5.已知二次函数$y=x^2$的图象与直线$y=ax+2$($a$为常数)的图象如图所示.
(1)判断$y=x^2$的图象的开口方向,并写出此抛物线的对称轴和顶点坐标;
(2)设直线$y=ax+2$与抛物线$y=x^2$的交点分别为$A(2,m),B(n,1)$,试确定$A,B$两点的坐标及$a$的值;
(3)连接$OA,OB$,求$△ AOB$的面积.

5.【解】(1)抛物线$y=x^2$的开口向上，对称轴为$y$轴，顶点坐标为$(0,0)$.
(2)把点$A(2,m)$代入$y=x^2$，得$m=4$.
$\therefore$点$A(2,4)$.
把点$B(n,1)$代入$y=x^2$，得$n^2=1$.
$\therefore n=\pm1$. 由点$B$在第二象限得$n＜0$，
$\therefore n=-1$. $\therefore$点$B(-1,1)$.
把点$A(2,4)$代入$y=ax+2$，得$2a+2=4$.
解得$a=1$.
(3)由(2)得$y=x+2$. 当$x=0$时，$y=2$.
$\therefore y=x+2$与$y$轴交点的坐标为$(0,2)$.
$\therefore △ AOB$的面积$=\dfrac{1}{2}×2×1+\dfrac{1}{2}×2×2=3$.

【分析】
(1) 二次函数$y=ax^2$的开口方向由二次项系数$a$的符号决定，$a＞0$时开口向上，$y=x^2$是最基础的二次函数，可直接根据性质得出对称轴和顶点坐标。
(2) 两个函数交点的坐标同时满足两个函数的解析式，先将A、B点分别代入抛物线解析式求出未知坐标，再结合图象判断B点横坐标的符号确定B点坐标，最后将A点代入一次函数解析式即可求出$a$的值。
(3) 求斜放的三角形面积可采用割补法：先找到直线与y轴的交点，将$△ AOB$拆分为两个共底的小三角形，以y轴上的线段为公共底，A、B两点横坐标的绝对值分别为两个小三角形的高，分别求面积再相加即可得到$△ AOB$的面积。
【解析】
(1) $\because$ 二次函数$y=x^2$的二次项系数为$1＞0$，$\therefore$ 抛物线$y=x^2$的开口向上，对称轴为$y$轴，顶点坐标为$(0,0)$。
(2) 把点$A(2,m)$代入$y=x^2$，得$m=2^2=4$，$\therefore$ 点$A$的坐标为$(2,4)$。
把点$B(n,1)$代入$y=x^2$，得$n^2=1$，解得$n=\pm1$，由图象可知点$B$在第二象限，横坐标小于0，$\therefore n=-1$，点$B$的坐标为$(-1,1)$。
把点$A(2,4)$代入$y=ax+2$，得$2a+2=4$，解得$a=1$。
(3) 由(2)得直线解析式为$y=x+2$，当$x=0$时，$y=2$，即直线$y=x+2$与$y$轴的交点坐标为$(0,2)$。
$\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2}×2×|-1|+\frac{1}{2}×2×2=1+2=3$。
【答案】
(1) 开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为$(0,0)$；
(2) $A(2,4)$，$B(-1,1)$，$a=1$；
(3) $△ AOB$的面积为3。
【知识点】
二次函数基本性质，函数交点坐标求解，割补法求面积
【点评】
本题是二次函数基础综合题，核心考查函数图象上的点与解析式的对应关系，求解面积时合理拆分图形可简化运算，是二次函数部分的常规基础考题。
【难度系数】
0.7