19.(8分)如图,一次函数$y=2x+4$的图象与x轴,y轴分别交于A,B两点,与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$的图象交于点C,过点B作x轴的平行线与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$的图象交于点D,连接CD.
(1)求A,B两点的坐标;
(2)若$△ BCD$是以BD为底边的等腰三角形,求k的值.

19. (1) $A(-2,0)$,$B(0,4)$ (2) $k=16$

【分析】
(1) 求一次函数与坐标轴的交点坐标，利用坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，分别代入一次函数解析式计算即可得到A、B两点坐标。
(2) 首先根据BD平行于x轴，可知D点纵坐标与B点相同，代入反比例函数解析式即可用k表示出D点坐标；再结合△BCD是以BD为底边的等腰三角形，根据等腰三角形三线合一的性质，可知点C的横坐标为BD中点的横坐标，由此用k表示出C点横坐标，再代入一次函数解析式得到C点坐标，最后将C点坐标代入反比例函数解析式，解方程即可求出k的值。
【解析】
(1) 对于一次函数$y=2x+4$：
令$y=0$，得$2x+4=0$，解得$x=-2$，因此点A的坐标为$(-2,0)$；
令$x=0$，得$y=2×0+4=4$，因此点B的坐标为$(0,4)$。
(2) 因为BD平行于x轴，B点坐标为$(0,4)$，所以点D的纵坐标为4。
将$y=4$代入$y=\frac{k}{x}$，得$4=\frac{k}{x}$，解得$x=\frac{k}{4}$，即D点坐标为$(\frac{k}{4},4)$。
因为$△ BCD$是以BD为底边的等腰三角形，所以点C在BD的垂直平分线上。
BD为水平线段，其中点的横坐标为$\frac{0+\frac{k}{4}}{2}=\frac{k}{8}$，因此点C的横坐标为$\frac{k}{8}$。
又因为点C在一次函数$y=2x+4$的图象上，将$x=\frac{k}{8}$代入解析式，得：
$y=2×\frac{k}{8}+4=\frac{k}{4}+4$，即C点坐标为$(\frac{k}{8},\frac{k}{4}+4)$。
因为点C在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，所以横、纵坐标的乘积为k，代入得：
$\frac{k}{8}×(\frac{k}{4}+4)=k$
由于$k≠0$，两边同时除以k得：
$\frac{1}{8}(\frac{k}{4}+4)=1$
两边同乘8得$\frac{k}{4}+4=8$，解得$k=16$。
【答案】
(1) $A(-2,0)$，$B(0,4)$；(2) $k=16$
【知识点】
一次函数的性质，反比例函数的性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合基础题，解题核心是掌握函数图象上点的坐标满足对应函数解析式，结合等腰三角形的性质建立坐标关系即可求解，是函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.7

20.（8分）如图①，矩形ABCD和以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E，F都在直线l上，且AB=7，EF=10，BC＞5。点B以每秒1个单位长度的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t s.
（1）如图②，当t=2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度（含矩形边上）.
（2）在点B运动的过程中，当AD，BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G，H.连接OG，OH，若∠GOH为直角，求此时t的值.

20. (1) $\frac{5π}{3}$ (2) 连接$GO,HO$,$\because ∠ GOH=90°$,$\therefore ∠ AOG+∠ BOH=90°$.$\because ∠ AGO+∠ AOG=90°$,$\therefore ∠ AGO=∠ BOH$,易证$△ AGO≌△ BOH(\mathrm{AAS})$.$\therefore OB=AG=t-5$.$\because AB=7$,$\therefore AE=t-7$.$\therefore AO=5-(t-7)=12-t$.$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ AGO$中,$AG^2+AO^2=OG^2$.$\therefore (t-5)^2+(12-t)^2=5^2$.解得$t_1=8$,$t_2=9$,即$t$值为8或9

【分析】
（1）第一问先明确半圆的半径为5，先计算t=2.5时线段OB的长度，设BC与半圆的交点为M，连接OM，通过直角三角形的边角关系求出矩形内弧对应的圆心角，再代入弧长公式计算即可。
（2）第二问先根据∠GOH=90°推导角的等量关系，证明△AGO和△BOH全等，得到AG=OB，再用含t的代数式表示AG、AO的长度，结合勾股定理列方程求解，最后验证结果是否符合题意即可。
【解析】
（1）
∵EF是半圆O的直径，EF=10，
∴半圆O的半径$r=5$，即$OE=OM=5$。
当$t=2.5$时，点B的运动路程$EB=2.5$，
∴$OB=OE-EB=5-2.5=2.5$。
设BC与半圆O交于点M，连接OM，
在$Rt△ OBM$中，$OM=5$，$OB=2.5$，
∴$\cos∠ MOB=\frac{OB}{OM}=\frac{2.5}{5}=\frac{1}{2}$，
∴$∠ MOB=60°$，即矩形内弧对应的圆心角为$60°$，
则弧长$l=\frac{nπ r}{180}=\frac{60×π×5}{180}=\frac{5π}{3}$。
（2）连接$OG$、$OH$，
∵$∠ GOH=90°$，
∴$∠ AOG+∠ BOH=180°-90°=90°$，
又
∵在$Rt△ AGO$中，$∠ AGO+∠ AOG=90°$，
∴$∠ AGO=∠ BOH$。
在$△ AGO$和$△ BOH$中：
$\begin{cases}∠ GAO=∠ OBH=90° \\∠ AGO=∠ BOH \\OG=HO=5\end{cases}$
∴$△ AGO≌△ BOH(\mathrm{AAS})$，
∴$AG=OB$。
由运动规律可得：$EB=t$，结合$AB=7$可知，点A在直线$l$上对应的位置为$t-7$，点B对应的位置为$t$，点O与初始点E的距离为5，
∴$OB=t-5$，$AO=5-(t-7)=12-t$，即$AG=t-5$。
在$Rt△ AGO$中，由勾股定理得$AG^2+AO^2=OG^2$，
代入得$(t-5)^2+(12-t)^2=5^2$，
整理得$t^2-17t+72=0$，解得$t_1=8$，$t_2=9$，两个结果均符合题意。
【答案】
（1）$\boldsymbol{\frac{5π}{3}}$；（2）$t$的值为$\boldsymbol{8}$或$\boldsymbol{9}$
【知识点】
弧长计算；全等三角形判定与性质；勾股定理应用
【点评】
本题是动点与几何结合的综合题，融合了矩形、圆的基本性质，解题的关键是找准运动过程中的不变量和等量关系，合理构造全等三角形转化线段，结合方程思想求解，注意验证解的合理性。
【难度系数】
0.65