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21. (8分)【综合与实践】利用闲置纸板箱制作储物盒.
素材1
如图①,图中是小红家需要设置储物盒的区域,该区域可以近似看成一个长方体,底面尺寸如图②所示.
闲置纸板箱
素材2
如图是利用闲置纸板箱拆解出的①,②两种宽均为 $ a \, \mathrm{cm}(a＜50 \, \mathrm{cm}) $ 长方形纸板.
长方形纸板①：
；长方形纸板②：
小红分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒.
长方形纸板①的制作方式：裁去角上4个相同的小正方形,折成一个无盖长方体储物盒.
长方形纸板②的制作方式：将纸片四个角裁去4个相同的小长方形,折成一个有盖的长方体储物盒.
目标1
熟悉材料：(1) 按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入储物区域,则长方形纸板宽 $ a $ 为
目标2
利用目标1计算所得的数据 $ a $ 进一步探究.
初步应用：(2) 按照长方形纸板①的制作方式,为了更方便地放入或取出储物盒,盒子四周需要留出一定的空间,当储物盒的底面积是 $ 936 \, \mathrm{cm}^2 $,求储物盒的容积.
储物收纳：(3) 按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒,若 $ EF $ 和 $ HG $ 两边恰好重合且无重叠部分,盒子的底面积为 $ 702 \, \mathrm{cm}^2 $.如图是家里一个玩具机械狗,请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒.
素材1
如图①,图中是小红家需要设置储物盒的区域,该区域可以近似看成一个长方体,底面尺寸如图②所示.
闲置纸板箱素材2
如图是利用闲置纸板箱拆解出的①,②两种宽均为 $ a \, \mathrm{cm}(a＜50 \, \mathrm{cm}) $ 长方形纸板.
长方形纸板①：
；长方形纸板②：小红分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒.
长方形纸板①的制作方式：裁去角上4个相同的小正方形,折成一个无盖长方体储物盒.
长方形纸板②的制作方式：将纸片四个角裁去4个相同的小长方形,折成一个有盖的长方体储物盒.
目标1
熟悉材料：(1) 按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入储物区域,则长方形纸板宽 $ a $ 为
$40$
cm.目标2
利用目标1计算所得的数据 $ a $ 进一步探究.
初步应用：(2) 按照长方形纸板①的制作方式,为了更方便地放入或取出储物盒,盒子四周需要留出一定的空间,当储物盒的底面积是 $ 936 \, \mathrm{cm}^2 $,求储物盒的容积.
储物收纳：(3) 按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒,若 $ EF $ 和 $ HG $ 两边恰好重合且无重叠部分,盒子的底面积为 $ 702 \, \mathrm{cm}^2 $.如图是家里一个玩具机械狗,请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒.
答案
21. (1) $a=30+2×5=40(\mathrm{cm})$ (2) 设边长为$x$ cm,$\therefore (50-2x)(40-2x)=936$.解得$x_1=7$,$x_2=38$(舍).$\therefore$体积$v=936×7=6552(\mathrm{cm}^3)$ (3) 设小长方形的宽为$x$ cm,长为$y$ cm,根据题意,得$\begin{cases}2(y-x)=100-2y,\\(40-2x)(100-2y)=702.\end{cases}$解得$\begin{cases}x=11,\\y=30.5.\end{cases}$ $\therefore$小长方形的宽为11 cm.当$EH,HG$之间两边恰好重合且无重叠部分,收纳盒的高$11＜18$,$\therefore$玩具机械狗不能完全放入该储物盒
解析
【分析】
(1) 要使纸板①制作的无盖储物盒无缝放入储物区域，说明储物盒底面尺寸和储物区域底面尺寸完全匹配。已知储物区域底面宽为30cm，制作无盖盒时左右两侧各裁去1个边长为5cm的小正方形，因此原纸板宽a等于储物盒底面宽加2倍裁去的小正方形边长，代入数值计算即可。
(2) 已知a=40cm，设裁去的小正方形边长为x cm，那么无盖盒底面长为$(50-2x)\mathrm{cm}$，底面宽为$(40-2x)\mathrm{cm}$，结合底面积为$936\mathrm{cm}^2$列一元二次方程，求解后舍去不符合实际的解（边长不能为负且$2x＜40$），再根据容积=底面积×高（即x）计算即可。
(3) 设裁去的小长方形宽为x cm（即储物盒的高），长为y cm，根据EF和HG重合无重叠可得到边的等量关系$2(y-x)=100-2y$，再结合底面积为$702\mathrm{cm}^2$列第二个方程$(40-2x)(100-2y)=702$，联立求解得到x的值，和玩具机械狗的高度18cm比较，若盒高≥18cm则能放入，否则不能。
【解析】
(1) 由题意，储物区域底面宽为30cm，制作无盖盒时两侧各裁去边长为5cm的小正方形，因此$a=30+2×5=40(\mathrm{cm})$。
(2) 设裁去的小正方形边长为x cm，根据底面积公式列方程：
$(50-2x)(40-2x)=936$
整理得$x^2-45x+266=0$，因式分解得$(x-7)(x-38)=0$，解得$x_1=7$，$x_2=38$。
当$x=38$时，$40-2x=-36＜0$，不符合实际情况，舍去。
因此储物盒高为7cm，容积$V=936×7=6552(\mathrm{cm}^3)$。
(3) 设裁去的小长方形宽为x cm（即储物盒的高），长为y cm，根据题意列方程组：
$\begin{cases}2(y-x)=100-2y\\(40-2x)(100-2y)=702\end{cases}$
解第一个方程得$x=2y-50$，代入第二个方程解得$y=30.5$，再代入$x=2y-50$得$x=11$。
即储物盒高为11cm，已知玩具机械狗高18cm，$11＜18$，因此玩具机械狗不能完全放入该储物盒。
【答案】
(1) $\boxed{40}$
(2) $\boxed{6552\mathrm{cm}^3}$
(3) $\boxed{不能完全放入}$
【知识点】
一元二次方程应用，二元一次方程组应用，长方体展开与折叠
【点评】
本题以生活中制作储物盒为背景，将几何折叠问题与方程求解结合，解题关键是找准折叠前后各边的数量关系，列方程求解时要注意结合实际意义检验解的合理性，贴近生活，实用性强。
【难度系数】
0.6
(1) 要使纸板①制作的无盖储物盒无缝放入储物区域，说明储物盒底面尺寸和储物区域底面尺寸完全匹配。已知储物区域底面宽为30cm，制作无盖盒时左右两侧各裁去1个边长为5cm的小正方形，因此原纸板宽a等于储物盒底面宽加2倍裁去的小正方形边长，代入数值计算即可。
(2) 已知a=40cm，设裁去的小正方形边长为x cm，那么无盖盒底面长为$(50-2x)\mathrm{cm}$，底面宽为$(40-2x)\mathrm{cm}$，结合底面积为$936\mathrm{cm}^2$列一元二次方程，求解后舍去不符合实际的解（边长不能为负且$2x＜40$），再根据容积=底面积×高（即x）计算即可。
(3) 设裁去的小长方形宽为x cm（即储物盒的高），长为y cm，根据EF和HG重合无重叠可得到边的等量关系$2(y-x)=100-2y$，再结合底面积为$702\mathrm{cm}^2$列第二个方程$(40-2x)(100-2y)=702$，联立求解得到x的值，和玩具机械狗的高度18cm比较，若盒高≥18cm则能放入，否则不能。
【解析】
(1) 由题意，储物区域底面宽为30cm，制作无盖盒时两侧各裁去边长为5cm的小正方形，因此$a=30+2×5=40(\mathrm{cm})$。
(2) 设裁去的小正方形边长为x cm，根据底面积公式列方程：
$(50-2x)(40-2x)=936$
整理得$x^2-45x+266=0$，因式分解得$(x-7)(x-38)=0$，解得$x_1=7$，$x_2=38$。
当$x=38$时，$40-2x=-36＜0$，不符合实际情况，舍去。
因此储物盒高为7cm，容积$V=936×7=6552(\mathrm{cm}^3)$。
(3) 设裁去的小长方形宽为x cm（即储物盒的高），长为y cm，根据题意列方程组：
$\begin{cases}2(y-x)=100-2y\\(40-2x)(100-2y)=702\end{cases}$
解第一个方程得$x=2y-50$，代入第二个方程解得$y=30.5$，再代入$x=2y-50$得$x=11$。
即储物盒高为11cm，已知玩具机械狗高18cm，$11＜18$，因此玩具机械狗不能完全放入该储物盒。
【答案】
(1) $\boxed{40}$
(2) $\boxed{6552\mathrm{cm}^3}$
(3) $\boxed{不能完全放入}$
【知识点】
一元二次方程应用，二元一次方程组应用，长方体展开与折叠
【点评】
本题以生活中制作储物盒为背景，将几何折叠问题与方程求解结合，解题关键是找准折叠前后各边的数量关系，列方程求解时要注意结合实际意义检验解的合理性，贴近生活，实用性强。
【难度系数】
0.6
