AOB=70°，可得OB与正北方向的夹角为$30°+70°=100°$，超过正东方向（正北转90°为正东）的部分为$100°-90°=10°$，即OB为东偏南10°方向，换算为南偏东方向为$90°-10°=80°$，即OB的方向是南偏东80°。
综上，射线OB的方向是北偏西40°或南偏东80°。
【答案】
D
【知识点】
方向角识别；角的和差计算；分类讨论
【点评】
本题易错点是忽略OB位置的两种可能性，仅计算其中一种情况导致漏解。解题时需结合方向角的定义，全面考虑所有可能的位置关系，再通过角的和差计算判断方向即可。
【难度系数】
0.6
3. 如图4-2-2所示，小于平角的角有
9
个。答案
3.9
解析
【分析】要解决数小于平角的角的个数的问题，首先要明确小于平角的角的范围是大于0°且小于180°，计数时要遵循有序计数的原则，避免出现重复计数或者漏数的情况，我们可以按角的组成大小从小到大依次计数，最后排除不符合要求的平角即可。
【解析】首先明确平角是等于180°的角，因此我们只需要统计所有角度在0°~180°之间的角。图中存在一个公共顶点，共引出5条射线，其中最外侧的两条射线共线，形成唯一的平角：
1. 数单个的小角：共4个；
2. 数由2个相邻小角组成的角：共3个；
3. 数由3个相邻小角组成的角：共2个；
4. 由4个相邻小角组成的角为平角，不符合要求，不计入。
将符合要求的角相加：4+3+2=9（个）。
【答案】9
【知识点】平角的定义；角的计数
【点评】本题考查角的相关计数，解题的核心是掌握有序计数的方法，同时牢记平角的特征排除不符合要求的角，避免错数。
【难度系数】0.7
【解析】首先明确平角是等于180°的角，因此我们只需要统计所有角度在0°~180°之间的角。图中存在一个公共顶点，共引出5条射线，其中最外侧的两条射线共线，形成唯一的平角：
1. 数单个的小角：共4个；
2. 数由2个相邻小角组成的角：共3个；
3. 数由3个相邻小角组成的角：共2个；
4. 由4个相邻小角组成的角为平角，不符合要求，不计入。
将符合要求的角相加：4+3+2=9（个）。
【答案】9
【知识点】平角的定义；角的计数
【点评】本题考查角的相关计数，解题的核心是掌握有序计数的方法，同时牢记平角的特征排除不符合要求的角，避免错数。
【难度系数】0.7
4. 1. 43°=
5 220''=
1
° 25
' 48
''5 220''=
87
'= 1.45
°答案
4. 1.43°=1°25'48''，5220''=87'=1.45°
解析
【分析】
度、分、秒是角度的常用单位，三者之间为60进制，即1°=60'，1'=60''。解题时按照单位换算规则分步计算即可：①将含小数的度换算为度分秒时，整数部分直接作为度的数值，小数部分乘60得到分的数值，分的整数部分作为分的数值，分的小数部分再乘60得到秒的数值；②将秒换算为分、度时，依次除以进率60即可得到对应单位的数值。
【解析】
1. 换算1.43°：
整数部分1直接对应1°，剩余小数部分为0.43°
0.43°换算为分：$0.43×60'=25.8'$
25.8'的整数部分25对应25'，剩余小数部分为0.8'
0.8'换算为秒：$0.8×60''=48''$
因此$1.43°=1°25'48''$
2. 换算5220''：
先换算为分：因为1'=60''，所以$5220''÷60=87'$
再换算为度：因为1°=60'，所以$87'÷60=1.45°$
【答案】
1，25，48；87，1.45
【知识点】
度分秒换算；角度单位进制
【点评】
本题为角度单位换算的基础题，核心是掌握度分秒之间的60进制换算规则，计算时注意区分进制规则，避免和十进制混淆即可正确解题。
【难度系数】
0.85
度、分、秒是角度的常用单位，三者之间为60进制，即1°=60'，1'=60''。解题时按照单位换算规则分步计算即可：①将含小数的度换算为度分秒时，整数部分直接作为度的数值，小数部分乘60得到分的数值，分的整数部分作为分的数值，分的小数部分再乘60得到秒的数值；②将秒换算为分、度时，依次除以进率60即可得到对应单位的数值。
【解析】
1. 换算1.43°：
整数部分1直接对应1°，剩余小数部分为0.43°
0.43°换算为分：$0.43×60'=25.8'$
25.8'的整数部分25对应25'，剩余小数部分为0.8'
0.8'换算为秒：$0.8×60''=48''$
因此$1.43°=1°25'48''$
2. 换算5220''：
先换算为分：因为1'=60''，所以$5220''÷60=87'$
再换算为度：因为1°=60'，所以$87'÷60=1.45°$
【答案】
1，25，48；87，1.45
【知识点】
度分秒换算；角度单位进制
【点评】
本题为角度单位换算的基础题，核心是掌握度分秒之间的60进制换算规则，计算时注意区分进制规则，避免和十进制混淆即可正确解题。
【难度系数】
0.85
5. 某一时刻从海岛观测站P观测到海面上的两艘轮船，轮船A位于南偏东$35°$方向上，轮船B位于北偏西$50°$方向上，此时$∠ APB$为
165°
。答案
5.165°
解析
【分析】
这是一道结合方向角的角度计算题目，解题思路如下：1. 先明确方向角的定义，以观测站P为顶点建立方向坐标系，正北、正南方向在同一直线上，组成180°的平角；2. 分别确定两艘轮船对应的角度：轮船B在北偏西50°，说明射线PB与正北方向的夹角为50°，轮船A在南偏东35°，说明射线PA与正南方向的夹角为35°；3. 计算∠APB时，用正北到正南的平角减去PB与正北的夹角，再加上PA与正南的夹角，即可得到结果。
【解析】
解：以观测站P为顶点，设正北方向为射线PN，正南方向为射线PS，由方向的基本性质可知PN与PS共线，即$∠ NPS=180°$。
根据题意：
轮船B位于北偏西$50°$方向，因此$∠ NPB=50°$；
轮船A位于南偏东$35°$方向，因此$∠ APS=35°$。
则$∠ APB = ∠ NPS - ∠ NPB + ∠ APS = 180° - 50° + 35° = 165°$。
【答案】
$165°$
【知识点】
方向角的认识，平角的定义，角的计算
【点评】
本题重点考查对方向角的理解和角度的基本运算，解题的关键是正确梳理各方向射线之间的角度关系，避免因混淆方向角对应的夹角导致计算错误。
【难度系数】
0.7
这是一道结合方向角的角度计算题目，解题思路如下：1. 先明确方向角的定义，以观测站P为顶点建立方向坐标系，正北、正南方向在同一直线上，组成180°的平角；2. 分别确定两艘轮船对应的角度：轮船B在北偏西50°，说明射线PB与正北方向的夹角为50°，轮船A在南偏东35°，说明射线PA与正南方向的夹角为35°；3. 计算∠APB时，用正北到正南的平角减去PB与正北的夹角，再加上PA与正南的夹角，即可得到结果。
【解析】
解：以观测站P为顶点，设正北方向为射线PN，正南方向为射线PS，由方向的基本性质可知PN与PS共线，即$∠ NPS=180°$。
根据题意：
轮船B位于北偏西$50°$方向，因此$∠ NPB=50°$；
轮船A位于南偏东$35°$方向，因此$∠ APS=35°$。
则$∠ APB = ∠ NPS - ∠ NPB + ∠ APS = 180° - 50° + 35° = 165°$。
【答案】
$165°$
【知识点】
方向角的认识，平角的定义，角的计算
【点评】
本题重点考查对方向角的理解和角度的基本运算，解题的关键是正确梳理各方向射线之间的角度关系，避免因混淆方向角对应的夹角导致计算错误。
【难度系数】
0.7
6. 如图4-2-3所示，∠1=28°，∠AOC=90°，点B,O,D在同一条直线上，求∠2的度数。
答案
6. 解:因为$∠1=28°,∠AOC=90°$,
所以$∠BOC=62°$。
因为$∠2+∠BOC=180°$,
所以$∠2=118°$。
所以$∠BOC=62°$。
因为$∠2+∠BOC=180°$,
所以$∠2=118°$。
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：已知∠1=28°，∠AOC=90°，且∠AOC由∠1和∠BOC组成，因此可以先通过角的和差关系计算出∠BOC的度数；再结合点B、O、D共线的条件，可知∠2与∠BOC组成平角（180°），最后再通过角的和差关系即可求出∠2的度数。
【解析】
解：因为∠1=28°，∠AOC=90°，且∠1 + ∠BOC = ∠AOC，
所以∠BOC = ∠AOC - ∠1 = 90° - 28° = 62°。
又因为点B、O、D在同一条直线上，∠BOD为平角，即∠2 + ∠BOC = 180°，
所以∠2 = 180° - ∠BOC = 180° - 62° = 118°。
【答案】
118°
【知识点】
角的和差运算，直角的定义，平角的定义
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心是利用直角和平角的性质找到未知角与已知角的数量关系，解题的关键是先求出过渡角∠BOC的度数，掌握角的基本性质就能快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时先梳理已知条件：已知∠1=28°，∠AOC=90°，且∠AOC由∠1和∠BOC组成，因此可以先通过角的和差关系计算出∠BOC的度数；再结合点B、O、D共线的条件，可知∠2与∠BOC组成平角（180°），最后再通过角的和差关系即可求出∠2的度数。
【解析】
解：因为∠1=28°，∠AOC=90°，且∠1 + ∠BOC = ∠AOC，
所以∠BOC = ∠AOC - ∠1 = 90° - 28° = 62°。
又因为点B、O、D在同一条直线上，∠BOD为平角，即∠2 + ∠BOC = 180°，
所以∠2 = 180° - ∠BOC = 180° - 62° = 118°。
【答案】
118°
【知识点】
角的和差运算，直角的定义，平角的定义
【点评】
本题属于基础角度计算题，核心是利用直角和平角的性质找到未知角与已知角的数量关系，解题的关键是先求出过渡角∠BOC的度数，掌握角的基本性质就能快速求解。
【难度系数】
0.9
7. 图4-2-4是小明家(图中点O)和学校所在地的简单地图，已知$OA = 2\ \mathrm{cm}$，$OB = 2.5\ \mathrm{cm}$，$OP=4\ \mathrm{cm}$，C为OP的中点。
(1)请用距离和方向角表示图中商场、学校、公园、停车场分别相对小明家的位置；
(2)若学校距离小明家400 m，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？
图4-2-4
(1)请用距离和方向角表示图中商场、学校、公园、停车场分别相对小明家的位置；
(2)若学校距离小明家400 m，那么商场和停车场分别距离小明家多少米？
图4-2-4
答案
7. 解:(1)商场在小明家北偏西$30°$方向,距离2.5 cm位置;学校在小明家北偏东$45°$方向,距离2 cm位置;公园在小明家南偏东$60°$方向,距离2 cm位置;停车场在小明家南偏东$60°$方向,距离4 cm位置。
(2)因为学校距离小明家400 m,且$OA=2\ \mathrm{cm}$,所以题图中1 cm表示200 m,
所以商场距离小明家$2.5×200=500$（m）,停车场距离小明家$4×200=800$（m）。
(2)因为学校距离小明家400 m,且$OA=2\ \mathrm{cm}$,所以题图中1 cm表示200 m,
所以商场距离小明家$2.5×200=500$（m）,停车场距离小明家$4×200=800$（m）。
解析
【分析】
解决本题分两步思考：第(1)问需以小明家O为观测点，按照“上北下南、左西右东”的方位规则，结合图中标注的角度计算各地点的方向角，再对应匹配各地点到O点的图上距离即可；第(2)问先根据学校的图上距离和已知实际距离，算出图上1cm对应的实际长度，再分别乘商场、停车场的图上距离，即可求得二者的实际距离，其中公园的距离需用到线段中点的性质计算。
【解析】
(1) 以小明家O为观测点：
商场：与正西方向夹角为60°，因此与正北方向夹角为$90°-60°=30°$，即北偏西30°方向，图上距离为2.5cm；
学校：与正东方向夹角为45°，即北偏东45°方向，图上距离为2cm；
公园：OP与正东方向夹角为30°，因此与正南方向夹角为$90°-30°=60°$，即南偏东60°方向，因为C是OP中点，所以$OC=OP÷2=4÷2=2\ \mathrm{cm}$，图上距离为2cm；
停车场：与公园同方向，即南偏东60°方向，图上距离为4cm。
(2) 已知学校距离小明家400m，对应图上距离$OA=2\ \mathrm{cm}$，因此图上1cm代表的实际距离为：$400÷2=200\ \mathrm{m}$
商场的实际距离：$2.5×200=500\ \mathrm{m}$
停车场的实际距离：$4×200=800\ \mathrm{m}$
【答案】
(1)商场在小明家北偏西$30°$方向，距离2.5 cm位置；学校在小明家北偏东$45°$方向，距离2 cm位置；公园在小明家南偏东$60°$方向，距离2 cm位置；停车场在小明家南偏东$60°$方向，距离4 cm位置。
(2)商场距离小明家500m，停车场距离小明家800m。
【知识点】
方向角的表示，比例尺的应用，线段中点的性质
【点评】
本题结合实际生活场景考查方位描述和比例尺换算，解题核心是准确判断方向角、理清图上距离与实际距离的对应关系，属于基础应用题，掌握基础概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
解决本题分两步思考：第(1)问需以小明家O为观测点，按照“上北下南、左西右东”的方位规则，结合图中标注的角度计算各地点的方向角，再对应匹配各地点到O点的图上距离即可；第(2)问先根据学校的图上距离和已知实际距离，算出图上1cm对应的实际长度，再分别乘商场、停车场的图上距离，即可求得二者的实际距离，其中公园的距离需用到线段中点的性质计算。
【解析】
(1) 以小明家O为观测点：
商场：与正西方向夹角为60°，因此与正北方向夹角为$90°-60°=30°$，即北偏西30°方向，图上距离为2.5cm；
学校：与正东方向夹角为45°，即北偏东45°方向，图上距离为2cm；
公园：OP与正东方向夹角为30°，因此与正南方向夹角为$90°-30°=60°$，即南偏东60°方向，因为C是OP中点，所以$OC=OP÷2=4÷2=2\ \mathrm{cm}$，图上距离为2cm；
停车场：与公园同方向，即南偏东60°方向，图上距离为4cm。
(2) 已知学校距离小明家400m，对应图上距离$OA=2\ \mathrm{cm}$，因此图上1cm代表的实际距离为：$400÷2=200\ \mathrm{m}$
商场的实际距离：$2.5×200=500\ \mathrm{m}$
停车场的实际距离：$4×200=800\ \mathrm{m}$
【答案】
(1)商场在小明家北偏西$30°$方向，距离2.5 cm位置；学校在小明家北偏东$45°$方向，距离2 cm位置；公园在小明家南偏东$60°$方向，距离2 cm位置；停车场在小明家南偏东$60°$方向，距离4 cm位置。
(2)商场距离小明家500m，停车场距离小明家800m。
【知识点】
方向角的表示，比例尺的应用，线段中点的性质
【点评】
本题结合实际生活场景考查方位描述和比例尺换算，解题核心是准确判断方向角、理清图上距离与实际距离的对应关系，属于基础应用题，掌握基础概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
