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22. 刚上初中的琪琪为了更加高效地完成作业，进行限时训练，特意去商店买了一块机械手表，爱钻研的琪琪发现了手表上的数学问题，如图1是一块手表，我们可以理解成如图2的数学模型(点A和点D是表带的两端，点A,B,C,D在同一条线段上).
(1) 已知表盘直径BC为3 cm，CD:AB=2:1，若B是AC中点，求手表AD全长.
(2) 在某个时刻，分针ON指向表盘上的数字“6”(此时ON与OC重合).时针为OE，琪琪一看现在正好是8:30，如图3.
① 8:30 时分针和时针的夹角为
② 作射线OF，使$∠ EOF=20°$，求此时$∠ BOF$的度数.
(3) 如图4，自8:30之后，OM始终是$∠ EON$的角平分线(分针还是ON)，在一小时以内，经过多少分钟后，$∠ EOM$的度数是25°？
(1) 已知表盘直径BC为3 cm，CD:AB=2:1，若B是AC中点，求手表AD全长.
(2) 在某个时刻，分针ON指向表盘上的数字“6”(此时ON与OC重合).时针为OE，琪琪一看现在正好是8:30，如图3.
① 8:30 时分针和时针的夹角为
75
°；② 作射线OF，使$∠ EOF=20°$，求此时$∠ BOF$的度数.
(3) 如图4，自8:30之后，OM始终是$∠ EON$的角平分线(分针还是ON)，在一小时以内，经过多少分钟后，$∠ EOM$的度数是25°？
答案
22. (1) $\because B$ 是 AC 中点,$\therefore AB=BC=\frac{1}{2}AC=3\ \mathrm{cm}.\therefore AC=6\ \mathrm{cm}.\because CD:AB=2:1,\therefore CD=6\ \mathrm{cm},\therefore AD=AC+CD=12\ \mathrm{cm}.$
(2) ① 75 ② 当 OF 在$∠ EON$内部时,$∠ NOF=∠ EON-∠ EOF=75°-20°=55°,\therefore ∠ BOF=180°-∠ NOF=125°$;当 OF 在$∠ EON$外部时,$∠ BOF=180°-(∠ EON+∠ EOF)=180°-(75°+20°)=85°$.综上所述:$∠ BOF=125°或85°.$
(3) 设经过时间为$t$ min,时针与分针的速度差为$6°-0.5°=5.5°,\therefore ∠ EON=|75°-5.5t|.\because OM$ 平分$∠ EON,\therefore ∠ EOM=\frac{|75°-5.5t|}{2}=25°.$ ① $\frac{75°-5.5t}{2}=25°$,解得$t=\frac{50}{11}(\min )$; ② $\frac{5.5t-75°}{2}=25°$,解得$t=\frac{250}{11}(\min )$. 综上所述:经过$\frac{50}{11}\min$或$\frac{250}{11}\min$时,$∠ EOM$的度数是$25°.$
(2) ① 75 ② 当 OF 在$∠ EON$内部时,$∠ NOF=∠ EON-∠ EOF=75°-20°=55°,\therefore ∠ BOF=180°-∠ NOF=125°$;当 OF 在$∠ EON$外部时,$∠ BOF=180°-(∠ EON+∠ EOF)=180°-(75°+20°)=85°$.综上所述:$∠ BOF=125°或85°.$
(3) 设经过时间为$t$ min,时针与分针的速度差为$6°-0.5°=5.5°,\therefore ∠ EON=|75°-5.5t|.\because OM$ 平分$∠ EON,\therefore ∠ EOM=\frac{|75°-5.5t|}{2}=25°.$ ① $\frac{75°-5.5t}{2}=25°$,解得$t=\frac{50}{11}(\min )$; ② $\frac{5.5t-75°}{2}=25°$,解得$t=\frac{250}{11}(\min )$. 综上所述:经过$\frac{50}{11}\min$或$\frac{250}{11}\min$时,$∠ EOM$的度数是$25°.$
解析
【分析】
(1) 先利用线段中点的性质，由B是AC中点推出AB和BC长度相等，求出AC的长度；再根据CD与AB的比例关系求出CD的长度，最后将AC和CD相加即可得到AD的全长。
(2) ① 钟面共12个大格，每大格对应30°，8:30时分针指向6，时针在8和9的正中间，数出两者间隔的大格数乘30°即可得到夹角。② 射线OF的位置存在两种情况：在∠EON内部、在∠EON外部，需要分类讨论计算∠BOF的度数，避免漏解。
(3) 明确时针每分钟转0.5°，分针每分钟转6°，设经过t分钟，先表示出t分钟后时针与分针的夹角∠EON；再根据角平分线的性质得到∠EOM是∠EON的一半，列绝对值方程求解，注意t需满足小于60分钟的限制。
【解析】
(1) $\because B$ 是 AC 中点,
$\therefore AB=BC=\frac{1}{2}AC=3\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AC=6\ \mathrm{cm}$，
$\because CD:AB=2:1$，
$\therefore CD=2×3=6\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AD=AC+CD=6+6=12\ \mathrm{cm}$。
(2) ① 钟面每大格的度数为$360°÷12=30°$，8:30时，时针和分针间隔2.5个大格，因此夹角为$2.5×30°=75°$。
② 分两种情况讨论：
当OF在$∠ EON$内部时，$∠ NOF=∠ EON-∠ EOF=75°-20°=55°$，
$\therefore ∠ BOF=180°-∠ NOF=125°$；
当OF在$∠ EON$外部时，$∠ NOF=∠ EON+∠ EOF=75°+20°=95°$，
$\therefore ∠ BOF=180°-∠ NOF=85°$。
综上所述:$∠ BOF=125°或85°$。
(3) 设经过时间为$t$ $\mathrm{min}$（$0＜t＜60$），
时针与分针的速度差为$6°-0.5°=5.5°$，
$\therefore ∠ EON=|75°-5.5t|$，
$\because OM$ 平分$∠ EON$，
$\therefore ∠ EOM=\frac{|75°-5.5t|}{2}=25°$，
即$|75-5.5t|=50$，
① 当$75-5.5t=50$时，解得$t=\frac{50}{11}(\min )$；
② 当$5.5t-75=50$时，解得$t=\frac{250}{11}(\min )$。
两个解均满足$t＜60$，符合题意。
综上所述:经过$\frac{50}{11}\min$或$\frac{250}{11}\min$时，$∠ EOM$的度数是$25°$。
【答案】
(1) $12\ \mathrm{cm}$；
(2) ① $\boldsymbol{75}$；② $85°$或$125°$；
(3) $\frac{50}{11}\min$或$\frac{250}{11}\min$。
【知识点】
线段和差计算、钟面角计算、角平分线的性质
【点评】
本题结合生活中的手表场景命题，综合考查了线段运算、钟面角求解、角平分线性质及分类讨论思想的应用，解题时需注意射线位置的多解性，熟练掌握时针、分针的转动速度是解决钟表动态问题的核心。
【难度系数】
0.6
(1) 先利用线段中点的性质，由B是AC中点推出AB和BC长度相等，求出AC的长度；再根据CD与AB的比例关系求出CD的长度，最后将AC和CD相加即可得到AD的全长。
(2) ① 钟面共12个大格，每大格对应30°，8:30时分针指向6，时针在8和9的正中间，数出两者间隔的大格数乘30°即可得到夹角。② 射线OF的位置存在两种情况：在∠EON内部、在∠EON外部，需要分类讨论计算∠BOF的度数，避免漏解。
(3) 明确时针每分钟转0.5°，分针每分钟转6°，设经过t分钟，先表示出t分钟后时针与分针的夹角∠EON；再根据角平分线的性质得到∠EOM是∠EON的一半，列绝对值方程求解，注意t需满足小于60分钟的限制。
【解析】
(1) $\because B$ 是 AC 中点,
$\therefore AB=BC=\frac{1}{2}AC=3\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AC=6\ \mathrm{cm}$，
$\because CD:AB=2:1$，
$\therefore CD=2×3=6\ \mathrm{cm}$，
$\therefore AD=AC+CD=6+6=12\ \mathrm{cm}$。
(2) ① 钟面每大格的度数为$360°÷12=30°$，8:30时，时针和分针间隔2.5个大格，因此夹角为$2.5×30°=75°$。
② 分两种情况讨论：
当OF在$∠ EON$内部时，$∠ NOF=∠ EON-∠ EOF=75°-20°=55°$，
$\therefore ∠ BOF=180°-∠ NOF=125°$；
当OF在$∠ EON$外部时，$∠ NOF=∠ EON+∠ EOF=75°+20°=95°$，
$\therefore ∠ BOF=180°-∠ NOF=85°$。
综上所述:$∠ BOF=125°或85°$。
(3) 设经过时间为$t$ $\mathrm{min}$（$0＜t＜60$），
时针与分针的速度差为$6°-0.5°=5.5°$，
$\therefore ∠ EON=|75°-5.5t|$，
$\because OM$ 平分$∠ EON$，
$\therefore ∠ EOM=\frac{|75°-5.5t|}{2}=25°$，
即$|75-5.5t|=50$，
① 当$75-5.5t=50$时，解得$t=\frac{50}{11}(\min )$；
② 当$5.5t-75=50$时，解得$t=\frac{250}{11}(\min )$。
两个解均满足$t＜60$，符合题意。
综上所述:经过$\frac{50}{11}\min$或$\frac{250}{11}\min$时，$∠ EOM$的度数是$25°$。
【答案】
(1) $12\ \mathrm{cm}$；
(2) ① $\boldsymbol{75}$；② $85°$或$125°$；
(3) $\frac{50}{11}\min$或$\frac{250}{11}\min$。
【知识点】
线段和差计算、钟面角计算、角平分线的性质
【点评】
本题结合生活中的手表场景命题，综合考查了线段运算、钟面角求解、角平分线性质及分类讨论思想的应用，解题时需注意射线位置的多解性，熟练掌握时针、分针的转动速度是解决钟表动态问题的核心。
【难度系数】
0.6
