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1.(2024,山西,7)如图,已知$△ ABC$,以AB为直径的$\odot O$交BC于点D,与AC相切于点A,连接OD.若$∠ AOD=80°$,则$∠ C$的度数为(
A.$30°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$50°$
D
).A.$30°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$50°$
答案
1.D
解析
【分析】
解题思路如下：首先，根据切线的性质，由AC与⊙O相切于点A可得AC垂直于AB，即△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，因此要求∠C，只需要求出∠B的度数，再利用直角三角形两锐角互余计算即可。接下来，∠AOD是弧AD对应的圆心角，∠B是弧AD对应的圆周角，根据圆周角定理即可求出∠B的度数，最终算出∠C的大小。
【解析】
解：
∵AC是⊙O的切线，切点为A，AB为⊙O的直径，
∴AC⊥AB，即∠BAC=90°，
∴Rt△ABC中，∠B + ∠C = 90°。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∠AOD是弧AD所对的圆心角，∠B是弧AD所对的圆周角，
∴∠B = $\frac{1}{2}$∠AOD = $\frac{1}{2}$×80° = 40°，
∴∠C = 90° - ∠B = 90° - 40° = 50°。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础计算题，解题的关键是熟练掌握切线的性质和圆周角定理，找到角度之间的数量关系，结合直角三角形的性质求解即可。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先，根据切线的性质，由AC与⊙O相切于点A可得AC垂直于AB，即△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，因此要求∠C，只需要求出∠B的度数，再利用直角三角形两锐角互余计算即可。接下来，∠AOD是弧AD对应的圆心角，∠B是弧AD对应的圆周角，根据圆周角定理即可求出∠B的度数，最终算出∠C的大小。
【解析】
解：
∵AC是⊙O的切线，切点为A，AB为⊙O的直径，
∴AC⊥AB，即∠BAC=90°，
∴Rt△ABC中，∠B + ∠C = 90°。
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∠AOD是弧AD所对的圆心角，∠B是弧AD所对的圆周角，
∴∠B = $\frac{1}{2}$∠AOD = $\frac{1}{2}$×80° = 40°，
∴∠C = 90° - ∠B = 90° - 40° = 50°。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
切线的性质、圆周角定理、直角三角形的性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础计算题，解题的关键是熟练掌握切线的性质和圆周角定理，找到角度之间的数量关系，结合直角三角形的性质求解即可。
【难度系数】
0.8
2.如图，P是∠AOB的平分线OC上一点，OA与$\odot P$相切于点E，则直线OB与$\odot P$的位置关系是(
A.相交
B.相切
C.相离
D.不确定
B
).A.相交
B.相切
C.相离
D.不确定
答案
2.B
解析
【分析】
判断直线与圆的位置关系，核心是比较圆心到直线的距离与圆半径的大小。本题中，已知OA与⊙P相切，可得圆心P到OA的距离等于⊙P的半径；又因为P在∠AOB的角平分线OC上，根据角平分线的性质，可推出P到OB的距离与P到OA的距离相等，也就是等于⊙P的半径，即可判断OB与⊙P的位置关系。
【解析】
过点P作PF⊥OB于点F，连接PE。
∵OA与⊙P相切于点E，
∴PE⊥OA，且PE为⊙P的半径。
∵OC平分∠AOB，P在OC上，PF⊥OB，PE⊥OA，
∴由角平分线的性质可得：PF=PE，即圆心P到直线OB的距离等于⊙P的半径。
∴直线OB与⊙P相切。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质、切线的性质、直线与圆位置关系判定
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是明确判断直线与圆位置关系的核心方法，结合角平分线的性质即可快速得到结论，需要熟练掌握相关性质的应用。
【难度系数】
0.8
判断直线与圆的位置关系，核心是比较圆心到直线的距离与圆半径的大小。本题中，已知OA与⊙P相切，可得圆心P到OA的距离等于⊙P的半径；又因为P在∠AOB的角平分线OC上，根据角平分线的性质，可推出P到OB的距离与P到OA的距离相等，也就是等于⊙P的半径，即可判断OB与⊙P的位置关系。
【解析】
过点P作PF⊥OB于点F，连接PE。
∵OA与⊙P相切于点E，
∴PE⊥OA，且PE为⊙P的半径。
∵OC平分∠AOB，P在OC上，PF⊥OB，PE⊥OA，
∴由角平分线的性质可得：PF=PE，即圆心P到直线OB的距离等于⊙P的半径。
∴直线OB与⊙P相切。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质、切线的性质、直线与圆位置关系判定
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是明确判断直线与圆位置关系的核心方法，结合角平分线的性质即可快速得到结论，需要熟练掌握相关性质的应用。
【难度系数】
0.8
3.如图，AB是$\odot O$的切线，A为切点，连接OA，点C在$\odot O$上，$OC⊥ OA$，连接BC并延长，交$\odot O$于点D，连接OD，若$∠ B＝65°$，则$∠ DOC$的度数为(
A.$45°$
B.$50°$
C.$65°$
D.$75°$
B
)。A.$45°$
B.$50°$
C.$65°$
D.$75°$
答案
3.B
解析
【分析】
解题时先从切线的性质入手：切线与过切点的半径垂直，可得OA⊥AB，结合已知OC⊥OA，可推出AB与OC平行，利用平行线的同位角相等得到∠OCD的度数。再根据同圆的半径相等，可知△OCD是等腰三角形，两个底角相等，最后用三角形内角和即可算出∠DOC的度数。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的切线，A为切点，
∴$OA⊥AB$，即$∠ OAB=90°$，
又
∵$OC⊥OA$，
∴$∠ AOC=90°$，
∴$∠ OAB + ∠ AOC = 180°$，
∴$AB// OC$（同旁内角互补，两直线平行），
∴$∠ OCD = ∠ B=65°$（两直线平行，同位角相等），
∵OC、OD都是$\odot O$的半径，
∴$OC=OD$，
∴$∠ ODC=∠ OCD=65°$，
在$△ OCD$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ DOC = 180° - ∠ OCD - ∠ ODC = 180° - 65° - 65° = 50°$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；平行线的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查了圆的切线性质、平行线的判定和性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是利用垂直关系推出平行线，得到角的等量关系，再结合等腰三角形性质求解，属于基础常考题。
【难度系数】
0.7
解题时先从切线的性质入手：切线与过切点的半径垂直，可得OA⊥AB，结合已知OC⊥OA，可推出AB与OC平行，利用平行线的同位角相等得到∠OCD的度数。再根据同圆的半径相等，可知△OCD是等腰三角形，两个底角相等，最后用三角形内角和即可算出∠DOC的度数。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的切线，A为切点，
∴$OA⊥AB$，即$∠ OAB=90°$，
又
∵$OC⊥OA$，
∴$∠ AOC=90°$，
∴$∠ OAB + ∠ AOC = 180°$，
∴$AB// OC$（同旁内角互补，两直线平行），
∴$∠ OCD = ∠ B=65°$（两直线平行，同位角相等），
∵OC、OD都是$\odot O$的半径，
∴$OC=OD$，
∴$∠ ODC=∠ OCD=65°$，
在$△ OCD$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ DOC = 180° - ∠ OCD - ∠ ODC = 180° - 65° - 65° = 50°$。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质；平行线的判定与性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查了圆的切线性质、平行线的判定和性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是利用垂直关系推出平行线，得到角的等量关系，再结合等腰三角形性质求解，属于基础常考题。
【难度系数】
0.7
4.如图，AC是$\odot O$的切线，B为切点，连接OA，OC.若$∠ A=30°$，OA=4，BC=3，则OC的长为(
A.$2\sqrt{3}$
B.5
C.$\sqrt{13}$
D.6
C
).A.$2\sqrt{3}$
B.5
C.$\sqrt{13}$
D.6
答案
4.C
解析
【分析】
解题时首先观察题干条件，AC是圆O的切线、B为切点，首先回忆切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此可得到OB⊥AC，构造出两个直角三角形。第一步先在Rt△OAB中，利用30°角直角三角形的特殊性质求出半径OB的长度；第二步OB也是Rt△OBC的直角边，结合已知的BC长度，用勾股定理即可求出OC的长。
【解析】
解：连接OB，
∵AC是$\odot O$的切线，B为切点，
∴$OB⊥ AC$，即$∠ OBC=∠ OBA=90°$，
在$Rt△ OAB$中，$∠ A=30°$，$OA=4$，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$OB=\frac{1}{2}OA=2$，
在$Rt△ OBC$中，$OB=2$，$BC=3$，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；30°直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础综合类题目，解题核心是利用切线的性质构造直角三角形，再结合特殊直角三角形的性质和勾股定理逐步计算，是圆相关知识点的常规考查题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察题干条件，AC是圆O的切线、B为切点，首先回忆切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，因此可得到OB⊥AC，构造出两个直角三角形。第一步先在Rt△OAB中，利用30°角直角三角形的特殊性质求出半径OB的长度；第二步OB也是Rt△OBC的直角边，结合已知的BC长度，用勾股定理即可求出OC的长。
【解析】
解：连接OB，
∵AC是$\odot O$的切线，B为切点，
∴$OB⊥ AC$，即$∠ OBC=∠ OBA=90°$，
在$Rt△ OAB$中，$∠ A=30°$，$OA=4$，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得$OB=\frac{1}{2}OA=2$，
在$Rt△ OBC$中，$OB=2$，$BC=3$，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OB^2+BC^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$。
【答案】
C
【知识点】
切线的性质；30°直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础综合类题目，解题核心是利用切线的性质构造直角三角形，再结合特殊直角三角形的性质和勾股定理逐步计算，是圆相关知识点的常规考查题型。
【难度系数】
0.7
5.如图①，$\odot O$的半径为3，A为$\odot O$上一点.如图②所示，按以下步骤作图：
①连接OA；
②以点A为圆心，3为半径作弧，交$\odot O$于点B；
③在射线OB上截取$BC=OB$；
④连接AC.则下列说法中不正确的是(
A.$AC=6$
B.AC为$\odot O$的切线
C.$∠ AOB=60°$
D.$∠ ACO=30°$
①连接OA；
②以点A为圆心，3为半径作弧，交$\odot O$于点B；
③在射线OB上截取$BC=OB$；
④连接AC.则下列说法中不正确的是(
A
).A.$AC=6$
B.AC为$\odot O$的切线
C.$∠ AOB=60°$
D.$∠ ACO=30°$
答案
5.A
解析
【分析】
解题时先根据作图步骤确定已知线段的长度关系：首先⊙O半径为3，可得OA=OB=3；再由作图步骤②可知AB=3，因此可判断△OAB为等边三角形，得到∠AOB的度数；结合BC=OB可知AB是△OAC的中线，且AB等于OC的一半，利用直角三角形的判定推出∠OAC=90°，进而判断AC是否为切线，再通过直角三角形的性质计算AC长度和∠ACO的度数，逐一验证选项即可。
【解析】
解：
∵⊙O的半径为3，
∴OA=OB=3，
由作图步骤②可知AB=OA=3，
∴OA=OB=AB=3，即△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，故C选项说法正确，不符合题意；
由步骤③可知BC=OB=3，
∴OC=OB+BC=6，
∵B是OC的中点，且AB=3=½OC，
∴△OAC是直角三角形，且∠OAC=90°，
∴OA⊥AC，又OA是⊙O的半径，
∴AC为⊙O的切线，故B选项说法正确，不符合题意；
在Rt△OAC中，∠AOC=60°，∠OAC=90°，
∴∠ACO=90°-60°=30°，故D选项说法正确，不符合题意；
由勾股定理得$AC=\sqrt{OC^2-OA^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}≠6$，故A选项说法错误，符合题意。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
等边三角形的判定与性质；切线的判定；直角三角形的性质
【点评】
本题结合尺规作图考查圆与特殊三角形的相关性质，解题关键是从作图步骤中挖掘线段的等量关系，结合特殊三角形的性质逐一判断选项，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时先根据作图步骤确定已知线段的长度关系：首先⊙O半径为3，可得OA=OB=3；再由作图步骤②可知AB=3，因此可判断△OAB为等边三角形，得到∠AOB的度数；结合BC=OB可知AB是△OAC的中线，且AB等于OC的一半，利用直角三角形的判定推出∠OAC=90°，进而判断AC是否为切线，再通过直角三角形的性质计算AC长度和∠ACO的度数，逐一验证选项即可。
【解析】
解：
∵⊙O的半径为3，
∴OA=OB=3，
由作图步骤②可知AB=OA=3，
∴OA=OB=AB=3，即△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，故C选项说法正确，不符合题意；
由步骤③可知BC=OB=3，
∴OC=OB+BC=6，
∵B是OC的中点，且AB=3=½OC，
∴△OAC是直角三角形，且∠OAC=90°，
∴OA⊥AC，又OA是⊙O的半径，
∴AC为⊙O的切线，故B选项说法正确，不符合题意；
在Rt△OAC中，∠AOC=60°，∠OAC=90°，
∴∠ACO=90°-60°=30°，故D选项说法正确，不符合题意；
由勾股定理得$AC=\sqrt{OC^2-OA^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}≠6$，故A选项说法错误，符合题意。
综上，本题选A。
【答案】
A
【知识点】
等边三角形的判定与性质；切线的判定；直角三角形的性质
【点评】
本题结合尺规作图考查圆与特殊三角形的相关性质，解题关键是从作图步骤中挖掘线段的等量关系，结合特殊三角形的性质逐一判断选项，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
