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16. 三点半时，时针和分针之间所形成的角（小于平角）的度数是
$75°$
。答案
16. $75°$
解析
【分析】
解题时首先明确钟面的基本特征：整个钟面为周角360°，平均分成12个大格，可先算出每个大格对应的度数。再分别确定三点半时，分针和时针的位置：分针指向6，而时针不会停在数字3的位置，会随时间向数字4移动，需要先算出30分钟内时针转动的度数，最后用数字3到6的总度数减去时针转动的度数，就能得到所求夹角。
【解析】
解：1. 计算钟面每个大格的度数：
钟面一周为360°，共分12个大格，每个大格的度数为 $360° ÷ 12 = 30°$。
2. 确定三点半时两针的位置：
分针走30分钟时指向数字6；时针1小时（60分钟）转1个大格（30°），则30分钟时针转动的度数为 $30° × \frac{30}{60} = 15°$，即此时时针在数字3和4之间，比数字3的位置高15°。
3. 计算夹角：
数字3到数字6之间有3个大格，总度数为 $3×30°=90°$，减去时针转动的15°，可得夹角为 $90° -15°=75°$。
【答案】
$75°$
【知识点】
钟面角计算，角的和差运算
【点评】
本题是钟面角计算的常规题型，易错点是容易忽略时针会随分钟的推移转动，误将时针视为固定在数字3的位置算出90°的错误结果，解题的关键是掌握时针、分针的转动速度，准确确定两针的位置后再计算角度差。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确钟面的基本特征：整个钟面为周角360°，平均分成12个大格，可先算出每个大格对应的度数。再分别确定三点半时，分针和时针的位置：分针指向6，而时针不会停在数字3的位置，会随时间向数字4移动，需要先算出30分钟内时针转动的度数，最后用数字3到6的总度数减去时针转动的度数，就能得到所求夹角。
【解析】
解：1. 计算钟面每个大格的度数：
钟面一周为360°，共分12个大格，每个大格的度数为 $360° ÷ 12 = 30°$。
2. 确定三点半时两针的位置：
分针走30分钟时指向数字6；时针1小时（60分钟）转1个大格（30°），则30分钟时针转动的度数为 $30° × \frac{30}{60} = 15°$，即此时时针在数字3和4之间，比数字3的位置高15°。
3. 计算夹角：
数字3到数字6之间有3个大格，总度数为 $3×30°=90°$，减去时针转动的15°，可得夹角为 $90° -15°=75°$。
【答案】
$75°$
【知识点】
钟面角计算，角的和差运算
【点评】
本题是钟面角计算的常规题型，易错点是容易忽略时针会随分钟的推移转动，误将时针视为固定在数字3的位置算出90°的错误结果，解题的关键是掌握时针、分针的转动速度，准确确定两针的位置后再计算角度差。
【难度系数】
0.7
17. 如图,点C,D在线段AB上.$AC=8\ \mathrm{cm},CD=5\ \mathrm{cm},AB=16\ \mathrm{cm}$,则图中所有线段的和是
（第17题）
53
cm.（第17题）答案
17. 53
解析
【分析】
解决这道题首先要按顺序枚举图中所有线段，避免漏数、多数：从左端点A出发，有线段AC、AD、AB；从左端点C出发，有线段CD、CB；从左端点D出发，有线段DB，共6条线段。接下来根据已知的线段长度，利用线段的和差关系算出未知线段的长度，最后把所有线段的长度相加即可得到结果。
【解析】
首先列出图中所有线段：AC、AD、AB、CD、CB、DB。
根据已知条件计算各线段长度：
已知$AC=8\ \mathrm{cm}$，$CD=5\ \mathrm{cm}$，$AB=16\ \mathrm{cm}$，则：
$AD=AC+CD=8+5=13\ \mathrm{cm}$，
$CB=AB-AC=16-8=8\ \mathrm{cm}$，
$DB=CB-CD=8-5=3\ \mathrm{cm}$。
所有线段的和为：
$AC+AD+AB+CD+CB+DB=8+13+16+5+8+3=53\ \mathrm{cm}$。
【答案】
53
【知识点】
线段的计数；线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的基础题型，解题核心是按顺序枚举所有线段，避免漏数、多数，同时要熟练运用线段和差关系计算未知线段长度。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要按顺序枚举图中所有线段，避免漏数、多数：从左端点A出发，有线段AC、AD、AB；从左端点C出发，有线段CD、CB；从左端点D出发，有线段DB，共6条线段。接下来根据已知的线段长度，利用线段的和差关系算出未知线段的长度，最后把所有线段的长度相加即可得到结果。
【解析】
首先列出图中所有线段：AC、AD、AB、CD、CB、DB。
根据已知条件计算各线段长度：
已知$AC=8\ \mathrm{cm}$，$CD=5\ \mathrm{cm}$，$AB=16\ \mathrm{cm}$，则：
$AD=AC+CD=8+5=13\ \mathrm{cm}$，
$CB=AB-AC=16-8=8\ \mathrm{cm}$，
$DB=CB-CD=8-5=3\ \mathrm{cm}$。
所有线段的和为：
$AC+AD+AB+CD+CB+DB=8+13+16+5+8+3=53\ \mathrm{cm}$。
【答案】
53
【知识点】
线段的计数；线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的基础题型，解题核心是按顺序枚举所有线段，避免漏数、多数，同时要熟练运用线段和差关系计算未知线段长度。
【难度系数】
0.7
18. 如图，C，D为线段AB上两点，$AC+BD=3$，$AD+BC=\frac{20}{13}AB$，则$CD=$
$\frac{7}{2}$
。答案
18. $\frac{7}{2}$
解析
【分析】
解题时先根据线段的和差关系，把AD、BC分别拆解为含AC、CD、BD的形式，再将AD+BC用已知的AC+BD和未知的CD表示；同时将AB也用AC+BD和CD表示，最后结合AD+BC与AB的等量关系列方程，即可求解CD的长度。
【解析】
根据线段的和差关系：
$AD = AC + CD$，$BC = BD + CD$
因此$AD + BC = (AC + CD) + (BD + CD) = (AC + BD) + 2CD$
已知$AC + BD = 3$，代入得：$AD + BC = 3 + 2CD$
又因为线段$AB = AC + CD + BD = (AC + BD) + CD = 3 + CD$
根据题意$AD + BC = \frac{20}{13}AB$，将上述两个式子代入等式：
$3 + 2CD = \frac{20}{13}(3 + CD)$
两边同时乘13消去分母：
$13×(3 + 2CD) = 20×(3 + CD)$
展开计算：
$39 + 26CD = 60 + 20CD$
移项合并同类项：
$6CD = 21$
解得：$CD = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$
【答案】
$\frac{7}{2}$
【知识点】
线段的和差计算，一元一次方程的应用
【点评】
本题核心是对线段和差关系的灵活运用，通过将相关线段拆解为已知量和未知量的组合，建立方程求解，是线段长度计算类题目的典型考法，解题时注意不要遗漏两条线段重叠的CD部分。
【难度系数】
0.6
解题时先根据线段的和差关系，把AD、BC分别拆解为含AC、CD、BD的形式，再将AD+BC用已知的AC+BD和未知的CD表示；同时将AB也用AC+BD和CD表示，最后结合AD+BC与AB的等量关系列方程，即可求解CD的长度。
【解析】
根据线段的和差关系：
$AD = AC + CD$，$BC = BD + CD$
因此$AD + BC = (AC + CD) + (BD + CD) = (AC + BD) + 2CD$
已知$AC + BD = 3$，代入得：$AD + BC = 3 + 2CD$
又因为线段$AB = AC + CD + BD = (AC + BD) + CD = 3 + CD$
根据题意$AD + BC = \frac{20}{13}AB$，将上述两个式子代入等式：
$3 + 2CD = \frac{20}{13}(3 + CD)$
两边同时乘13消去分母：
$13×(3 + 2CD) = 20×(3 + CD)$
展开计算：
$39 + 26CD = 60 + 20CD$
移项合并同类项：
$6CD = 21$
解得：$CD = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$
【答案】
$\frac{7}{2}$
【知识点】
线段的和差计算，一元一次方程的应用
【点评】
本题核心是对线段和差关系的灵活运用，通过将相关线段拆解为已知量和未知量的组合，建立方程求解，是线段长度计算类题目的典型考法，解题时注意不要遗漏两条线段重叠的CD部分。
【难度系数】
0.6
19. 定义:从$∠α(45°＜∠α＜90°)$的顶点出发,在角的内部作一条射线,若该射线将$∠α$分得的两个角中有一个角与$∠α$互为余角,则称该射线为$∠α$的“分余线”.
(1) 若$OC$平分$∠ AOB$,且$OC$为$∠ AOB$的“分余线”,则$∠ AOB=$
(2) 如图,$∠ AOB=156°$,在$∠ AOB$内部作射线$OC$,$OM$,使$OM$为$∠ AOC$的平分线,在$∠ BOC$的内部作射线$ON$,使$∠ BON=2∠ CON$.当$OC$为$∠ MON$的“分余线”时,则$∠ BOC$的度数为
(1) 若$OC$平分$∠ AOB$,且$OC$为$∠ AOB$的“分余线”,则$∠ AOB=$
$60°$
;(2) 如图,$∠ AOB=156°$,在$∠ AOB$内部作射线$OC$,$OM$,使$OM$为$∠ AOC$的平分线,在$∠ BOC$的内部作射线$ON$,使$∠ BON=2∠ CON$.当$OC$为$∠ MON$的“分余线”时,则$∠ BOC$的度数为
$72°或99°$
.答案
19. (1) $60°$ (2) $72°或99°$
解析
【分析】
(1) 首先明确“分余线”的定义：射线分原角得到的两个角中，有一个角和原角的和为$90°$。结合OC是$∠ AOB$的角平分线，可知OC分$∠ AOB$得到的两个角相等，都等于$\frac{1}{2}∠ AOB$，再根据互余关系列方程即可求出$∠ AOB$的度数。
(2) 设$∠ BOC$的度数为$x$，先用含$x$的式子分别表示出$∠ AOC$、$∠ MOC$、$∠ CON$、$∠ MON$的度数；再根据OC是$∠ MON$的分余线，分两种情况讨论：①$∠ MOC$与$∠ MON$互余；②$∠ CON$与$∠ MON$互余，分别列方程求解即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 设$∠ AOB$的度数为$x$，
$\because$ OC平分$∠ AOB$，
$\therefore ∠ AOC=∠ BOC=\frac{1}{2}x$，
$\because$ OC是$∠ AOB$的“分余线”，
$\therefore$ 分出来的角与$∠ AOB$互余，即$\frac{1}{2}x + x =90°$，
解得$x=60°$。
(2) 设$∠ BOC=x$，则$∠ AOC=∠ AOB - ∠ BOC=156° - x$，
$\because$ OM平分$∠ AOC$，
$\therefore ∠ MOC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{156° - x}{2}$，
$\because ∠ BON=2∠ CON$，且$∠ BON+∠ CON=∠ BOC$，
$\therefore ∠ CON=\frac{1}{3}∠ BOC=\frac{x}{3}$，
$\therefore ∠ MON=∠ MOC + ∠ CON=\frac{156° - x}{2}+\frac{x}{3}=\frac{468° - x}{6}$，
$\because$ OC是$∠ MON$的“分余线”，分两种情况：
① 当$∠ MOC + ∠ MON=90°$时：
$\frac{156° - x}{2}+\frac{468° - x}{6}=90°$，
两边同乘6得：$3(156° - x)+468° - x=540°$，
解得$x=99°$；
② 当$∠ CON + ∠ MON=90°$时：
$\frac{x}{3}+\frac{468° - x}{6}=90°$，
两边同乘6得：$2x + 468° - x=540°$，
解得$x=72°$；
综上，$∠ BOC$的度数为$72°$或$99°$。
【答案】
(1) $60°$ (2) $72°或99°$
【知识点】
角平分线的定义，余角的定义，角的和差计算
【点评】
本题属于新定义类题型，解题的关键是准确理解“分余线”的定义，结合角的和差关系、角平分线的性质分类讨论列方程求解，注意考虑所有情况避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 首先明确“分余线”的定义：射线分原角得到的两个角中，有一个角和原角的和为$90°$。结合OC是$∠ AOB$的角平分线，可知OC分$∠ AOB$得到的两个角相等，都等于$\frac{1}{2}∠ AOB$，再根据互余关系列方程即可求出$∠ AOB$的度数。
(2) 设$∠ BOC$的度数为$x$，先用含$x$的式子分别表示出$∠ AOC$、$∠ MOC$、$∠ CON$、$∠ MON$的度数；再根据OC是$∠ MON$的分余线，分两种情况讨论：①$∠ MOC$与$∠ MON$互余；②$∠ CON$与$∠ MON$互余，分别列方程求解即可，注意不要漏解。
【解析】
(1) 设$∠ AOB$的度数为$x$，
$\because$ OC平分$∠ AOB$，
$\therefore ∠ AOC=∠ BOC=\frac{1}{2}x$，
$\because$ OC是$∠ AOB$的“分余线”，
$\therefore$ 分出来的角与$∠ AOB$互余，即$\frac{1}{2}x + x =90°$，
解得$x=60°$。
(2) 设$∠ BOC=x$，则$∠ AOC=∠ AOB - ∠ BOC=156° - x$，
$\because$ OM平分$∠ AOC$，
$\therefore ∠ MOC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{156° - x}{2}$，
$\because ∠ BON=2∠ CON$，且$∠ BON+∠ CON=∠ BOC$，
$\therefore ∠ CON=\frac{1}{3}∠ BOC=\frac{x}{3}$，
$\therefore ∠ MON=∠ MOC + ∠ CON=\frac{156° - x}{2}+\frac{x}{3}=\frac{468° - x}{6}$，
$\because$ OC是$∠ MON$的“分余线”，分两种情况：
① 当$∠ MOC + ∠ MON=90°$时：
$\frac{156° - x}{2}+\frac{468° - x}{6}=90°$，
两边同乘6得：$3(156° - x)+468° - x=540°$，
解得$x=99°$；
② 当$∠ CON + ∠ MON=90°$时：
$\frac{x}{3}+\frac{468° - x}{6}=90°$，
两边同乘6得：$2x + 468° - x=540°$，
解得$x=72°$；
综上，$∠ BOC$的度数为$72°$或$99°$。
【答案】
(1) $60°$ (2) $72°或99°$
【知识点】
角平分线的定义，余角的定义，角的和差计算
【点评】
本题属于新定义类题型，解题的关键是准确理解“分余线”的定义，结合角的和差关系、角平分线的性质分类讨论列方程求解，注意考虑所有情况避免漏解。
【难度系数】
0.6
20. 如图，D，B，E是线段AC上的三个点，D是线段AB的中点.
（1）若E是BC的中点，且$BE=\frac{1}{4}AC=2$，求线段DE的长；
（2）$AC=\frac{3}{2}DE=30$，$AD:EC=3:2$，求线段EC的长.
（1）若E是BC的中点，且$BE=\frac{1}{4}AC=2$，求线段DE的长；
（2）$AC=\frac{3}{2}DE=30$，$AD:EC=3:2$，求线段EC的长.
答案
20. (1) $\because BE=\frac{1}{4}AC=2,\therefore AC=4BE=8,\therefore BE=2. \because E$ 是 BC 的中点, $\therefore BC=2BE=4,\therefore AB=AC-BC=8-4=4. \because D$ 是线段 AB 的中点,$\therefore DB=\frac{1}{2}AB=2,\therefore DE=DB+BE=2+2=4,\therefore$线段 DE 的长为 4. (2) $\because AC=\frac{3}{2}DE=30,\therefore DE=\frac{2}{3}AC=20.\therefore AD+CE=AC-DE=30-20=10. \because AD:EC=3:2,\therefore EC=10×\frac{2}{3+2}=4,\therefore$线段 EC 的长为 4.
解析
【分析】
（1）首先根据已知的$BE=\frac{1}{4}AC=2$求出AC的长度；再利用E是BC中点的性质求出BC的长度，结合线段和差关系算出AB的长；接着根据D是AB中点求出DB的长度，最后由$DE=DB+BE$即可算出DE的长。
（2）先根据$AC=\frac{3}{2}DE=30$求出DE的长度，再通过线段和差关系得到AD与EC的和，最后结合$AD:EC=3:2$的比例关系按比例分配，即可求出EC的长度。
【解析】
(1) $\because BE=\frac{1}{4}AC=2$
$\therefore AC=4BE=8$
$\because E$是$BC$的中点
$\therefore BC=2BE=4$
$\therefore AB=AC-BC=8-4=4$
$\because D$是线段$AB$的中点
$\therefore DB=\frac{1}{2}AB=2$
$\therefore DE=DB+BE=2+2=4$
(2) $\because AC=\frac{3}{2}DE=30$
$\therefore DE=\frac{2}{3}AC=20$
$\because$D、B、E在线段AC上
$\therefore AD+EC=AC-DE=30-20=10$
$\because AD:EC=3:2$
$\therefore EC=10×\frac{2}{3+2}=4$
【答案】
(1) 线段DE的长为4；(2) 线段EC的长为4。
【知识点】
1. 线段中点的定义
2. 线段和差计算
3. 比例的应用
【点评】
本题是线段计算的典型基础题，解题核心是熟练运用线段中点的性质，理清各线段之间的和差关系，结合已知条件逐步推导即可求解。
【难度系数】
0.8
（1）首先根据已知的$BE=\frac{1}{4}AC=2$求出AC的长度；再利用E是BC中点的性质求出BC的长度，结合线段和差关系算出AB的长；接着根据D是AB中点求出DB的长度，最后由$DE=DB+BE$即可算出DE的长。
（2）先根据$AC=\frac{3}{2}DE=30$求出DE的长度，再通过线段和差关系得到AD与EC的和，最后结合$AD:EC=3:2$的比例关系按比例分配，即可求出EC的长度。
【解析】
(1) $\because BE=\frac{1}{4}AC=2$
$\therefore AC=4BE=8$
$\because E$是$BC$的中点
$\therefore BC=2BE=4$
$\therefore AB=AC-BC=8-4=4$
$\because D$是线段$AB$的中点
$\therefore DB=\frac{1}{2}AB=2$
$\therefore DE=DB+BE=2+2=4$
(2) $\because AC=\frac{3}{2}DE=30$
$\therefore DE=\frac{2}{3}AC=20$
$\because$D、B、E在线段AC上
$\therefore AD+EC=AC-DE=30-20=10$
$\because AD:EC=3:2$
$\therefore EC=10×\frac{2}{3+2}=4$
【答案】
(1) 线段DE的长为4；(2) 线段EC的长为4。
【知识点】
1. 线段中点的定义
2. 线段和差计算
3. 比例的应用
【点评】
本题是线段计算的典型基础题，解题核心是熟练运用线段中点的性质，理清各线段之间的和差关系，结合已知条件逐步推导即可求解。
【难度系数】
0.8
21. 如图
，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的奇妙线.
（1）一个角的角平分线
（2）如图
，若∠MPN=60°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10°的速度逆时针旋转，当∠QPN首次等于180°时停止旋转，设旋转的时间为t s.
① 当t为何值时，射线PM是∠QPN的奇妙线？
② 若射线PM同时绕点P以每秒6°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止旋转.请求出当射线PQ是∠MPN的奇妙线时t的值.
，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB，∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的奇妙线.（1）一个角的角平分线
是
这个角的奇妙线（填“是”或“不是”）；（2）如图
，若∠MPN=60°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10°的速度逆时针旋转，当∠QPN首次等于180°时停止旋转，设旋转的时间为t s.① 当t为何值时，射线PM是∠QPN的奇妙线？
② 若射线PM同时绕点P以每秒6°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止旋转.请求出当射线PQ是∠MPN的奇妙线时t的值.
答案
21. (1) 是
(2) ① 由题意,得当$∠ MPN=2∠ QPM$时,$10t=60+\frac{1}{2}×60$,解得$t=9$;当$∠ QPN=2∠ MPN$时,$10t=2×60$,解得$t=12$;当$∠ QPM=2∠ MPN$时,$10t=60+2×60$,解得$t=18$.综上所述,当$t$为9或12或18时,射线 PM 是$∠ QPN$的奇妙线. ② 由题意,得$∠ MPQ=2∠ QPN$时,$10t=\frac{1}{3}(6t+60)$,解得$t=\frac{5}{2}$;当$∠ MPQ=∠ QPN$时,$10t=\frac{1}{2}(6t+60)$,解得$t=\frac{30}{7}$;当$∠ QPN=2∠ MPQ$时,$10t=\frac{2}{3}(6t+60)$,解得$t=\frac{20}{3}$. 故当射线 PQ 是$∠ MPN$的奇妙线时$t$的值为$\frac{5}{2}$或$\frac{30}{7}$或$\frac{20}{3}$.
(2) ① 由题意,得当$∠ MPN=2∠ QPM$时,$10t=60+\frac{1}{2}×60$,解得$t=9$;当$∠ QPN=2∠ MPN$时,$10t=2×60$,解得$t=12$;当$∠ QPM=2∠ MPN$时,$10t=60+2×60$,解得$t=18$.综上所述,当$t$为9或12或18时,射线 PM 是$∠ QPN$的奇妙线. ② 由题意,得$∠ MPQ=2∠ QPN$时,$10t=\frac{1}{3}(6t+60)$,解得$t=\frac{5}{2}$;当$∠ MPQ=∠ QPN$时,$10t=\frac{1}{2}(6t+60)$,解得$t=\frac{30}{7}$;当$∠ QPN=2∠ MPQ$时,$10t=\frac{2}{3}(6t+60)$,解得$t=\frac{20}{3}$. 故当射线 PQ 是$∠ MPN$的奇妙线时$t$的值为$\frac{5}{2}$或$\frac{30}{7}$或$\frac{20}{3}$.
解析
【分析】
（1）首先理解“奇妙线”的定义：若角内射线分出的三个角中存在一个角是另一个角的两倍，则该射线为奇妙线。角平分线将原角分成两个相等的小角，原角度数是每个小角的2倍，符合奇妙线的判定条件，可直接判断。
（2）①先根据旋转速度表示出t秒后∠QPN=10t°，此时三个角分别为∠QPM=(10t-60)°、∠MPN=60°、∠QPN=10t°，按照奇妙线定义分三种情况列一元一次方程求解即可，注意解要符合旋转范围。
②此时PM也同步旋转，t秒后总∠MPN=(60+6t)°，∠QPN=10t°，∠MPQ=(60-4t)°，同样按照奇妙线的三种倍角关系分类列方程求解，验证解的合理性。
【解析】
(1) 角平分线把一个角分成两个度数相等的小角，原角的度数是每个小角度数的2倍，满足奇妙线的定义，因此一个角的角平分线是这个角的奇妙线。
(2) ① 由题意得：t秒后∠QPN=10t°，分三种情况讨论：
情况1：当∠MPN=2∠QPM时，$10t=60+\frac{1}{2}×60$，解得$t=9$；
情况2：当∠QPN=2∠MPN时，$10t=2×60$，解得$t=12$；
情况3：当∠QPM=2∠MPN时，$10t=60+2×60$，解得$t=18$。
三个解均满足∠QPN≤180°的停止条件，均有效。
② 由题意得：t秒后∠MPN=(60+6t)°，分三种情况讨论：
情况1：当∠MPQ=2∠QPN时，$10t=\frac{1}{3}(6t+60)$，解得$t=\frac{5}{2}$；
情况2：当∠MPQ=∠QPN时，$10t=\frac{1}{2}(6t+60)$，解得$t=\frac{30}{7}$；
情况3：当∠QPN=2∠MPQ时，$10t=\frac{2}{3}(6t+60)$，解得$t=\frac{20}{3}$。
三个解均符合旋转停止要求，均有效。
【答案】
(1) 是
(2) ① $t$的值为9或12或18；② $t$的值为$\frac{5}{2}$或$\frac{30}{7}$或$\frac{20}{3}$
【知识点】
角的和差运算，一元一次方程应用，分类讨论思想
【点评】
本题属于新定义类题型，核心是准确理解“奇妙线”的含义，解题时要结合旋转的性质用含t的代数式正确表示各角度数，按照倍角关系分类讨论列方程，注意不要漏解，同时要验证解是否符合题目的限制条件。
【难度系数】
0.6
（1）首先理解“奇妙线”的定义：若角内射线分出的三个角中存在一个角是另一个角的两倍，则该射线为奇妙线。角平分线将原角分成两个相等的小角，原角度数是每个小角的2倍，符合奇妙线的判定条件，可直接判断。
（2）①先根据旋转速度表示出t秒后∠QPN=10t°，此时三个角分别为∠QPM=(10t-60)°、∠MPN=60°、∠QPN=10t°，按照奇妙线定义分三种情况列一元一次方程求解即可，注意解要符合旋转范围。
②此时PM也同步旋转，t秒后总∠MPN=(60+6t)°，∠QPN=10t°，∠MPQ=(60-4t)°，同样按照奇妙线的三种倍角关系分类列方程求解，验证解的合理性。
【解析】
(1) 角平分线把一个角分成两个度数相等的小角，原角的度数是每个小角度数的2倍，满足奇妙线的定义，因此一个角的角平分线是这个角的奇妙线。
(2) ① 由题意得：t秒后∠QPN=10t°，分三种情况讨论：
情况1：当∠MPN=2∠QPM时，$10t=60+\frac{1}{2}×60$，解得$t=9$；
情况2：当∠QPN=2∠MPN时，$10t=2×60$，解得$t=12$；
情况3：当∠QPM=2∠MPN时，$10t=60+2×60$，解得$t=18$。
三个解均满足∠QPN≤180°的停止条件，均有效。
② 由题意得：t秒后∠MPN=(60+6t)°，分三种情况讨论：
情况1：当∠MPQ=2∠QPN时，$10t=\frac{1}{3}(6t+60)$，解得$t=\frac{5}{2}$；
情况2：当∠MPQ=∠QPN时，$10t=\frac{1}{2}(6t+60)$，解得$t=\frac{30}{7}$；
情况3：当∠QPN=2∠MPQ时，$10t=\frac{2}{3}(6t+60)$，解得$t=\frac{20}{3}$。
三个解均符合旋转停止要求，均有效。
【答案】
(1) 是
(2) ① $t$的值为9或12或18；② $t$的值为$\frac{5}{2}$或$\frac{30}{7}$或$\frac{20}{3}$
【知识点】
角的和差运算，一元一次方程应用，分类讨论思想
【点评】
本题属于新定义类题型，核心是准确理解“奇妙线”的含义，解题时要结合旋转的性质用含t的代数式正确表示各角度数，按照倍角关系分类讨论列方程，注意不要漏解，同时要验证解是否符合题目的限制条件。
【难度系数】
0.6
