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14.（6分）如图，AB是半圆的直径.图①中，点C在半圆外；图②中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺按要求画图.
（1）在图①中，画出△ABC的三条高的交点；
（2）在图②中，画出△ABC中边AB上的高.
（1）在图①中，画出△ABC的三条高的交点；
（2）在图②中，画出△ABC中边AB上的高.
答案
14. （1）如图①,点 P 就是三条高的交点 （2）如图②,CT 就是 AB 上的高.
解析
【分析】
解题需用到圆周角定理推论（直径所对的圆周角是直角）和三角形三条高交于一点（垂心）的性质：
（1）图①中找△ABC三条高的交点：利用AB是直径的特征，AC、BC与半圆的交点分别和B、A连接，得到的线段就是△ABC的两条高，两条高的交点即为三条高的交点，符合三角形高共点的性质。
（2）图②中画AB边上的高：先延长AC、BC分别与半圆相交，同理构造出△ABC另外两条高，得到垂心后，连接垂心和点C并延长交AB，所得线段就是AB边上的高。
【解析】
（1）图①作图步骤：
① 标记AC与半圆的交点为E，BC与半圆的交点为F；
② 连接BE、AF，由直径所对的圆周角是直角可知∠AEB=90°、∠AFB=90°，即BE⊥AC、AF⊥BC，BE、AF是△ABC的两条高；
③ BE与AF的交点记为P，点P就是△ABC三条高的交点。
（2）图②作图步骤：
① 延长AC交半圆于点E，延长BC交半圆于点F；
② 连接BE、AF，由直径所对的圆周角是直角可知∠AEB=90°、∠AFB=90°，即BE⊥AC、AF⊥BC，BE和AF的交点P是△ABC的垂心；
③ 连接PC并延长交AB于点T，由三角形三条高交于一点可得CT⊥AB，即CT是AB边上的高。
【答案】
（1）如图①,点 P 就是三条高的交点 （2）如图②,CT 就是 AB 上的高.
【知识点】
1. 圆周角定理推论
2. 三角形垂心的性质
【点评】
本题是无刻度直尺几何作图题，核心是灵活运用直径所对圆周角为直角的性质构造三角形的高，再结合三角形三条高共点的特征完成作图，对几何性质的应用能力有一定要求，是圆与三角形结合的典型基础作图题。
【难度系数】
0.6
解题需用到圆周角定理推论（直径所对的圆周角是直角）和三角形三条高交于一点（垂心）的性质：
（1）图①中找△ABC三条高的交点：利用AB是直径的特征，AC、BC与半圆的交点分别和B、A连接，得到的线段就是△ABC的两条高，两条高的交点即为三条高的交点，符合三角形高共点的性质。
（2）图②中画AB边上的高：先延长AC、BC分别与半圆相交，同理构造出△ABC另外两条高，得到垂心后，连接垂心和点C并延长交AB，所得线段就是AB边上的高。
【解析】
（1）图①作图步骤：
① 标记AC与半圆的交点为E，BC与半圆的交点为F；
② 连接BE、AF，由直径所对的圆周角是直角可知∠AEB=90°、∠AFB=90°，即BE⊥AC、AF⊥BC，BE、AF是△ABC的两条高；
③ BE与AF的交点记为P，点P就是△ABC三条高的交点。
（2）图②作图步骤：
① 延长AC交半圆于点E，延长BC交半圆于点F；
② 连接BE、AF，由直径所对的圆周角是直角可知∠AEB=90°、∠AFB=90°，即BE⊥AC、AF⊥BC，BE和AF的交点P是△ABC的垂心；
③ 连接PC并延长交AB于点T，由三角形三条高交于一点可得CT⊥AB，即CT是AB边上的高。
【答案】
（1）如图①,点 P 就是三条高的交点 （2）如图②,CT 就是 AB 上的高.
【知识点】
1. 圆周角定理推论
2. 三角形垂心的性质
【点评】
本题是无刻度直尺几何作图题，核心是灵活运用直径所对圆周角为直角的性质构造三角形的高，再结合三角形三条高共点的特征完成作图，对几何性质的应用能力有一定要求，是圆与三角形结合的典型基础作图题。
【难度系数】
0.6
15.（6分）如图，某校有一块长20 m、宽14 m的矩形种植园.为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路（图中阴影部分）.小路把种植园分成面积均为24 m²的9个矩形地块，请你求出小路的宽度.
答案
15. $\frac{1}{2}$ m
解析
【分析】
本题是一元二次方程在几何面积问题中的应用，解题思路如下：1. 设小路宽度为x m；2. 观察图形可知9个地块为3行3列分布，水平方向共有4条竖直方向的小路，总宽度为4x，因此所有种植地块拼接后的总长度为(20-4x)m；竖直方向共有4条水平方向的小路，总宽度为4x，因此所有种植地块拼接后的总宽度为(14-4x)m；3. 先计算9个地块的总面积，再根据“拼接后矩形的面积=9个地块总面积”列一元二次方程求解；4. 检验所得的根是否符合实际意义，舍去不符合的根即可得到结果。
【解析】
解：设小路的宽度为$x$ m。
根据题意，9个矩形地块的总面积为：$9×24=216$（$\mathrm{m}^2$）
观察图形可得，所有种植地块拼接成的大矩形的长为$(20-4x)$ m，宽为$(14-4x)$ m，因此可列方程：
$(20-4x)(14-4x)=216$
展开并整理得：
$2x^2-17x+8=0$
因式分解得：
$(2x-1)(x-8)=0$
解得：$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=8$
检验：当$x=8$时，$20-4x=20-32=-12＜0$，不符合实际情况，故舍去。
因此小路的宽度为$\frac{1}{2}$ m。
【答案】
$\frac{1}{2}$ m
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，方程根的检验
【点评】
本题是几何与代数结合的典型应用题，解题的核心是通过平移拼接的方法，将分散的种植区域转化为一个完整的矩形，从而快速找到等量关系列方程，求解后要注意结合实际意义对根进行取舍，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
本题是一元二次方程在几何面积问题中的应用，解题思路如下：1. 设小路宽度为x m；2. 观察图形可知9个地块为3行3列分布，水平方向共有4条竖直方向的小路，总宽度为4x，因此所有种植地块拼接后的总长度为(20-4x)m；竖直方向共有4条水平方向的小路，总宽度为4x，因此所有种植地块拼接后的总宽度为(14-4x)m；3. 先计算9个地块的总面积，再根据“拼接后矩形的面积=9个地块总面积”列一元二次方程求解；4. 检验所得的根是否符合实际意义，舍去不符合的根即可得到结果。
【解析】
解：设小路的宽度为$x$ m。
根据题意，9个矩形地块的总面积为：$9×24=216$（$\mathrm{m}^2$）
观察图形可得，所有种植地块拼接成的大矩形的长为$(20-4x)$ m，宽为$(14-4x)$ m，因此可列方程：
$(20-4x)(14-4x)=216$
展开并整理得：
$2x^2-17x+8=0$
因式分解得：
$(2x-1)(x-8)=0$
解得：$x_1=\frac{1}{2}$，$x_2=8$
检验：当$x=8$时，$20-4x=20-32=-12＜0$，不符合实际情况，故舍去。
因此小路的宽度为$\frac{1}{2}$ m。
【答案】
$\frac{1}{2}$ m
【知识点】
一元二次方程应用，矩形面积计算，方程根的检验
【点评】
本题是几何与代数结合的典型应用题，解题的核心是通过平移拼接的方法，将分散的种植区域转化为一个完整的矩形，从而快速找到等量关系列方程，求解后要注意结合实际意义对根进行取舍，避免出现增根。
【难度系数】
0.6
16. (6分)设$x_1,x_2$是关于$x$的方程$(x-1)(x-2)=m^2$的两根.
(1) 当$x_1=-1$时,求$x_2$及$m$的值.
(2) 求证:$(x_1-1)(x_2-1)≤0$.
(1) 当$x_1=-1$时,求$x_2$及$m$的值.
(2) 求证:$(x_1-1)(x_2-1)≤0$.
答案
16. (1) $x_2=4,m=\pm\sqrt{6}$ (2) 方程$(x-1)(x-2)=m^2$可化为$x^2-3x+2-m^2=0.\because \Delta=9-4(2-m^2)=4m^2+1＞0,\therefore$方程有两个不相等的实数根.$\because$方程$(x-1)(x-2)=m^2$,即$x^2-3x+2-m^2=0$的两根为$x_1,x_2,\therefore x_1+x_2=3,x_1· x_2=2-m^2.\therefore (x_1-1)(x_2-1)=x_1· x_2 -x_1 -x_2 +1=2-m^2-3+1=-m^2.\because m^2≥0,\therefore -m^2≤0,即(x_1-1)(x_2-1)≤0$
解析
【分析】
(1) 已知方程的一个根，可先将该根代入原方程求出m的值，再解一元二次方程得到另一个根；也可先利用一元二次方程根与系数的关系直接求出另一个根，再计算m的值。
(2) 要证明$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将待证的代数式展开，代入两根和、两根积的结果，最后结合平方的非负性即可完成证明。
【解析】
(1) 把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$，得：
$(-1-1)×(-1-2)=m^2$
计算得$m^2=6$，因此$m=\pm\sqrt{6}$。
此时原方程为$(x-1)(x-2)=6$，整理得$x^2-3x-4=0$，
因式分解得$(x+1)(x-4)=0$，解得$x_2=4$。
(2) 证明：将原方程整理为一般形式：$x^2-3x+2-m^2=0$，
判别式$\Delta=(-3)^2-4×1×(2-m^2)=9-8+4m^2=4m^2+1$，
$\because 4m^2+1＞0$恒成立，$\therefore$方程总有两个不相等的实数根$x_1,x_2$。
由根与系数的关系得：$x_1+x_2=3$，$x_1· x_2=2-m^2$。
将$(x_1-1)(x_2-1)$展开得：
$(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2 -x_1 -x_2 +1=x_1x_2-(x_1+x_2)+1$，
代入$x_1+x_2=3$、$x_1x_2=2-m^2$得：
原式$=2-m^2-3+1=-m^2$，
$\because$任意实数的平方非负，即$m^2≥0$，
$\therefore -m^2≤0$，即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，得证。
【答案】
(1) $x_2=4$，$m=\pm\sqrt{6}$；(2) 证明成立。
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，平方的非负性
【点评】
本题围绕一元二次方程的核心知识命题，第一问侧重基础应用，第二问需要掌握代数式变形技巧结合韦达定理解答，能有效考查学生对一元二次方程相关知识的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 已知方程的一个根，可先将该根代入原方程求出m的值，再解一元二次方程得到另一个根；也可先利用一元二次方程根与系数的关系直接求出另一个根，再计算m的值。
(2) 要证明$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将待证的代数式展开，代入两根和、两根积的结果，最后结合平方的非负性即可完成证明。
【解析】
(1) 把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$，得：
$(-1-1)×(-1-2)=m^2$
计算得$m^2=6$，因此$m=\pm\sqrt{6}$。
此时原方程为$(x-1)(x-2)=6$，整理得$x^2-3x-4=0$，
因式分解得$(x+1)(x-4)=0$，解得$x_2=4$。
(2) 证明：将原方程整理为一般形式：$x^2-3x+2-m^2=0$，
判别式$\Delta=(-3)^2-4×1×(2-m^2)=9-8+4m^2=4m^2+1$，
$\because 4m^2+1＞0$恒成立，$\therefore$方程总有两个不相等的实数根$x_1,x_2$。
由根与系数的关系得：$x_1+x_2=3$，$x_1· x_2=2-m^2$。
将$(x_1-1)(x_2-1)$展开得：
$(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2 -x_1 -x_2 +1=x_1x_2-(x_1+x_2)+1$，
代入$x_1+x_2=3$、$x_1x_2=2-m^2$得：
原式$=2-m^2-3+1=-m^2$，
$\because$任意实数的平方非负，即$m^2≥0$，
$\therefore -m^2≤0$，即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，得证。
【答案】
(1) $x_2=4$，$m=\pm\sqrt{6}$；(2) 证明成立。
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，平方的非负性
【点评】
本题围绕一元二次方程的核心知识命题，第一问侧重基础应用，第二问需要掌握代数式变形技巧结合韦达定理解答，能有效考查学生对一元二次方程相关知识的掌握和应用能力。
【难度系数】
0.7
