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12.已知二次函数$y=ax^2$的图象经过点$A(2,-8),B(3,m)$.
(1)求$a$与$m$的值；
(2)写出该图象上点$B$关于对称轴的对称点$C$的坐标；
(3)当$x$取何值时，$y$随$x$的增大而减小；
(4)当$x$取何值时，$y$有最大值(或最小值)，并写出最大值(或最小值).
(1)求$a$与$m$的值；
(2)写出该图象上点$B$关于对称轴的对称点$C$的坐标；
(3)当$x$取何值时，$y$随$x$的增大而减小；
(4)当$x$取何值时，$y$有最大值(或最小值)，并写出最大值(或最小值).
答案
12.【解】(1)$\because$点$A(2,-8)$在二次函数$y=ax^2$的图象上，
$\therefore -8=a×2^2$. 解得$a=-2$.
$\therefore$二次函数的解析式为$y=-2x^2$.
$\because$点$B(3,m)$在该函数的图象上，
$\therefore m=-2×3^2$. 解得$m=-18$.
(2)$\because$二次函数$y=-2x^2$图象的对称轴为$y$轴(即直线$x=0$)，
$\therefore$点$B(3,-18)$关于$y$轴的对称点$C$的坐标为$(-3,-18)$.
(3)$\because y=-2x^2$，这里$-2＜0$，对称轴为直线$x=0$，
$\therefore$抛物线开口向下，
$\therefore$当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小.
(4)$\because y=-2x^2$，顶点为$(0,0)$，
$\therefore$当$x=0$时，$y$有最大值，最大值为$0$.
$\therefore -8=a×2^2$. 解得$a=-2$.
$\therefore$二次函数的解析式为$y=-2x^2$.
$\because$点$B(3,m)$在该函数的图象上，
$\therefore m=-2×3^2$. 解得$m=-18$.
(2)$\because$二次函数$y=-2x^2$图象的对称轴为$y$轴(即直线$x=0$)，
$\therefore$点$B(3,-18)$关于$y$轴的对称点$C$的坐标为$(-3,-18)$.
(3)$\because y=-2x^2$，这里$-2＜0$，对称轴为直线$x=0$，
$\therefore$抛物线开口向下，
$\therefore$当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小.
(4)$\because y=-2x^2$，顶点为$(0,0)$，
$\therefore$当$x=0$时，$y$有最大值，最大值为$0$.
解析
【分析】
(1) 求未知系数a和m可利用待定系数法：将已知点A的坐标代入二次函数解析式$y=ax^2$，解方程即可求出a；得到完整的函数解析式后，再将点B的横坐标代入解析式，即可求出m的值。
(2) 二次函数$y=ax^2$的对称轴为y轴（直线$x=0$），关于y轴对称的点的坐标特征是横坐标互为相反数、纵坐标不变，结合点B的坐标即可求出对称点C的坐标。
(3) 二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定：先根据a的符号判断抛物线开口方向，再结合对称轴，就能确定y随x增大而减小的x的取值范围。
(4) 开口向下的抛物线顶点是图象的最高点，此时y取最大值，$y=ax^2$的顶点为原点，据此可求出最值及对应的x值。
【解析】
(1) $\because$点$A(2,-8)$在二次函数$y=ax^2$的图象上，
$\therefore -8=a×2^2$，解得$a=-2$，
$\therefore$二次函数的解析式为$y=-2x^2$，
$\because$点$B(3,m)$在该函数的图象上，
$\therefore m=-2×3^2$，解得$m=-18$。
(2) $\because$二次函数$y=-2x^2$图象的对称轴为y轴（即直线$x=0$），
$\therefore$点$B(3,-18)$关于y轴的对称点$C$的坐标为$(-3,-18)$。
(3) $\because y=-2x^2$中$a=-2＜0$，对称轴为直线$x=0$，
$\therefore$抛物线开口向下，
$\therefore$当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。
(4) $\because y=-2x^2$的顶点为$(0,0)$，抛物线开口向下，
$\therefore$当$x=0$时，$y$有最大值，最大值为$0$。
【答案】
(1) $a=-2$，$m=-18$；
(2) $C(-3,-18)$；
(3) $x＞0$；
(4) 当$x=0$时，$y$有最大值，最大值为$0$。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数$y=ax^2$的性质；关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题围绕二次函数$y=ax^2$的基础性质设题，覆盖了解析式求解、对称点坐标、增减性、最值等核心考点，属于基础类习题，熟练掌握$y=ax^2$的图象与性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
(1) 求未知系数a和m可利用待定系数法：将已知点A的坐标代入二次函数解析式$y=ax^2$，解方程即可求出a；得到完整的函数解析式后，再将点B的横坐标代入解析式，即可求出m的值。
(2) 二次函数$y=ax^2$的对称轴为y轴（直线$x=0$），关于y轴对称的点的坐标特征是横坐标互为相反数、纵坐标不变，结合点B的坐标即可求出对称点C的坐标。
(3) 二次函数的增减性由开口方向和对称轴共同决定：先根据a的符号判断抛物线开口方向，再结合对称轴，就能确定y随x增大而减小的x的取值范围。
(4) 开口向下的抛物线顶点是图象的最高点，此时y取最大值，$y=ax^2$的顶点为原点，据此可求出最值及对应的x值。
【解析】
(1) $\because$点$A(2,-8)$在二次函数$y=ax^2$的图象上，
$\therefore -8=a×2^2$，解得$a=-2$，
$\therefore$二次函数的解析式为$y=-2x^2$，
$\because$点$B(3,m)$在该函数的图象上，
$\therefore m=-2×3^2$，解得$m=-18$。
(2) $\because$二次函数$y=-2x^2$图象的对称轴为y轴（即直线$x=0$），
$\therefore$点$B(3,-18)$关于y轴的对称点$C$的坐标为$(-3,-18)$。
(3) $\because y=-2x^2$中$a=-2＜0$，对称轴为直线$x=0$，
$\therefore$抛物线开口向下，
$\therefore$当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小。
(4) $\because y=-2x^2$的顶点为$(0,0)$，抛物线开口向下，
$\therefore$当$x=0$时，$y$有最大值，最大值为$0$。
【答案】
(1) $a=-2$，$m=-18$；
(2) $C(-3,-18)$；
(3) $x＞0$；
(4) 当$x=0$时，$y$有最大值，最大值为$0$。
【知识点】
待定系数法求解析式；二次函数$y=ax^2$的性质；关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题围绕二次函数$y=ax^2$的基础性质设题，覆盖了解析式求解、对称点坐标、增减性、最值等核心考点，属于基础类习题，熟练掌握$y=ax^2$的图象与性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
1.已知点$(-1,y_1),(0,y_2),(3,y_3)$都在二次函数$y=x^2$的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系是(
A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_3＜y_1＜y_2$
C.$y_2＜y_1＜y_3$
D.$y_3＜y_2＜y_1$
C
).A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_3＜y_1＜y_2$
C.$y_2＜y_1＜y_3$
D.$y_3＜y_2＜y_1$
答案
1.C
解析
【分析】
这道题考查二次函数$y=x^2$的图象与性质，有两种常见解题思路：①直接代入法：将三个点的横坐标分别代入函数解析式，计算出对应的$y$值后直接比较大小；②性质判断法：二次函数$y=x^2$开口向上，对称轴为$y$轴（直线$x=0$），开口向上的二次函数中，点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大，计算三个点到对称轴的距离后比较即可。两种方法均符合九年级知识要求，计算难度低。
【解析】
方法一（代入求值法）：
分别将三个点的横坐标代入$y=x^2$计算函数值：
当$x=-1$时，$y_1=(-1)^2=1$；
当$x=0$时，$y_2=0^2=0$；
当$x=3$时，$y_3=3^2=9$；
因为$0＜1＜9$，所以$y_2＜y_1＜y_3$。
方法二（性质判断法）：
二次函数$y=x^2$的图象开口向上，对称轴为直线$x=0$，开口向上的二次函数中，点到对称轴的距离越远，函数值越大。
三个点到对称轴$x=0$的距离分别为：$|-1-0|=1$，$|0-0|=0$，$|3-0|=3$，
因为$0＜1＜3$，所以对应的函数值大小为$y_2＜y_1＜y_3$。
综上答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数$y=x^2$的性质 2.函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题方法灵活，既可以直接代入计算求解，也可以利用二次函数的图象特性快速判断，熟练掌握二次函数的基本性质就能轻松解题。
【难度系数】
0.9
这道题考查二次函数$y=x^2$的图象与性质，有两种常见解题思路：①直接代入法：将三个点的横坐标分别代入函数解析式，计算出对应的$y$值后直接比较大小；②性质判断法：二次函数$y=x^2$开口向上，对称轴为$y$轴（直线$x=0$），开口向上的二次函数中，点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越大，计算三个点到对称轴的距离后比较即可。两种方法均符合九年级知识要求，计算难度低。
【解析】
方法一（代入求值法）：
分别将三个点的横坐标代入$y=x^2$计算函数值：
当$x=-1$时，$y_1=(-1)^2=1$；
当$x=0$时，$y_2=0^2=0$；
当$x=3$时，$y_3=3^2=9$；
因为$0＜1＜9$，所以$y_2＜y_1＜y_3$。
方法二（性质判断法）：
二次函数$y=x^2$的图象开口向上，对称轴为直线$x=0$，开口向上的二次函数中，点到对称轴的距离越远，函数值越大。
三个点到对称轴$x=0$的距离分别为：$|-1-0|=1$，$|0-0|=0$，$|3-0|=3$，
因为$0＜1＜3$，所以对应的函数值大小为$y_2＜y_1＜y_3$。
综上答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数$y=x^2$的性质 2.函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，解题方法灵活，既可以直接代入计算求解，也可以利用二次函数的图象特性快速判断，熟练掌握二次函数的基本性质就能轻松解题。
【难度系数】
0.9
2.二次函数$y=ax^2$与一次函数$y=ax+a$在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是(
D
). 答案
2.D
解析
【分析】
解题时要抓住两个函数中参数a的取值是一致的这一核心，分两步判断：第一步先推导一次函数的恒过定点，排除不符合定点要求的选项；第二步分a＞0和a＜0两种情况，分别结合二次函数的开口方向、一次函数的斜率和截距特征，逐一排除矛盾选项，最终得到正确答案。
【解析】
1. 先分析一次函数的定点：将一次函数$y=ax+a$变形为$y=a(x+1)$，当$x=-1$时，$y=0$，因此一次函数图象恒过点$(-1,0)$。观察选项A，其中一次函数与x轴交点不是$(-1,0)$，直接排除A。
2. 分情况讨论参数a的正负：
若$a＞0$：二次函数$y=ax^2$的图象开口向上；一次函数$y=ax+a$的斜率为正，图象从左下向右上倾斜，且截距为正，与y轴交于正半轴。对照选项：B中一次函数斜率为负，与$a＞0$矛盾，排除B；D的图象符合上述特征。
若$a＜0$：二次函数$y=ax^2$的图象开口向下；一次函数$y=ax+a$的斜率为负，图象从左上向右下倾斜，且截距为负，与y轴交于负半轴。对照选项C，其中一次函数斜率为正，与$a＜0$矛盾，排除C。
综上，只有D选项的图象符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象性质，二次函数图象性质，含参函数图象判断
【点评】
本题是函数图象判断的典型题型，核心考查同一参数在不同函数中图象特征的一致性，掌握特殊点分析法和分类讨论法就能快速解题，是函数部分的常考基础题。
【难度系数】
0.7
解题时要抓住两个函数中参数a的取值是一致的这一核心，分两步判断：第一步先推导一次函数的恒过定点，排除不符合定点要求的选项；第二步分a＞0和a＜0两种情况，分别结合二次函数的开口方向、一次函数的斜率和截距特征，逐一排除矛盾选项，最终得到正确答案。
【解析】
1. 先分析一次函数的定点：将一次函数$y=ax+a$变形为$y=a(x+1)$，当$x=-1$时，$y=0$，因此一次函数图象恒过点$(-1,0)$。观察选项A，其中一次函数与x轴交点不是$(-1,0)$，直接排除A。
2. 分情况讨论参数a的正负：
若$a＞0$：二次函数$y=ax^2$的图象开口向上；一次函数$y=ax+a$的斜率为正，图象从左下向右上倾斜，且截距为正，与y轴交于正半轴。对照选项：B中一次函数斜率为负，与$a＞0$矛盾，排除B；D的图象符合上述特征。
若$a＜0$：二次函数$y=ax^2$的图象开口向下；一次函数$y=ax+a$的斜率为负，图象从左上向右下倾斜，且截距为负，与y轴交于负半轴。对照选项C，其中一次函数斜率为正，与$a＜0$矛盾，排除C。
综上，只有D选项的图象符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图象性质，二次函数图象性质，含参函数图象判断
【点评】
本题是函数图象判断的典型题型，核心考查同一参数在不同函数中图象特征的一致性，掌握特殊点分析法和分类讨论法就能快速解题，是函数部分的常考基础题。
【难度系数】
0.7
3.已知三个二次函数的图象如图所示，那么$a_1,a_2,a_3$的大小关系是
$a_2＞a_3＞a_1$
.(请用“＞”连接) 答案
3.$a_2＞a_3＞a_1$
解析
【分析】
解题时先回忆二次函数$y=ax^2$的图像性质：①$a$的符号决定开口方向：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；②$|a|$的大小决定开口宽窄：$|a|$越大，抛物线开口越窄。第一步先判断三个$a$的正负，确定最大值；第二步根据开口宽窄判断两个负数的绝对值大小，结合负数比较大小的规则，即可得到三者的大小关系。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$：
1. 判断$a$的符号：
$y=a_2x^2$开口向上，因此$a_2＞0$；
$y=a_1x^2$、$y=a_3x^2$开口向下，因此$a_1＜0$，$a_3＜0$，可得$a_2$大于$a_1$、$a_3$。
2. 比较$a_1$和$a_3$的大小：
抛物线开口越窄，$|a|$越大。观察图像可知，$y=a_1x^2$的开口比$y=a_3x^2$更窄，因此$|a_1|＞|a_3|$。
由于$a_1$、$a_3$均为负数，负数比较大小，绝对值越大数值越小，因此$a_3＞a_1$。
综上可得$a_2＞a_3＞a_1$。
【答案】
$a_2＞a_3＞a_1$
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；负数的大小比较
【点评】
本题考查二次函数$y=ax^2$中系数$a$对图象的影响，牢记$a$的符号决定开口方向、$|a|$决定开口宽窄是解题的核心，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆二次函数$y=ax^2$的图像性质：①$a$的符号决定开口方向：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下；②$|a|$的大小决定开口宽窄：$|a|$越大，抛物线开口越窄。第一步先判断三个$a$的正负，确定最大值；第二步根据开口宽窄判断两个负数的绝对值大小，结合负数比较大小的规则，即可得到三者的大小关系。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2$：
1. 判断$a$的符号：
$y=a_2x^2$开口向上，因此$a_2＞0$；
$y=a_1x^2$、$y=a_3x^2$开口向下，因此$a_1＜0$，$a_3＜0$，可得$a_2$大于$a_1$、$a_3$。
2. 比较$a_1$和$a_3$的大小：
抛物线开口越窄，$|a|$越大。观察图像可知，$y=a_1x^2$的开口比$y=a_3x^2$更窄，因此$|a_1|＞|a_3|$。
由于$a_1$、$a_3$均为负数，负数比较大小，绝对值越大数值越小，因此$a_3＞a_1$。
综上可得$a_2＞a_3＞a_1$。
【答案】
$a_2＞a_3＞a_1$
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；负数的大小比较
【点评】
本题考查二次函数$y=ax^2$中系数$a$对图象的影响，牢记$a$的符号决定开口方向、$|a|$决定开口宽窄是解题的核心，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.8
4.如图，抛物线$y=ax^2(a＞0)$的顶点为O，平行于x轴的直线与该抛物线交于点A，B（点A在点B左侧），当$△ AOB$为直角三角形时，$AB=4$，则a的值是
$\dfrac{1}{2}$
。答案
4.$\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
首先根据抛物线$y=ax^2$的性质可知其关于y轴对称，因此平行于x轴的直线与抛物线的交点A、B关于y轴对称，可得$OA=OB$，$△ AOB$为等腰三角形；结合$△ AOB$是直角三角形，可确定直角顶点为O，即$△ AOB$是等腰直角三角形。已知$AB=4$，利用等腰直角三角形的性质可求出点B的坐标，最后将点坐标代入抛物线解析式即可求出a的值。
【解析】
∵ 抛物线$y=ax^2$的对称轴为y轴，且AB平行于x轴，
∴ 点A、B关于y轴对称，即$OA=OB$，$△ AOB$为等腰三角形。
又
∵ $△ AOB$为直角三角形，
∴ 直角顶点为O，$△ AOB$是等腰直角三角形。
已知$AB=4$，则AB的一半为$4÷2=2$，即点B的横坐标为$2$，点A的横坐标为$-2$；
等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，因此AB到x轴的距离（即A、B的纵坐标）为$4÷2=2$，可得点B的坐标为$(2,2)$。
将$B(2,2)$代入$y=ax^2$得：
$2=a×2^2$
$4a=2$
解得$a=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
二次函数的对称性；等腰直角三角形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题将二次函数的图象性质与等腰直角三角形的性质结合考查，解题的核心是利用对称性和等腰直角三角形的特点确定抛物线上点的坐标，再代入解析式计算，难度不大，侧重对基础知识的综合运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
首先根据抛物线$y=ax^2$的性质可知其关于y轴对称，因此平行于x轴的直线与抛物线的交点A、B关于y轴对称，可得$OA=OB$，$△ AOB$为等腰三角形；结合$△ AOB$是直角三角形，可确定直角顶点为O，即$△ AOB$是等腰直角三角形。已知$AB=4$，利用等腰直角三角形的性质可求出点B的坐标，最后将点坐标代入抛物线解析式即可求出a的值。
【解析】
∵ 抛物线$y=ax^2$的对称轴为y轴，且AB平行于x轴，
∴ 点A、B关于y轴对称，即$OA=OB$，$△ AOB$为等腰三角形。
又
∵ $△ AOB$为直角三角形，
∴ 直角顶点为O，$△ AOB$是等腰直角三角形。
已知$AB=4$，则AB的一半为$4÷2=2$，即点B的横坐标为$2$，点A的横坐标为$-2$；
等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，因此AB到x轴的距离（即A、B的纵坐标）为$4÷2=2$，可得点B的坐标为$(2,2)$。
将$B(2,2)$代入$y=ax^2$得：
$2=a×2^2$
$4a=2$
解得$a=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
二次函数的对称性；等腰直角三角形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题将二次函数的图象性质与等腰直角三角形的性质结合考查，解题的核心是利用对称性和等腰直角三角形的特点确定抛物线上点的坐标，再代入解析式计算，难度不大，侧重对基础知识的综合运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
