17. (6分)如图,一次函数$y_1=3x$与反比例函数$y_2=\dfrac{k}{x}(k≠0)$的图象交于点$A(1,m)$和点$B$.
(1) 求反比例函数的表达式及点$B$的坐标.
(2) 请直接写出当$y_1＜y_2$时,$x$的取值范围.
(3) 若点$C(n,1)$在反比例函数$y_2=\dfrac{k}{x}(k≠0)$图象上,连接$AC$,$BC$,求$△ ABC$的面积.

17. (1) $y=\frac{3}{x}$,点$B(-1,-3)$ (2) $0＜x＜1$或$x＜-1$ (3) 当$y=1$时,$n=3$,$\therefore C(3,1)$.设直线$BC$相应的表达式为$y=kx+b$,$B(-1,-3)$,$C(3,1)$在直线上,$\therefore$直线$BC$相应的表达式为$y=x-2$.当$y=0$时,$x=2$,$\therefore D(2,0)$,即$OD=2$.$\therefore S_{△ BOC}=S_{△ COD}+S_{△ BOD}=\frac{1}{2}×2×1+\frac{1}{2}×2×3=4$,$S_{△ ABC}=2S_{△ COB}=2×4=8$

【分析】
(1) 先将点A的横坐标代入一次函数解析式求出m，得到A点坐标，再代入反比例函数解析式求出k即可得到反比例函数表达式；正比例函数和反比例函数的交点关于原点中心对称，可直接由A点坐标推导B点坐标。
(2) 观察函数图象，分x＞0、x＜0两个区间，找到一次函数图象在反比例函数图象下方对应的x取值范围即可。
(3) 先将C点纵坐标代入反比例函数求出n，得到C点坐标；再用待定系数法求直线BC的解析式，找到直线BC与x轴的交点，用割补法求出△BOC的面积；由于O是AB中点，△ABC的面积是△BOC面积的2倍，计算即可得结果。
【解析】
(1) 将$A(1,m)$代入$y_1=3x$，得$m=3×1=3$，即$A(1,3)$。
把$A(1,3)$代入$y_2=\dfrac{k}{x}$，得$k=1×3=3$，故反比例函数的表达式为$y=\dfrac{3}{x}$。
因为正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，所以点B的坐标为$(-1,-3)$。
(2) 观察图象可得，当$y_1＜y_2$时，$x$的取值范围是$x＜-1$或$0＜x＜1$。
(3) 将$C(n,1)$代入$y=\dfrac{3}{x}$，得$1=\dfrac{3}{n}$，解得$n=3$，即$C(3,1)$。
设直线BC的解析式为$y=kx+b$，将$B(-1,-3)$、$C(3,1)$代入得：
$\begin{cases}-k+b=-3\\3k+b=1\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=1\\b=-2\end{cases}$，故直线BC的解析式为$y=x-2$。
令$y=0$，得$x=2$，即直线BC与x轴交点$D(2,0)$，$OD=2$。
$S_{△ BOC}=S_{△ BOD}+S_{△ COD}=\frac{1}{2}×2×3+\frac{1}{2}×2×1=4$。
因为O是AB的中点，所以$S_{△ ABC}=2S_{△ BOC}=2×4=8$。
【答案】
(1) 反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=\dfrac{3}{x}}$，点B坐标为$\boldsymbol{(-1,-3)}$
(2) $\boldsymbol{x＜-1}$或$\boldsymbol{0＜x＜1}$
(3) $\boldsymbol{8}$
【知识点】
一次函数与反比例函数综合，待定系数法求解析式，割补法求面积
【点评】
本题是函数综合类基础题，考查了函数交点的对称性、函数解析式的求解、结合图象解不等式以及不规则三角形面积的计算，解题时要注意分区间讨论，巧用图象性质简化计算，避免漏解。
【难度系数】
0.65

18. (8分)如图，AB为$\odot O$的直径，过圆上一点D作$\odot O$的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作$OE // AD$交CD于点E，连接BE.
（1）证明：直线BE与$\odot O$相切.
（2）若$OA=3,CD=4$，求DE的长.

18. （1）连接$OD$,$\because ED$切圆于点$D$,$\therefore OD⊥ DE$.$\therefore ∠ ODE=90°$.$\because AD// OE$,$\therefore ∠ BOE=∠ OAD$,$∠ DOE=∠ ADO$.$\because OD=OA$,$\therefore ∠ OAD=∠ ADO$.$\therefore ∠ BOE=∠ DOE$.$\because OD=OB$,$OE=OE$,$\therefore △ OBE≌△ ODE(\mathrm{SAS})$.$\therefore ∠ OBE=∠ ODE=90°$.$\therefore$半径$OB⊥ BE$.$\therefore$直线$BE$与$\odot O$相切 （2）在$\mathrm{Rt}△ ODC$中,$OA=OD=3$,$CD=4$,$\therefore OC=\sqrt{OD^2+CD^2}=5$.$\therefore CA=5-3=2$.设$DE=x$,则$BE=x$.在$\mathrm{Rt}△ BCE$中,$(4+x)^2=x^2+8^2$,$\therefore x=6$.$\therefore DE=6$

【分析】
（1）要证明直线BE与$\odot O$相切，根据切线判定定理，需证明半径$OB⊥ BE$，即$∠ OBE=90°$。已知CD是$\odot O$的切线，连接OD可得$∠ ODE=90°$，因此只需证明$△ OBE≌△ ODE$即可。结合$OE// AD$、$OA=OD$的条件可推导得出$∠ BOE=∠ DOE$，再结合$OD=OB$、OE为公共边，即可用SAS证明两三角形全等，得到$∠ OBE=∠ ODE=90°$，完成证明。
（2）求DE的长，首先在$\mathrm{Rt}△ ODC$中利用勾股定理求出OC的长度，进而得到CB的长度。由（1）的全等结论可得$DE=BE$，设$DE=x$，则$BE=x$、$CE=4+x$，在$\mathrm{Rt}△ BCE$中利用勾股定理列方程求解即可得到DE的长。
【解析】
（1）证明：连接$OD$，
∵ $ED$切$\odot O$于点$D$，
∴ $OD⊥ DE$，即$∠ ODE=90°$。
∵ $OE// AD$，
∴ $∠ BOE=∠ OAD$，$∠ DOE=∠ ADO$。
∵ $OD=OA$，
∴ $∠ OAD=∠ ADO$，
∴ $∠ BOE=∠ DOE$。
在$△ OBE$和$△ ODE$中：
$\begin{cases}OB=OD \\∠ BOE=∠ DOE \\OE=OE\end{cases}$
∴ $△ OBE≌△ ODE(\mathrm{SAS})$，
∴ $∠ OBE=∠ ODE=90°$，即半径$OB⊥ BE$，
∴ 直线$BE$与$\odot O$相切。
（2）解：在$\mathrm{Rt}△ ODC$中，$OD=OA=3$，$CD=4$，
由勾股定理得：$OC=\sqrt{OD^2+CD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∴ $CA=OC-OA=5-3=2$，$CB=CA+AB=2+6=8$。
设$DE=x$，由$△ OBE≌△ ODE$得$BE=DE=x$，则$CE=CD+DE=4+x$。
在$\mathrm{Rt}△ BCE$中，由勾股定理得：$CE^2=BE^2+CB^2$，
即$(4+x)^2=x^2+8^2$，
展开化简得：$16+8x=64$，解得$x=6$，
∴ $DE=6$。
【答案】
（1）直线$BE$与$\odot O$相切，证明成立；
（2）$\boldsymbol{DE=6}$
【知识点】
切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的应用
【点评】
本题是圆的综合常考题型，解题关键是合理作辅助线构造全等三角形，需熟练掌握切线的证明思路，第二问运用方程思想结合勾股定理求解线段长，是几何计算中常用的方法。
【难度系数】
0.7