1.直线$ l $上有三个点$ A,B,C $,若$ AB=10,BC=4 $,点$ E,F $分别是线段$ AB,BC $的中点,求线段$ EF $的长.

因为点 E,F 分别是线段 AB,BC 的中点,所以 $BE=\frac{1}{2}AB$,$BF=\frac{1}{2}BC$. 第一种:当点 C 在点 B 的右侧时,如,$EF = BE + BF$,所以 $EF = \frac{1}{2} AB + \frac{1}{2} BC =\frac{1}{2}(AB+BC)=\frac{1}{2}×(10+4)=7$;
第二种:当点 C 在点 B 的左侧时,如,$EF=BE-BF$,所以 $EF=\frac{1}{2}AB-\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AB-BC)=\frac{1}{2}×(10-4)=3$. 综上所述,$EF=7$ 或 3.

2.(大同期末)如图,点M、点C在线段AB上, M是线段AB的中点,$AC=2BC$.若$AB=12$,则$MC$的长是多少?

设 $BC=x$,则 $AC=2BC=2x$,所以 $AB=AC+BC=2x+x=3x$. 因为 $AB=12$,所以 $3x=12$,所以 $x=4$. 所以 $BC=4$. 因为点 $M$ 为 $AB$ 的中点,所以 $AM=MB=\frac{1}{2}AB=6$,所以 $MC=MB-BC=6-4=2$.

3.如图,点B,D在线段AC上,$BD=\frac{1}{3}AB$,$AB=\frac{3}{4}CD$,线段AB,CD的中点E,F之间的距离是20,求线段AC的长.

设 $BD=x$,则 $AB=3x$,$CD=4x$. 因为线段 AB,CD 的中点分别是 E,F,所以 $BE=\frac{1}{2}AB=1.5x$,$CF=DF=\frac{1}{2}CD=2x$. 因为 $EF=BE+BF=BE+(DF-BD)$,又因为 $EF=20$,所以 $1.5x+2x-x=20$,解得 $x=8$,所以 $AC=AE+EF+CF=1.5x+20+2x=12+20+16=48$. 即线段 AC 的长为 48.

4. 如图,已知点 C 在线段 AB 上,点 M,N 分别是AC,BC的中点.

(1)若$AC=10$,$BC=4$,求线段$MN$的长;
(2)若点 C 为线段 AB 上任意一点,且满足$AC+BC=a$,请直接写出线段$MN$的长;
(3)若点 C 为线段 AB 延长线上任意一点,且满足$AC-BC=b$,求线段$MN$的长.

(1)因为 M、N 分别是 AC、BC 的中点,所以 $MC=\frac{1}{2}AC$,$CN=\frac{1}{2}CB$,所以 $MN=MC+CN=\frac{1}{2}(AC+CB)=\frac{1}{2}(10+4)=7$.
(2)$MN=\frac{1}{2}a$.
(3)因为 M、N 分别是 AC、BC 的中点,所以 $MC=\frac{1}{2}AC$,$NC=\frac{1}{2}BC$,所以 $MN=MC-NC=\frac{1}{2}(AC-BC)=\frac{1}{2}b$.