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9. 如图4-1-13，点A,B,C是不在一条直线上的三个点，过B,C两点作直线，并连接AB，AC。
(1)尺规作图:求作点D，延长CA至D，使得点A为CD的中点；求作AE，作射线AB，在射线AB上截取AE=3AB(作图工具只限无刻度的直尺和圆规，保留作图痕迹)；
(2)若AB=AC，CD=8 cm，求BE的长。
图4-1-13
(1)尺规作图:求作点D，延长CA至D，使得点A为CD的中点；求作AE，作射线AB，在射线AB上截取AE=3AB(作图工具只限无刻度的直尺和圆规，保留作图痕迹)；
(2)若AB=AC，CD=8 cm，求BE的长。
图4-1-13
答案
9. 解:(1)如答图4-1-4,以点A为圆心,AC的长为半径画弧,交CA的延长线于点D,则点D即为所求。
以点B为圆心,AB的长为半径画弧,交AB的延长线于点F,再以点F为圆心,AB的长为半径画弧,交AF的延长线于点E,则AE即为所求。
(2)因为A为CD的中点,
所以$AC=AD=\frac{1}{2}CD=4\ \mathrm{cm}$。
因为AB=AC,
所以AB=AC=4 cm。
因为AE=3AB,
所以AE=3×4=12(cm),
所以BE=AE-AB=12-4=8(cm)。
解析
【分析】
本题包含尺规作图和线段计算两部分。(1)作点D时，根据中点定义可知AD=AC，因此用圆规截取AC长度，以A为圆心画弧交CA延长线即可得到点D；作AE=3AB时，在射线AB上依次截取2段与AB等长的线段，即可得到总长度为3AB的AE，作图需保留痕迹。(2)计算BE长度时，先利用线段中点的性质求出AC的长度，结合AB=AC得到AB的长度，再根据AE=3AB求出AE的长度，最后根据线段差的关系计算BE即可。
【解析】
(1) 作点D：以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交CA的延长线于点D，此时A为CD中点，点D即为所求；
作AE：作射线AB，以点B为圆心，AB的长为半径画弧，交AB的延长线于点F，再以点F为圆心，AB的长为半径画弧，交AF的延长线于点E，此时AE=3AB，AE即为所求。
(2)
∵点A为CD的中点，CD=8 cm，
∴$AC=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$，
∵AB=AC，
∴AB=4 cm，
∵AE=3AB，
∴$AE=3×4=12\ \mathrm{cm}$，
又
∵点E在射线AB的延长线上，
∴$BE=AE-AB=12-4=8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1)如答图4-1-4,以点A为圆心,AC的长为半径画弧,交CA的延长线于点D,则点D即为所求。
以点B为圆心,AB的长为半径画弧,交AB的延长线于点F,再以点F为圆心,AB的长为半径画弧,交AF的延长线于点E,则AE即为所求。
(2)BE的长为8 cm。
【知识点】
尺规作图；线段中点定义；线段和差计算
【点评】
本题属于基础题型，结合了尺规作图操作与线段基础计算，既考查了规范的作图能力，也考查了对线段中点、线段数量关系的理解应用，作图时注意保留作图痕迹，计算时理清各线段的位置和数量关系即可得分。
【难度系数】
0.85
本题包含尺规作图和线段计算两部分。(1)作点D时，根据中点定义可知AD=AC，因此用圆规截取AC长度，以A为圆心画弧交CA延长线即可得到点D；作AE=3AB时，在射线AB上依次截取2段与AB等长的线段，即可得到总长度为3AB的AE，作图需保留痕迹。(2)计算BE长度时，先利用线段中点的性质求出AC的长度，结合AB=AC得到AB的长度，再根据AE=3AB求出AE的长度，最后根据线段差的关系计算BE即可。
【解析】
(1) 作点D：以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交CA的延长线于点D，此时A为CD中点，点D即为所求；
作AE：作射线AB，以点B为圆心，AB的长为半径画弧，交AB的延长线于点F，再以点F为圆心，AB的长为半径画弧，交AF的延长线于点E，此时AE=3AB，AE即为所求。
(2)
∵点A为CD的中点，CD=8 cm，
∴$AC=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$，
∵AB=AC，
∴AB=4 cm，
∵AE=3AB，
∴$AE=3×4=12\ \mathrm{cm}$，
又
∵点E在射线AB的延长线上，
∴$BE=AE-AB=12-4=8\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1)如答图4-1-4,以点A为圆心,AC的长为半径画弧,交CA的延长线于点D,则点D即为所求。
以点B为圆心,AB的长为半径画弧,交AB的延长线于点F,再以点F为圆心,AB的长为半径画弧,交AF的延长线于点E,则AE即为所求。
(2)BE的长为8 cm。
【知识点】
尺规作图；线段中点定义；线段和差计算
【点评】
本题属于基础题型，结合了尺规作图操作与线段基础计算，既考查了规范的作图能力，也考查了对线段中点、线段数量关系的理解应用，作图时注意保留作图痕迹，计算时理清各线段的位置和数量关系即可得分。
【难度系数】
0.85
二、拓展性作业
10. 已知线段$AB=12\ \mathrm{cm}$，在直线$AB$上有一点$C$，且$BC=4\ \mathrm{cm}$，$M$是线段$AC$的中点，求线段$AM$的长度。
10. 已知线段$AB=12\ \mathrm{cm}$，在直线$AB$上有一点$C$，且$BC=4\ \mathrm{cm}$，$M$是线段$AC$的中点，求线段$AM$的长度。
答案
10. 解:①当点C在线段AB上时,如答图4-1-5所示,
因为M是线段AC的中点,
所以$AM=\frac{1}{2}AC$。
又因为AC=AB-BC,AB=12 cm,BC=4 cm,
所以$AM=\frac{1}{2}(AB-BC)=\frac{1}{2}(12-4)=4(\mathrm{cm})$。
②当点C在线段AB的延长线上时,如答图4-1-6所示,
因为M是线段AC的中点,
所以$AM=\frac{1}{2}AC$。
又因为AC=AB+BC,AB=12 cm,BC=4 cm,
所以$AM=\frac{1}{2}(AB+BC)=8(\mathrm{cm})$。
所以线段AM的长度为4 cm或8 cm。
解析
【分析】
本题需先明确点C的位置，由于点C在直线AB上，直线可无限延伸，因此存在两种情况：①点C在线段AB上；②点C在线段AB的延长线上，需分类讨论避免漏解。两种情况都先通过线段的和差关系求出AC的长度，再利用线段中点的性质，即中点将线段分成两条相等的线段，$AM=\frac{1}{2}AC$，代入数值计算即可得到AM的长度。
【解析】
①当点C在线段AB上时，如答图4-1-5所示，
因为M是线段AC的中点，
所以$AM=\frac{1}{2}AC$。
又因为$AC=AB-BC$，$AB=12\ \mathrm{cm}$，$BC=4\ \mathrm{cm}$，
所以$AM=\frac{1}{2}(AB-BC)=\frac{1}{2}(12-4)=4(\mathrm{cm})$。
②当点C在线段AB的延长线上时，如答图4-1-6所示，
因为M是线段AC的中点，
所以$AM=\frac{1}{2}AC$。
又因为$AC=AB+BC$，$AB=12\ \mathrm{cm}$，$BC=4\ \mathrm{cm}$，
所以$AM=\frac{1}{2}(AB+BC)=\frac{1}{2}×(12+4)=8(\mathrm{cm})$。
【答案】
线段AM的长度为$\boldsymbol{4\ \mathrm{cm}}$或$\boldsymbol{8\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
线段中点的定义，线段的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题是线段计算的常见题型，解题的核心是注意“直线上的点”存在多种位置可能，要全面考虑分类讨论，避免因漏解出错，能够很好地考查思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
本题需先明确点C的位置，由于点C在直线AB上，直线可无限延伸，因此存在两种情况：①点C在线段AB上；②点C在线段AB的延长线上，需分类讨论避免漏解。两种情况都先通过线段的和差关系求出AC的长度，再利用线段中点的性质，即中点将线段分成两条相等的线段，$AM=\frac{1}{2}AC$，代入数值计算即可得到AM的长度。
【解析】
①当点C在线段AB上时，如答图4-1-5所示，
因为M是线段AC的中点，
所以$AM=\frac{1}{2}AC$。
又因为$AC=AB-BC$，$AB=12\ \mathrm{cm}$，$BC=4\ \mathrm{cm}$，
所以$AM=\frac{1}{2}(AB-BC)=\frac{1}{2}(12-4)=4(\mathrm{cm})$。
②当点C在线段AB的延长线上时，如答图4-1-6所示，
因为M是线段AC的中点，
所以$AM=\frac{1}{2}AC$。
又因为$AC=AB+BC$，$AB=12\ \mathrm{cm}$，$BC=4\ \mathrm{cm}$，
所以$AM=\frac{1}{2}(AB+BC)=\frac{1}{2}×(12+4)=8(\mathrm{cm})$。
【答案】
线段AM的长度为$\boldsymbol{4\ \mathrm{cm}}$或$\boldsymbol{8\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
线段中点的定义，线段的和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题是线段计算的常见题型，解题的核心是注意“直线上的点”存在多种位置可能，要全面考虑分类讨论，避免因漏解出错，能够很好地考查思维的严谨性。
【难度系数】
0.6
11. 如图4-1-14,在一条数轴上,A点表示数a,B点表示数b,C点表示数c,b是最小的正整数,且a,c满足$|a+2|+(c-7)^2=0$。
图4-1-14
(1)$a=$
(2)点P从点A出发,以2单位长度/s的速度沿数轴向右匀速运动,点Q从点C出发,沿数轴向左匀速运动,两点同时出发,当点Q运动到点A时,点P,Q停止运动。当$PB=2PO$时,点Q运动到的位置恰好是线段OA的中点,求点Q的运动速度(注:点O为数轴原点)。
(3)在(2)的条件下,当点P运动到线段OB上时,分别取AP和OB的中点E,F。请问:$\frac{AB - OP}{EF}$的值是否随着时间t的变化而变化?若变化,请说明理由;若不变,请求其值。
图4-1-14
(1)$a=$
-2
,$b=$1
,$c=$7
。(2)点P从点A出发,以2单位长度/s的速度沿数轴向右匀速运动,点Q从点C出发,沿数轴向左匀速运动,两点同时出发,当点Q运动到点A时,点P,Q停止运动。当$PB=2PO$时,点Q运动到的位置恰好是线段OA的中点,求点Q的运动速度(注:点O为数轴原点)。
(3)在(2)的条件下,当点P运动到线段OB上时,分别取AP和OB的中点E,F。请问:$\frac{AB - OP}{EF}$的值是否随着时间t的变化而变化?若变化,请说明理由;若不变,请求其值。
答案
11. 解:(1)-2 1 7
(2)因为点Q运动到的位置恰好是线段OA的中点,
所以点Q表示的数是-1,此时CQ=7-(-1)=8。
由PB=2PO,可分两种情况:
①当点P在OB上时,得$OP=\frac{1}{3}OB=\frac{1}{3}$,
此时$AP=AO+OP=2+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$;
所以点P的运动时间为$\frac{7}{3}÷2=\frac{7}{6}$(s),
所以点Q的运动速度为$8÷\frac{7}{6}=\frac{48}{7}$(单位长度/s);
②当点P在AO上时,得PO=OB=1,
此时AP=AO-PO=2-1=1,
所以点P的运动时间是$1÷2=\frac{1}{2}$(s),
所以点Q的运动速度为$8÷\frac{1}{2}=16$(单位长度/s),
综上,点Q的运动速度是$\frac{48}{7}$单位长度/s或16单位长度/s。
(3)不变。
设运动时间为t s,此时AP=2t,OP=2t-2。
因为E是AP的中点,
所以AE=t。
因为F是OB的中点,OB=1,
所以$BF=\frac{1}{2}$,
所以$EF=AB-AE-BF=3-t-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}-t$,
所以$\frac{AB-OP}{EF}=\frac{3-(2t-2)}{\frac{5}{2}-t}=\frac{5-2t}{\frac{5}{2}-t}=2$。
(2)因为点Q运动到的位置恰好是线段OA的中点,
所以点Q表示的数是-1,此时CQ=7-(-1)=8。
由PB=2PO,可分两种情况:
①当点P在OB上时,得$OP=\frac{1}{3}OB=\frac{1}{3}$,
此时$AP=AO+OP=2+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$;
所以点P的运动时间为$\frac{7}{3}÷2=\frac{7}{6}$(s),
所以点Q的运动速度为$8÷\frac{7}{6}=\frac{48}{7}$(单位长度/s);
②当点P在AO上时,得PO=OB=1,
此时AP=AO-PO=2-1=1,
所以点P的运动时间是$1÷2=\frac{1}{2}$(s),
所以点Q的运动速度为$8÷\frac{1}{2}=16$(单位长度/s),
综上,点Q的运动速度是$\frac{48}{7}$单位长度/s或16单位长度/s。
(3)不变。
设运动时间为t s,此时AP=2t,OP=2t-2。
因为E是AP的中点,
所以AE=t。
因为F是OB的中点,OB=1,
所以$BF=\frac{1}{2}$,
所以$EF=AB-AE-BF=3-t-\frac{1}{2}=\frac{5}{2}-t$,
所以$\frac{AB-OP}{EF}=\frac{3-(2t-2)}{\frac{5}{2}-t}=\frac{5-2t}{\frac{5}{2}-t}=2$。
解析
【分析】
(1) 利用绝对值和平方的非负性，两个非负数相加和为0时每个非负数都为0，即可求出a、c的值；结合最小正整数的定义直接得到b的值。
(2) 先确定OA中点对应的数，求出Q运动的总路程；再分点P在AO上、点P在OB上两种情况，根据PB=2PO求出P的位置，计算P的运动时间，由于P、Q同时出发运动时间相同，用Q的路程除以运动时间即可得到Q的运动速度。
(3) 设运动时间为t，用含t的代数式分别表示OP、EF的长度，代入$\frac{AB - OP}{EF}$化简，若结果不含t则值不变，反之则变化。
【解析】
(1) 因为$|a+2|≥0$，$(c-7)^2≥0$，且$|a+2|+(c-7)^2=0$，所以$a+2=0$，$c-7=0$，解得$a=-2$，$c=7$；又因为b是最小的正整数，所以$b=1$。
(2) 线段OA的中点对应的数为$\frac{-2+0}{2}=-1$，即点Q运动到表示-1的位置，此时Q运动的路程$CQ=7-(-1)=8$。
根据$PB=2PO$分两种情况讨论：
① 当点P在AO上时：此时$PB=PO+OB$，代入$PB=2PO$得$PO=OB=1$，则点P对应的数为-1，$AP=|-1-(-2)|=1$，点P的运动时间$t=1÷2=\frac{1}{2}s$，所以Q的运动速度为$8÷\frac{1}{2}=16$单位长度/s。
② 当点P在OB上时：此时$PB=OB-OP$，代入$PB=2PO$得$1-OP=2OP$，解得$OP=\frac{1}{3}$，则点P对应的数为$\frac{1}{3}$，$AP=|\frac{1}{3}-(-2)|=\frac{7}{3}$，点P的运动时间$t=\frac{7}{3}÷2=\frac{7}{6}s$，所以Q的运动速度为$8÷\frac{7}{6}=\frac{48}{7}$单位长度/s。
综上，点Q的运动速度为16单位长度/s或$\frac{48}{7}$单位长度/s。
(3) $\frac{AB - OP}{EF}$的值不随时间变化，值为2，理由如下：
当点P在线段OB上时，$AP=2t$，点P对应的数为$-2+2t$，因此$OP=2t-2$。
因为E是AP的中点，所以$AE=t$，E对应的数为$-2+t$；F是OB的中点，OB=1，所以F对应的数为$\frac{1}{2}$，因此$EF=\frac{1}{2}-(-2+t)=\frac{5}{2}-t$。
又因为$AB=1-(-2)=3$，所以$\frac{AB-OP}{EF}=\frac{3-(2t-2)}{\frac{5}{2}-t}=\frac{5-2t}{\frac{5}{2}-t}=2$，结果不含t，故值不变。
【答案】
(1) $-2$，$1$，$7$
(2) $16$单位长度/s或$\frac{48}{7}$单位长度/s
(3) 不变，值为$2$
【知识点】
非负数的性质，数轴动点问题，线段中点计算
【点评】
本题综合考查了非负数性质、数轴动点分析、线段长度计算，解题时需注意分类讨论点P的位置，避免漏解，第三问通过代数式化简判断定值，能够锻炼逻辑推理和综合运算能力。
【难度系数】
0.6
(1) 利用绝对值和平方的非负性，两个非负数相加和为0时每个非负数都为0，即可求出a、c的值；结合最小正整数的定义直接得到b的值。
(2) 先确定OA中点对应的数，求出Q运动的总路程；再分点P在AO上、点P在OB上两种情况，根据PB=2PO求出P的位置，计算P的运动时间，由于P、Q同时出发运动时间相同，用Q的路程除以运动时间即可得到Q的运动速度。
(3) 设运动时间为t，用含t的代数式分别表示OP、EF的长度，代入$\frac{AB - OP}{EF}$化简，若结果不含t则值不变，反之则变化。
【解析】
(1) 因为$|a+2|≥0$，$(c-7)^2≥0$，且$|a+2|+(c-7)^2=0$，所以$a+2=0$，$c-7=0$，解得$a=-2$，$c=7$；又因为b是最小的正整数，所以$b=1$。
(2) 线段OA的中点对应的数为$\frac{-2+0}{2}=-1$，即点Q运动到表示-1的位置，此时Q运动的路程$CQ=7-(-1)=8$。
根据$PB=2PO$分两种情况讨论：
① 当点P在AO上时：此时$PB=PO+OB$，代入$PB=2PO$得$PO=OB=1$，则点P对应的数为-1，$AP=|-1-(-2)|=1$，点P的运动时间$t=1÷2=\frac{1}{2}s$，所以Q的运动速度为$8÷\frac{1}{2}=16$单位长度/s。
② 当点P在OB上时：此时$PB=OB-OP$，代入$PB=2PO$得$1-OP=2OP$，解得$OP=\frac{1}{3}$，则点P对应的数为$\frac{1}{3}$，$AP=|\frac{1}{3}-(-2)|=\frac{7}{3}$，点P的运动时间$t=\frac{7}{3}÷2=\frac{7}{6}s$，所以Q的运动速度为$8÷\frac{7}{6}=\frac{48}{7}$单位长度/s。
综上，点Q的运动速度为16单位长度/s或$\frac{48}{7}$单位长度/s。
(3) $\frac{AB - OP}{EF}$的值不随时间变化，值为2，理由如下：
当点P在线段OB上时，$AP=2t$，点P对应的数为$-2+2t$，因此$OP=2t-2$。
因为E是AP的中点，所以$AE=t$，E对应的数为$-2+t$；F是OB的中点，OB=1，所以F对应的数为$\frac{1}{2}$，因此$EF=\frac{1}{2}-(-2+t)=\frac{5}{2}-t$。
又因为$AB=1-(-2)=3$，所以$\frac{AB-OP}{EF}=\frac{3-(2t-2)}{\frac{5}{2}-t}=\frac{5-2t}{\frac{5}{2}-t}=2$，结果不含t，故值不变。
【答案】
(1) $-2$，$1$，$7$
(2) $16$单位长度/s或$\frac{48}{7}$单位长度/s
(3) 不变，值为$2$
【知识点】
非负数的性质，数轴动点问题，线段中点计算
【点评】
本题综合考查了非负数性质、数轴动点分析、线段长度计算，解题时需注意分类讨论点P的位置，避免漏解，第三问通过代数式化简判断定值，能够锻炼逻辑推理和综合运算能力。
【难度系数】
0.6
