12.如图,海中有一个小岛A,它周围8海里内有暗礁.渔船跟踪鱼群由西向东航行,在点B测得小岛A在北偏东$60°$方向上,航行10海里到达点C,这时测得小岛A在北偏东$30°$方向上.如果渔船不改变航线继续向东航行,是否有触礁的危险?请说明理由.

解:没有触礁的危险. 理由如下:
如图,过点 A 作 $AD⊥BC$ 于点 D,
$\therefore ∠ADC=90°.$
由题意,得 $∠MBA=60°$,
$∠NCA=30°,∠MBC=∠NCD=90°.$
$\therefore ∠ABC=30°,∠ACD=60°.$
$\therefore ∠CAB=∠ACD-∠ABC=30°.$
$\therefore ∠ABC=∠CAB.$
$\therefore BC=AC=10$ 海里.
$\because ∠ADC=90°,∠ACD=60°,$
$\therefore ∠DAC=90°-∠ACD=30°.$
$\therefore CD=\frac{1}{2}AC=5$ 海里.
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△CAD$ 中, $AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}$(海里).
$\because 5\sqrt{3}＞8,$
$\therefore$ 渔船不改变航线继续向东航行,没有触礁的危险.

【分析】
要判断渔船是否有触礁危险，需计算小岛A到航线BC的最短距离（即点A到BC的垂线段长度），再与8海里比较即可。首先根据方位角的性质求出△ABC的内角度数，可得∠ABC=∠CAB，推出AC=BC=10海里；再构造直角三角形，利用直角三角形的性质和勾股定理求出垂线段的长度，最后比较大小得出结论。
【解析】
解：过点A作$AD⊥BC$于点D，
$\therefore ∠ADC=90°$。
由题意，得 $∠MBA=60°$，$∠NCA=30°$，$∠MBC=∠NCD=90°$，
$\therefore ∠ABC=90°-60°=30°$，$∠ACD=90°-30°=60°$，
$\therefore ∠CAB=∠ACD-∠ABC=60°-30°=30°$，
$\therefore ∠ABC=∠CAB$，
$\therefore BC=AC=10$ 海里。
$\because ∠ADC=90°,∠ACD=60°,$
$\therefore ∠DAC=90°-∠ACD=30°,$
$\therefore CD=\frac{1}{2}AC=5$ 海里，
在 $\mathrm{Rt}△CAD$ 中，由勾股定理得：
$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}$（海里）。
$\because 5\sqrt{3}\approx8.66＞8,$
$\therefore$ 渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险。
【答案】

没有触礁的危险。
【知识点】
方位角的应用、等腰三角形的判定、勾股定理的应用
【点评】
本题是典型的解直角三角形实际应用题，解题核心是将实际问题转化为几何线段长度计算问题，通过作辅助线构造直角三角形，结合角度关系推导边的等量关系，考查了学生的数学建模和运算能力。
【难度系数】
0.6

1.已知$\odot O$的半径为3 cm，点A在直线$l$上，$OA=3$ cm，则直线$l$与$\odot O$的位置关系为().

A.相交
B.相切
C.相交或相切
D.相交或相离

C

【分析】
要判断直线l与⊙O的位置关系，需先明确判定依据：比较圆心O到直线l的距离d和圆半径r的大小关系。已知r=3cm，OA=3cm且点A在直线l上，需分两种情况讨论OA与直线l的位置关系：第一种是OA垂直于直线l，第二种是OA不垂直于直线l，结合垂线段最短的性质分别推导d和r的大小关系，即可得出结论。
【解析】
设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线与圆的位置关系判定规则为：
①若d＜r，直线与圆相交；②若d=r，直线与圆相切；③若d＞r，直线与圆相离。
由题意得r=3cm，OA=3cm，且点A在直线l上，分两种情况讨论：
1. 当OA⊥l时，O到直线l的距离d=OA=3cm=r，此时直线l与⊙O相切；
2. 当OA与l不垂直时，根据“垂线段最短”可知，O到直线l的距离d＜OA=3cm，即d＜r，此时直线l与⊙O相交。
综上，直线l与⊙O的位置关系为相交或相切，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 直线与圆的位置关系判定
2. 垂线段的性质
【点评】
本题是易错题，核心考查分类讨论思想，解题时需注意：只有圆心到直线的垂线段长度才是圆心到直线的距离，题干仅说明点A在直线l上，未说明OA与直线l垂直，因此要对OA和直线l的位置关系分类讨论，避免漏选。
【难度系数】
0.6

2.如图,两个同心圆,大圆的半径为5,小圆的半径为3,若大圆的弦AB与小圆有公共点,则弦AB的取值范围是().

A.$8≤ AB≤10$
B.$8＜ AB≤10$
C.$4≤ AB≤5$
D.$4＜ AB≤5$

A

【分析】
要确定弦AB的取值范围，需先找到AB的两个临界值：①大圆中最长的弦是直径，可得AB的最大值；②当AB与小圆相切时，AB为满足“与小圆有公共点”的最短弦，此时结合垂径定理、勾股定理可算出AB的最小值，最终确定AB的取值范围即可。
【解析】
①求AB的最大值：大圆中最长的弦为直径，已知大圆半径为5，故AB的最大值为$2×5=10$；
②求AB的最小值：当弦AB与小圆相切时，AB与小圆有1个公共点，是满足条件的最短弦。过圆心O作$OC⊥ AB$于点C，连接OA，根据切线的性质可知OC等于小圆半径3。
在$Rt△ OAC$中，$OA=5$，$OC=3$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{OA^2-OC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$
根据垂径定理，$AB=2AC=8$。
因为弦AB与小圆有公共点，所以AB的取值范围是$8≤ AB≤10$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，勾股定理，直线与圆的位置关系
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题的关键是明确弦长的两个临界情况：与小圆相切时取得最小弦长，为大圆直径时取得最大弦长，需要注意“有公共点”包含相切的情况，不要漏了等号。
【难度系数】
0.7

3.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ B=30°$,$AC=3$,$\odot O$的半径$r=2$,圆心$O$在边$AB$上,从点$A$向点$B$运动(当圆心$O$与点$B$重合时停止运动),$BO=m$.(1)当$\odot O$与直线$BC$相切时,$m=\_\_\_\_\_\_$;(2)当$\odot O$与直线$BC$相交时,$m$的取值范围是________;(3)当$\odot O$与直线$BC$相离时,$m$的取值范围是________.

(1)4 (2)$0≤m＜4$ (3)$4＜m≤6$

【分析】
要解决本题，首先需明确直线与圆的位置关系判定规则：圆心到直线的距离d等于半径r时相切，d小于r时相交，d大于r时相离。第一步先根据Rt△ABC的已知角度和边长求出AB的总长度，再构造圆心O到BC的垂线段，利用含30°角的直角三角形的性质，将O到BC的距离用m表示，最后分别对应三种位置关系列等式或不等式，结合O在AB上的运动范围（0≤m≤6）求解即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，$AC=3$，根据30°角所对直角边等于斜边的一半，可得$AB=2AC=6$。
过点O作$OH⊥ BC$于点H，则OH为圆心O到直线BC的距离d。
在$\mathrm{Rt}△ OHB$中，$∠ B=30°$，$BO=m$，因此$OH=\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}m$，已知$\odot O$半径$r=2$。
(1) 当$\odot O$与直线$BC$相切时，满足$d=r$，即$\frac{1}{2}m=2$，解得$m=4$。
(2) 当$\odot O$与直线$BC$相交时，满足$d＜r$，即$\frac{1}{2}m＜2$，解得$m＜4$，结合O在AB上运动，m的最小值为0（O与B重合时），因此取值范围是$0≤m＜4$。
(3) 当$\odot O$与直线$BC$相离时，满足$d＞r$，即$\frac{1}{2}m＞2$，解得$m＞4$，结合m的最大值为6（O与A重合时），因此取值范围是$4＜m≤6$。
【答案】
(1)4 (2)$0≤m＜4$ (3)$4＜m≤6$
【知识点】
直线与圆的位置关系、含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题将动点问题与直线和圆的位置关系相结合，解题核心是把位置关系转化为圆心到直线的距离和半径的大小比较，求解时要注意结合动点的实际运动范围，避免取值范围超出边界。
【难度系数】
0.7

4.如图,在平面直角坐标系中,P是直线$y=2x-1$上一动点,以2为半径作$\odot P$,当$\odot P$与x轴相切时,圆心P的坐标为.

$(\frac{3}{2},2)$或$(-\frac{1}{2},-2)$

【分析】
解题时首先回忆直线与圆相切的性质：圆和直线相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径。本题中⊙P与x轴相切、半径为2，因此圆心P到x轴的距离为2，即P点纵坐标的绝对值是2，可得y=2或y=-2；再结合点P在直线y=2x-1上，将y的两个取值分别代入一次函数解析式，即可求出对应的x值，得到P点坐标，注意不要遗漏纵坐标为负的情况。
【解析】
解：
∵⊙P与x轴相切，且⊙P的半径为2，
∴圆心P到x轴的距离等于半径2，即点P纵坐标的绝对值为2，
∴$y=2$或$y=-2$。
①当$y=2$时，将$y=2$代入$y=2x-1$，得：
$2=2x-1$
解得$x=\frac{3}{2}$，此时P点坐标为$(\frac{3}{2},2)$；
②当$y=-2$时，将$y=-2$代入$y=2x-1$，得：
$-2=2x-1$
解得$x=-\frac{1}{2}$，此时P点坐标为$(-\frac{1}{2},-2)$。
综上，圆心P的坐标为$(\frac{3}{2},2)$或$(-\frac{1}{2},-2)$。
【答案】
$(\frac{3}{2},2)$或$(-\frac{1}{2},-2)$
【知识点】
直线与圆相切的性质，一次函数图象上点的坐标特征，点到坐标轴的距离
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题，解题核心是利用圆和x轴相切的性质确定圆心纵坐标的取值，再结合一次函数解析式求解，解题时需注意考虑纵坐标正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7

5.如图,公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇,$∠ NPQ=30°$,点A 处有一所中学,$AP=240$ m,若拖拉机行驶时,周围150 m 内会受到噪声影响,那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时,学校是否会受到影响?如果受到影响,已知拖拉机的速度是6 m/s,求学校受到噪声影响的时间.

解:如图,过点 A 作 $AH⊥PN$,垂足为 H.
在 $\mathrm{Rt}△APH$ 中,
$AP=240\ \mathrm{m},∠APH=30°,$
$\therefore AH=\frac{1}{2}AP=120\ \mathrm{m}.$
$\therefore$ 以点 A 为圆心,150 m 为半径作$\odot A$,则$\odot A$与直线 MN 相交.
设交点为 C 和 D,连接 AC,AD,
则拖拉机在点 C 和 D 之间行驶时,学校会受到噪声的影响.
在 $\mathrm{Rt}△ACH$ 中,$CH=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{150^2-120^2}=90(\mathrm{m}).$
$\because AC=AD,AH⊥PN,$
$\therefore CD=2CH=2×90=180(\mathrm{m}).$
$\therefore$ 学校受到噪声影响的时间为 $\frac{180}{6}=30(\mathrm{s}).$

【分析】
要判断学校是否受噪声影响，需比较点A到公路MN的最短距离与噪声影响半径150m的大小：若最短距离≤150m则会受影响，反之不受。首先过点A作MN的垂线AH，利用含30°角的直角三角形性质求出AH的长度，判断是否受影响。若受影响，以A为圆心150m为半径作圆，圆与MN的两个交点之间的路段就是受影响范围，再利用垂径定理和勾股定理求出该路段长度，最后用路程除以拖拉机速度即可得到受影响的时间。
【解析】
解：过点A作$AH⊥PN$，垂足为H。
在$\mathrm{Rt}△APH$中，$AP=240\ \mathrm{m}$，$∠APH=30°$，
$\therefore AH=\frac{1}{2}AP=120\ \mathrm{m}$。
$\because 120\ \mathrm{m}＜150\ \mathrm{m}$，$\therefore$学校会受到噪声影响。
以点A为圆心，150 m为半径作$\odot A$，则$\odot A$与直线MN相交，设交点为C和D，连接AC、AD，拖拉机在C、D之间行驶时，学校会受到噪声的影响。
在$\mathrm{Rt}△ACH$中，$CH=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{150^2-120^2}=90(\mathrm{m})$。
$\because AC=AD$，$AH⊥PN$，
$\therefore CD=2CH=2×90=180(\mathrm{m})$。
$\therefore$学校受到噪声影响的时间为$\frac{180}{6}=30(\mathrm{s})$。
【答案】

学校会受到噪声影响，受影响的时间为30s。
【知识点】
直角三角形的性质、垂径定理、直线与圆的位置关系
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题关键是将实际问题转化为几何模型，通过作辅助线构造直角三角形，结合勾股定理和垂径定理求解，能够锻炼学生的知识迁移和实际应用能力。
【难度系数】
0.7