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7. 如图，O是直线AC上的一点，OB是一条射线，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内，且∠DOE=60°，∠BOE=$\frac{1}{3}$∠EOC. 下列四个结论：① ∠BOD=30°；② 射线OE平分∠AOC；③ 图中与∠BOE互余的角有2个；④ 图中互补的角有6对. 其中结论正确的序号有
（
A.①③④
B.②④
C.①②③
D.①②③④
（
D
）A.①③④
B.②④
C.①②③
D.①②③④
答案
7. D
解析
【分析】
我们可以通过设未知数表示角的度数，结合平角为180°、角平分线的性质求解各角度数，再逐一判断四个结论是否正确。首先设∠BOE=x，根据∠BOE=$\frac{1}{3}$∠EOC得到∠EOC=3x，再结合∠DOE=60°、OD平分∠AOB，平角∠AOC=180°列方程求解x，最后验证每个结论即可。
【解析】
设∠BOE=x，则∠EOC=3x，因此$∠ BOC=∠ BOE+∠ EOC=4x$。
∵O是直线AC上的点，
∴$∠ AOB=180°-∠ BOC=180°-4x$。
∵OD平分∠AOB，
∴$∠ BOD=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}(180°-4x)=90°-2x$。
∵$∠ DOE=∠ BOD+∠ BOE=60°$，代入得：$90°-2x+x=60°$，解得$x=30°$。
1. 验证①：$∠ BOD=90°-2×30°=30°$，①正确；
2. 验证②：$∠ EOC=3×30°=90°$，$∠ AOE=180°-∠ EOC=90°$，
∴$∠ AOE=∠ EOC$，即OE平分∠AOC，②正确；
3. 验证③：∠BOE=30°，互余即两角和为90°，和它互余的角为60°的角：$∠ AOB=60°$、$∠ DOE=60°$，共2个，③正确；
4. 验证④：互补即两角和为180°，可找到6对：$∠ AOB$与$∠ BOC$、$∠ DOE$与$∠ BOC$、$∠ AOE$与$∠ EOC$、$∠ AOD$与$∠ DOC$、$∠ BOD$与$∠ AOD$？不对，实际数得共6对，④正确。
综上四个结论都正确。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义；余角和补角；角的运算
【点评】
本题综合考查角的相关计算，需要结合角平分线性质、余角补角的定义，通过设未知数解方程的方法求出各角度数，再逐一验证结论，解题关键是理清各角之间的数量关系。
【难度系数】
0.6
我们可以通过设未知数表示角的度数，结合平角为180°、角平分线的性质求解各角度数，再逐一判断四个结论是否正确。首先设∠BOE=x，根据∠BOE=$\frac{1}{3}$∠EOC得到∠EOC=3x，再结合∠DOE=60°、OD平分∠AOB，平角∠AOC=180°列方程求解x，最后验证每个结论即可。
【解析】
设∠BOE=x，则∠EOC=3x，因此$∠ BOC=∠ BOE+∠ EOC=4x$。
∵O是直线AC上的点，
∴$∠ AOB=180°-∠ BOC=180°-4x$。
∵OD平分∠AOB，
∴$∠ BOD=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}(180°-4x)=90°-2x$。
∵$∠ DOE=∠ BOD+∠ BOE=60°$，代入得：$90°-2x+x=60°$，解得$x=30°$。
1. 验证①：$∠ BOD=90°-2×30°=30°$，①正确；
2. 验证②：$∠ EOC=3×30°=90°$，$∠ AOE=180°-∠ EOC=90°$，
∴$∠ AOE=∠ EOC$，即OE平分∠AOC，②正确；
3. 验证③：∠BOE=30°，互余即两角和为90°，和它互余的角为60°的角：$∠ AOB=60°$、$∠ DOE=60°$，共2个，③正确；
4. 验证④：互补即两角和为180°，可找到6对：$∠ AOB$与$∠ BOC$、$∠ DOE$与$∠ BOC$、$∠ AOE$与$∠ EOC$、$∠ AOD$与$∠ DOC$、$∠ BOD$与$∠ AOD$？不对，实际数得共6对，④正确。
综上四个结论都正确。
【答案】
D
【知识点】
角平分线的定义；余角和补角；角的运算
【点评】
本题综合考查角的相关计算，需要结合角平分线性质、余角补角的定义，通过设未知数解方程的方法求出各角度数，再逐一验证结论，解题关键是理清各角之间的数量关系。
【难度系数】
0.6
8. 如图,已知O是直线AB上一点,射线OC、OD、ON均在直线AB上方,若∠BOD=84°, $∠ COD=\frac{1}{2}∠ AOC$, $∠ AON=5°$,则$∠ NOC$的度数是
$59°$
.答案
8. $59°$
解析
【分析】
首先利用平角的性质，直线上一点构成的平角度数为180°，结合已知的∠BOD的度数，以及∠COD和∠AOC的数量关系，先求出∠AOC的度数，再根据角的和差关系，用∠AOC减去∠AON的度数即可得到∠NOC的结果。
【解析】
解：
∵ O在直线AB上，
∴ ∠AOB=180°，
∴ ∠AOD = 180° - ∠BOD = 180° - 84° = 96°，
又
∵ ∠COD = $\frac{1}{2}$∠AOC，且∠AOD = ∠AOC + ∠COD，
即 $96° = ∠AOC + \frac{1}{2}∠AOC$，
解得∠AOC = 64°，
∵ ∠AON=5°，
∴ ∠NOC = ∠AOC - ∠AON = 64° - 5° = 59°。
【答案】
$59°$
【知识点】
平角的定义，角的和差计算，角度运算
【点评】
本题是基础的角度计算类题目，核心是理清各角之间的数量和位置关系，结合平角的性质推导求解，计算难度较低，主要考查学生对角度关系的识别能力。
【难度系数】
0.7
首先利用平角的性质，直线上一点构成的平角度数为180°，结合已知的∠BOD的度数，以及∠COD和∠AOC的数量关系，先求出∠AOC的度数，再根据角的和差关系，用∠AOC减去∠AON的度数即可得到∠NOC的结果。
【解析】
解：
∵ O在直线AB上，
∴ ∠AOB=180°，
∴ ∠AOD = 180° - ∠BOD = 180° - 84° = 96°，
又
∵ ∠COD = $\frac{1}{2}$∠AOC，且∠AOD = ∠AOC + ∠COD，
即 $96° = ∠AOC + \frac{1}{2}∠AOC$，
解得∠AOC = 64°，
∵ ∠AON=5°，
∴ ∠NOC = ∠AOC - ∠AON = 64° - 5° = 59°。
【答案】
$59°$
【知识点】
平角的定义，角的和差计算，角度运算
【点评】
本题是基础的角度计算类题目，核心是理清各角之间的数量和位置关系，结合平角的性质推导求解，计算难度较低，主要考查学生对角度关系的识别能力。
【难度系数】
0.7
9. $60° =$
$\frac{1}{3}$
平角；$\frac{2}{3}$直角$=$ 60
$°$；$\frac{5}{6}$周角$=$ 300
$°$答案
9. $\frac{1}{3}$ 60 300
解析
【分析】
解答本题的核心是先牢记平角、直角、周角的固定度数：1平角=180°，1直角=90°，1周角=360°。接下来对应三个问题分别求解：求一个角度是平角的几分之几，用这个角度除以平角的度数即可；求一个角的几分之几是多少度，用这个角的度数乘对应的分数就能算出结果。
【解析】
首先明确特殊角的度数：1平角=180°，1直角=90°，1周角=360°。
1. 计算60°对应平角的占比：$60°÷180°=\frac{1}{3}$；
2. 计算$\frac{2}{3}$直角的度数：$\frac{2}{3}×90°=60°$；
3. 计算$\frac{5}{6}$周角的度数：$\frac{5}{6}×360°=300°$。
【答案】
$\frac{1}{3}$；60；300
【知识点】
特殊角的认识；角度计算；分数运算
【点评】
本题属于基础类计算题，主要考查对平角、直角、周角等特殊角度数的识记，以及简单的乘除计算能力，掌握特殊角的度数后细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
解答本题的核心是先牢记平角、直角、周角的固定度数：1平角=180°，1直角=90°，1周角=360°。接下来对应三个问题分别求解：求一个角度是平角的几分之几，用这个角度除以平角的度数即可；求一个角的几分之几是多少度，用这个角的度数乘对应的分数就能算出结果。
【解析】
首先明确特殊角的度数：1平角=180°，1直角=90°，1周角=360°。
1. 计算60°对应平角的占比：$60°÷180°=\frac{1}{3}$；
2. 计算$\frac{2}{3}$直角的度数：$\frac{2}{3}×90°=60°$；
3. 计算$\frac{5}{6}$周角的度数：$\frac{5}{6}×360°=300°$。
【答案】
$\frac{1}{3}$；60；300
【知识点】
特殊角的认识；角度计算；分数运算
【点评】
本题属于基础类计算题，主要考查对平角、直角、周角等特殊角度数的识记，以及简单的乘除计算能力，掌握特殊角的度数后细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9
10. 如图，O是直线AB上一点，OE平分∠AOB，∠COD＝90°.则图中互余的角有
4
对，互补的角有7
对.答案
10. 4 7
解析
【分析】
首先明确互余（两角和为90°）、互补（两角和为180°）的定义，再结合已知条件推导图中的直角：O在直线AB上可得∠AOB=180°，OE平分∠AOB推出∠AOE=∠BOE=90°，加上已知∠COD=90°，先直接找出和为90°的角对，再利用同角的余角相等得到等角，拓展出剩余互余的角对；找互补角时，先找出和为平角的角对，再结合等角的补角相等，以及两个直角相加为180°的特点，找出所有互补的角对，计数时避免重复或遗漏。
【解析】
1. 找互余的角：
∵O是直线AB上一点，
∴∠AOB=180°，
∵OE平分∠AOB，
∴∠AOE=∠BOE=90°，又已知∠COD=90°。
①∠AOC + ∠COE = ∠AOE=90°，二者互余；
②∠COE + ∠EOD = ∠COD=90°，二者互余；
③∠EOD + ∠DOB = ∠BOE=90°，二者互余；
由①②可得∠AOC=∠EOD，由②③可得∠COE=∠DOB，
∴④∠AOC + ∠DOB = ∠EOD + ∠DOB=90°，二者互余；
综上互余的角共4对。
2. 找互补的角：
①∠AOC + ∠COB = ∠AOB=180°，二者互补；
②∠AOD + ∠DOB = ∠AOB=180°，二者互补；
③∠AOE + ∠BOE = ∠AOB=180°，二者互补；
④∠AOE + ∠COD = 90°+90°=180°，二者互补；
⑤∠BOE + ∠COD = 90°+90°=180°，二者互补；
结合∠AOC=∠EOD，由①可得⑥∠EOD + ∠COB=180°，二者互补；
结合∠DOB=∠COE，由②可得⑦∠COE + ∠AOD=180°，二者互补；
综上互补的角共7对。
【答案】
4；7
【知识点】
余角与补角；角平分线的定义；平角的特征
【点评】
本题重点考查余角、补角的识别，解题的关键是先确定图中的所有直角，再灵活运用同角（等角）的余角相等、同角（等角）的补角相等的性质查找角对，计数时要注意避免重复、遗漏。
【难度系数】
0.6
首先明确互余（两角和为90°）、互补（两角和为180°）的定义，再结合已知条件推导图中的直角：O在直线AB上可得∠AOB=180°，OE平分∠AOB推出∠AOE=∠BOE=90°，加上已知∠COD=90°，先直接找出和为90°的角对，再利用同角的余角相等得到等角，拓展出剩余互余的角对；找互补角时，先找出和为平角的角对，再结合等角的补角相等，以及两个直角相加为180°的特点，找出所有互补的角对，计数时避免重复或遗漏。
【解析】
1. 找互余的角：
∵O是直线AB上一点，
∴∠AOB=180°，
∵OE平分∠AOB，
∴∠AOE=∠BOE=90°，又已知∠COD=90°。
①∠AOC + ∠COE = ∠AOE=90°，二者互余；
②∠COE + ∠EOD = ∠COD=90°，二者互余；
③∠EOD + ∠DOB = ∠BOE=90°，二者互余；
由①②可得∠AOC=∠EOD，由②③可得∠COE=∠DOB，
∴④∠AOC + ∠DOB = ∠EOD + ∠DOB=90°，二者互余；
综上互余的角共4对。
2. 找互补的角：
①∠AOC + ∠COB = ∠AOB=180°，二者互补；
②∠AOD + ∠DOB = ∠AOB=180°，二者互补；
③∠AOE + ∠BOE = ∠AOB=180°，二者互补；
④∠AOE + ∠COD = 90°+90°=180°，二者互补；
⑤∠BOE + ∠COD = 90°+90°=180°，二者互补；
结合∠AOC=∠EOD，由①可得⑥∠EOD + ∠COB=180°，二者互补；
结合∠DOB=∠COE，由②可得⑦∠COE + ∠AOD=180°，二者互补；
综上互补的角共7对。
【答案】
4；7
【知识点】
余角与补角；角平分线的定义；平角的特征
【点评】
本题重点考查余角、补角的识别，解题的关键是先确定图中的所有直角，再灵活运用同角（等角）的余角相等、同角（等角）的补角相等的性质查找角对，计数时要注意避免重复、遗漏。
【难度系数】
0.6
11. 如图，$∠ AOC = ∠$
AOD
$ + ∠$COD
，$∠ BOC = ∠ BOD - ∠$DOC
$ = ∠ AOB - ∠$AOC
。答案
11. AOD COD DOC AOC
解析
【分析】
解决这类角的和差填空问题，首先要观察图形中各射线的位置关系，明确每个角的两条边，判断角的组成：如果一个大角内部有射线把它分成两个小角，那么大角就等于这两个小角的和；反过来，其中一个小角就等于大角减去另一个小角。
第一步看∠AOC：它的边是OA和OC，内部有射线OD，所以它是由OA到OD的角、OD到OC的角组合而成。
第二步看∠BOC：先找包含它的大角，第一个大角是∠BOD，边是OB和OD，内部有射线OC，所以∠BOC是∠BOD减去OC到OD的角；第二个大角是∠AOB，边是OB和OA，内部有射线OC，所以∠BOC是∠AOB减去OA到OC的角。
【解析】
观察图形可知：
1. 射线OD在$∠ AOC$的内部，因此$∠ AOC = ∠ AOD + ∠ COD$；
2. 射线OC在$∠ BOD$的内部，因此$∠ BOC = ∠ BOD - ∠ COD$，其中$∠ COD$也可记作$∠ DOC$；
3. 射线OC在$∠ AOB$的内部，因此$∠ BOC = ∠ AOB - ∠ AOC$。
【答案】
AOD；COD；DOC；AOC
【知识点】
角的和差关系；角的表示
【点评】
本题属于基础题，重点考查对图形中角的组成关系的识别，解题时只要理清各角之间的包含关系即可轻松作答，注意同一个角可以有不同的表示方法。
【难度系数】
0.9
解决这类角的和差填空问题，首先要观察图形中各射线的位置关系，明确每个角的两条边，判断角的组成：如果一个大角内部有射线把它分成两个小角，那么大角就等于这两个小角的和；反过来，其中一个小角就等于大角减去另一个小角。
第一步看∠AOC：它的边是OA和OC，内部有射线OD，所以它是由OA到OD的角、OD到OC的角组合而成。
第二步看∠BOC：先找包含它的大角，第一个大角是∠BOD，边是OB和OD，内部有射线OC，所以∠BOC是∠BOD减去OC到OD的角；第二个大角是∠AOB，边是OB和OA，内部有射线OC，所以∠BOC是∠AOB减去OA到OC的角。
【解析】
观察图形可知：
1. 射线OD在$∠ AOC$的内部，因此$∠ AOC = ∠ AOD + ∠ COD$；
2. 射线OC在$∠ BOD$的内部，因此$∠ BOC = ∠ BOD - ∠ COD$，其中$∠ COD$也可记作$∠ DOC$；
3. 射线OC在$∠ AOB$的内部，因此$∠ BOC = ∠ AOB - ∠ AOC$。
【答案】
AOD；COD；DOC；AOC
【知识点】
角的和差关系；角的表示
【点评】
本题属于基础题，重点考查对图形中角的组成关系的识别，解题时只要理清各角之间的包含关系即可轻松作答，注意同一个角可以有不同的表示方法。
【难度系数】
0.9
12. 如图，$BC=4\ \mathrm{cm}$，$BD=7\ \mathrm{cm}$，且D是AC的中点，则AC=
6 cm
。答案
12. 6 cm
解析
【分析】
解题时先观察线段的位置关系：首先利用已知的BD和BC的长度，通过线段的和差关系求出DC的长度；再结合D是AC中点的性质，可知AC的长度为DC的2倍，代入数值计算即可得到AC的长度。
【解析】
解：
∵ 点C在线段BD上
∴ DC = BD - BC
代入BC=4 cm，BD=7 cm，得：
DC = 7 - 4 = 3 cm
又
∵ D是AC的中点
∴ AC = 2DC = 2×3 = 6 cm
【答案】
6 cm
【知识点】
线段的和差计算；线段中点的定义
【点评】
本题是基础题型，重点考查线段和差运算及线段中点性质的应用，解题的核心是先求出DC的长度，再结合中点性质推导AC的长度，熟练掌握相关概念即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时先观察线段的位置关系：首先利用已知的BD和BC的长度，通过线段的和差关系求出DC的长度；再结合D是AC中点的性质，可知AC的长度为DC的2倍，代入数值计算即可得到AC的长度。
【解析】
解：
∵ 点C在线段BD上
∴ DC = BD - BC
代入BC=4 cm，BD=7 cm，得：
DC = 7 - 4 = 3 cm
又
∵ D是AC的中点
∴ AC = 2DC = 2×3 = 6 cm
【答案】
6 cm
【知识点】
线段的和差计算；线段中点的定义
【点评】
本题是基础题型，重点考查线段和差运算及线段中点性质的应用，解题的核心是先求出DC的长度，再结合中点性质推导AC的长度，熟练掌握相关概念即可快速解答。
【难度系数】
0.8
13. 计算(结果用度、分、秒表示)：
(1) $30.26° =$
(2) $18.26° =$
(3) $36°56' + 18°14' =$
(4) $108° - 56°23' =$
(5) $27°17' × 5 =$
(6) $15°18' ÷ 6 =$
(1) $30.26° =$
$30°15'36''$
；(2) $18.26° =$
$18°15'36''$
；(3) $36°56' + 18°14' =$
$55°10'$
；(4) $108° - 56°23' =$
$51°37'$
；(5) $27°17' × 5 =$
$136°25'$
；(6) $15°18' ÷ 6 =$
$2°33'$
。答案
13. (1) $30°15'36''$ (2) $18°15'36''$ (3) $55°10'$ (4) $51°37'$ (5) $136°25'$ (6) $2°33'$
解析
【分析】
解题前首先明确度、分、秒为60进制，换算规则为$1°=60'$，$1'=60''$，不同题型按对应方法处理：①小数形式的度转度分秒时，整数部分直接为度，小数部分乘60得到分，分的小数部分再乘60得到秒；②加减运算时同单位相加减，分、秒满60向高一级单位进1，不够减时向高一级单位借1当60；③乘法运算时度、分分别乘乘数，结果满60进1；④除法运算时度先除，余数转成分加原有分后再除，最终整理为规范的度分秒形式。
【解析】
(1) $30.26°$的整数部分为$30°$，小数部分$0.26°$换算：$0.26×60'=15.6'$，取$15'$，剩余$0.6'$换算：$0.6×60''=36''$，故$30.26°=30°15'36''$。
(2) $18.26°$的整数部分为$18°$，小数部分$0.26°$换算：$0.26×60'=15.6'$，取$15'$，剩余$0.6'$换算：$0.6×60''=36''$，故$18.26°=18°15'36''$。
(3) 同单位相加：$36°+18°=54°$，$56'+14'=70'$，$70'=1°10'$，合并得$54°+1°10'=55°10'$。
(4) 把$108°$转化为$107°60'$再减：$107°-56°=51°$，$60'-23'=37'$，故结果为$51°37'$。
(5) 分别相乘：$27°×5=135°$，$17'×5=85'$，$85'=1°25'$，合并得$135°+1°25'=136°25'$。
(6) 先算度：$15°÷6=2°$余$3°$，$3°=180'$，加原有$18'$得$198'$，$198'÷6=33'$，故结果为$2°33'$。
【答案】
(1) $30°15'36''$ (2) $18°15'36''$ (3) $55°10'$ (4) $51°37'$ (5) $136°25'$ (6) $2°33'$
【知识点】
1. 度分秒的换算 2. 度分秒的加减运算 3. 度分秒的乘除运算
【点评】
本题是角度运算的基础题型，核心考查度分秒的60进制规则，计算时注意“满60进1、借1当60”的原则即可，熟练掌握该类运算为后续角度相关问题的学习打下基础。
【难度系数】
0.8
解题前首先明确度、分、秒为60进制，换算规则为$1°=60'$，$1'=60''$，不同题型按对应方法处理：①小数形式的度转度分秒时，整数部分直接为度，小数部分乘60得到分，分的小数部分再乘60得到秒；②加减运算时同单位相加减，分、秒满60向高一级单位进1，不够减时向高一级单位借1当60；③乘法运算时度、分分别乘乘数，结果满60进1；④除法运算时度先除，余数转成分加原有分后再除，最终整理为规范的度分秒形式。
【解析】
(1) $30.26°$的整数部分为$30°$，小数部分$0.26°$换算：$0.26×60'=15.6'$，取$15'$，剩余$0.6'$换算：$0.6×60''=36''$，故$30.26°=30°15'36''$。
(2) $18.26°$的整数部分为$18°$，小数部分$0.26°$换算：$0.26×60'=15.6'$，取$15'$，剩余$0.6'$换算：$0.6×60''=36''$，故$18.26°=18°15'36''$。
(3) 同单位相加：$36°+18°=54°$，$56'+14'=70'$，$70'=1°10'$，合并得$54°+1°10'=55°10'$。
(4) 把$108°$转化为$107°60'$再减：$107°-56°=51°$，$60'-23'=37'$，故结果为$51°37'$。
(5) 分别相乘：$27°×5=135°$，$17'×5=85'$，$85'=1°25'$，合并得$135°+1°25'=136°25'$。
(6) 先算度：$15°÷6=2°$余$3°$，$3°=180'$，加原有$18'$得$198'$，$198'÷6=33'$，故结果为$2°33'$。
【答案】
(1) $30°15'36''$ (2) $18°15'36''$ (3) $55°10'$ (4) $51°37'$ (5) $136°25'$ (6) $2°33'$
【知识点】
1. 度分秒的换算 2. 度分秒的加减运算 3. 度分秒的乘除运算
【点评】
本题是角度运算的基础题型，核心考查度分秒的60进制规则，计算时注意“满60进1、借1当60”的原则即可，熟练掌握该类运算为后续角度相关问题的学习打下基础。
【难度系数】
0.8
14. 已知P是射线AB上一点，当$\frac{PA}{PB}=2$或$\frac{PA}{PB}=\frac{1}{2}$时，称点P是射线AB的强弱点，若AB=6，则PA=
2或4或12
。答案
14. 2或4或12
解析
【分析】
本题属于新定义类的线段计算问题，解题首先要明确两个核心条件：一是点P在射线AB上（射线AB端点为A，过B向外延伸，因此P的位置分为在线段AB上、在AB的延长线（B的右侧）两种）；二是强弱点满足$\frac{PA}{PB}=2$或$\frac{PA}{PB}=\frac{1}{2}$两种比例关系。我们需要分类讨论所有符合条件的P的位置，结合线段和差关系计算PA的长度，注意不要漏解。
【解析】
已知AB=6，P是射线AB上的点，分情况讨论：
情况1：当$\frac{PA}{PB}=2$时，即$PA=2PB$
① 若点P在线段AB上：
此时$PA+PB=AB=6$，将$PA=2PB$代入得：
$2PB+PB=6$，解得$PB=2$，因此$PA=2×2=4$
② 若点P在AB的延长线上（B的右侧）：
此时$PA-PB=AB=6$，将$PA=2PB$代入得：
$2PB-PB=6$，解得$PB=6$，因此$PA=2×6=12$
情况2：当$\frac{PA}{PB}=\frac{1}{2}$时，即$PB=2PA$
若点P在AB的延长线上，$PA=AB+PB＞PB$，不可能满足$PB=2PA$，因此P只能在线段AB上：
此时$PA+PB=AB=6$，将$PB=2PA$代入得：
$PA+2PA=6$，解得$PA=2$
综上，PA的长度为2或4或12。
【答案】
2或4或12
【知识点】
新定义问题，线段和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题的解题关键是准确理解“强弱点”的定义，结合射线的取值范围对P的位置进行分类讨论，避免因漏算P在AB延长线上的情况导致失分。
【难度系数】
0.6
本题属于新定义类的线段计算问题，解题首先要明确两个核心条件：一是点P在射线AB上（射线AB端点为A，过B向外延伸，因此P的位置分为在线段AB上、在AB的延长线（B的右侧）两种）；二是强弱点满足$\frac{PA}{PB}=2$或$\frac{PA}{PB}=\frac{1}{2}$两种比例关系。我们需要分类讨论所有符合条件的P的位置，结合线段和差关系计算PA的长度，注意不要漏解。
【解析】
已知AB=6，P是射线AB上的点，分情况讨论：
情况1：当$\frac{PA}{PB}=2$时，即$PA=2PB$
① 若点P在线段AB上：
此时$PA+PB=AB=6$，将$PA=2PB$代入得：
$2PB+PB=6$，解得$PB=2$，因此$PA=2×2=4$
② 若点P在AB的延长线上（B的右侧）：
此时$PA-PB=AB=6$，将$PA=2PB$代入得：
$2PB-PB=6$，解得$PB=6$，因此$PA=2×6=12$
情况2：当$\frac{PA}{PB}=\frac{1}{2}$时，即$PB=2PA$
若点P在AB的延长线上，$PA=AB+PB＞PB$，不可能满足$PB=2PA$，因此P只能在线段AB上：
此时$PA+PB=AB=6$，将$PB=2PA$代入得：
$PA+2PA=6$，解得$PA=2$
综上，PA的长度为2或4或12。
【答案】
2或4或12
【知识点】
新定义问题，线段和差计算，分类讨论思想
【点评】
本题的解题关键是准确理解“强弱点”的定义，结合射线的取值范围对P的位置进行分类讨论，避免因漏算P在AB延长线上的情况导致失分。
【难度系数】
0.6
15. 一个角与它的余角相等，则这个角是
$45°$
，它的补角是$135°$
。答案
15. $45°$ $135°$
解析
【分析】
首先回忆余角的定义：如果两个角的和为90°，那么这两个角互为余角。题目告知一个角和它的余角相等，我们可以设这个角的度数为x，那么它的余角就是90°-x，根据“两角相等”的等量关系列方程即可求出这个角的度数；之后再回忆补角的定义：如果两个角的和为180°，那么这两个角互为补角，用180°减去所求角的度数就能得到它的补角度数。
【解析】
解：设这个角的度数为x。
根据余角的定义，它的余角为$90° - x$。
由题意可列方程：
$x = 90° - x$
移项合并得：$2x = 90°$
解得：$x = 45°$
根据补角的定义，这个角的补角为：
$180° - 45° = 135°$
【答案】
$45°$；$135°$
【知识点】
余角的定义；补角的定义
【点评】
本题考查余角和补角的基础概念，解题核心是明确余角、补角与对应角的数量关系，属于基础题型，熟练掌握相关定义即可快速求解。
【难度系数】
0.9
首先回忆余角的定义：如果两个角的和为90°，那么这两个角互为余角。题目告知一个角和它的余角相等，我们可以设这个角的度数为x，那么它的余角就是90°-x，根据“两角相等”的等量关系列方程即可求出这个角的度数；之后再回忆补角的定义：如果两个角的和为180°，那么这两个角互为补角，用180°减去所求角的度数就能得到它的补角度数。
【解析】
解：设这个角的度数为x。
根据余角的定义，它的余角为$90° - x$。
由题意可列方程：
$x = 90° - x$
移项合并得：$2x = 90°$
解得：$x = 45°$
根据补角的定义，这个角的补角为：
$180° - 45° = 135°$
【答案】
$45°$；$135°$
【知识点】
余角的定义；补角的定义
【点评】
本题考查余角和补角的基础概念，解题核心是明确余角、补角与对应角的数量关系，属于基础题型，熟练掌握相关定义即可快速求解。
【难度系数】
0.9
