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例1 如图,已知反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$ 的图象经过第二象限的点$A(-2,m)$,$AB⊥x$轴,垂足为$B$,$△AOB$的面积为3.
(1)求$k,m$的值;
(2)若另一点$C(n,-\frac{3}{2})$也在此反比例函数的图象上,求$n$的值.
【思路导析】点$A(-2,m)$在$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象上,则其坐标适合该函数解析式.点$B$的横坐标与$OB$的长度(在数量上)互为相反数.
【请你解答】
(1)求$k,m$的值;
(2)若另一点$C(n,-\frac{3}{2})$也在此反比例函数的图象上,求$n$的值.
【思路导析】点$A(-2,m)$在$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象上,则其坐标适合该函数解析式.点$B$的横坐标与$OB$的长度(在数量上)互为相反数.
【请你解答】
答案
解：
(1) 因为$AB ⊥ x$轴，点$A$的坐标为$(-2, m)$，
所以点$B$的坐标为$(-2, 0)$，可得$OB=2$，$AB=m$。
由$S_{△ AOB}=3$，得：
$\frac{1}{2} · OB · AB = \frac{1}{2} × 2 × m = 3$
解得$m=3$，即点$A$的坐标为$(-2, 3)$。
将$A(-2, 3)$代入$y=\frac{k}{x}$，得：
$3 = \frac{k}{-2}$
解得$k=-6$。
(2) 由(1)得反比例函数解析式为$y=-\frac{6}{x}$。
将点$C(n, -\frac{3}{2})$代入解析式，得：
$-\frac{3}{2} = \frac{-6}{n}$
解得$n=4$。
综上，(1) $k=-6$，$m=3$；(2) $n=4$。
(1) 因为$AB ⊥ x$轴，点$A$的坐标为$(-2, m)$，
所以点$B$的坐标为$(-2, 0)$，可得$OB=2$，$AB=m$。
由$S_{△ AOB}=3$，得：
$\frac{1}{2} · OB · AB = \frac{1}{2} × 2 × m = 3$
解得$m=3$，即点$A$的坐标为$(-2, 3)$。
将$A(-2, 3)$代入$y=\frac{k}{x}$，得：
$3 = \frac{k}{-2}$
解得$k=-6$。
(2) 由(1)得反比例函数解析式为$y=-\frac{6}{x}$。
将点$C(n, -\frac{3}{2})$代入解析式，得：
$-\frac{3}{2} = \frac{-6}{n}$
解得$n=4$。
综上，(1) $k=-6$，$m=3$；(2) $n=4$。
解析
【分析】
本题分两小问，解题思路清晰：
(1) 先根据AB垂直x轴和点A的坐标，确定线段OB、AB的长度，再结合△AOB的面积公式求出m的值，得到点A的完整坐标；之后将点A坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值，解题时注意第二象限内点的纵坐标为正，避免符号出错。
(2) 先由(1)的结果得到完整的反比例函数解析式，再将点C的坐标代入解析式，通过解方程即可求出n的值。
【解析】
(1) 因为$AB ⊥ x$轴，点$A$的坐标为$(-2, m)$，
所以点$B$的坐标为$(-2, 0)$，可得$OB=2$，$AB=m$。
由$S_{△ AOB}=3$，得：
$\frac{1}{2} · OB · AB = \frac{1}{2} × 2 × m = 3$
解得$m=3$，即点$A$的坐标为$(-2, 3)$。
将$A(-2, 3)$代入$y=\frac{k}{x}$，得：
$3 = \frac{k}{-2}$
解得$k=-6$。
(2) 由(1)得反比例函数解析式为$y=-\frac{6}{x}$。
将点$C(n, -\frac{3}{2})$代入解析式，得：
$-\frac{3}{2} = \frac{-6}{n}$
解得$n=4$。
【答案】
(1) $k=-6$，$m=3$；(2) $n=4$
【知识点】
反比例函数的性质，待定系数法，三角形面积公式
【点评】
本题是反比例函数的基础常规题，结合了几何面积计算与函数点坐标的特征，解题核心是明确反比例函数图象上任意点的坐标都满足函数解析式，同时要注意区分坐标的符号和线段长度的差异，避免计算时出现符号错误。
【难度系数】
0.8
本题分两小问，解题思路清晰：
(1) 先根据AB垂直x轴和点A的坐标，确定线段OB、AB的长度，再结合△AOB的面积公式求出m的值，得到点A的完整坐标；之后将点A坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值，解题时注意第二象限内点的纵坐标为正，避免符号出错。
(2) 先由(1)的结果得到完整的反比例函数解析式，再将点C的坐标代入解析式，通过解方程即可求出n的值。
【解析】
(1) 因为$AB ⊥ x$轴，点$A$的坐标为$(-2, m)$，
所以点$B$的坐标为$(-2, 0)$，可得$OB=2$，$AB=m$。
由$S_{△ AOB}=3$，得：
$\frac{1}{2} · OB · AB = \frac{1}{2} × 2 × m = 3$
解得$m=3$，即点$A$的坐标为$(-2, 3)$。
将$A(-2, 3)$代入$y=\frac{k}{x}$，得：
$3 = \frac{k}{-2}$
解得$k=-6$。
(2) 由(1)得反比例函数解析式为$y=-\frac{6}{x}$。
将点$C(n, -\frac{3}{2})$代入解析式，得：
$-\frac{3}{2} = \frac{-6}{n}$
解得$n=4$。
【答案】
(1) $k=-6$，$m=3$；(2) $n=4$
【知识点】
反比例函数的性质，待定系数法，三角形面积公式
【点评】
本题是反比例函数的基础常规题，结合了几何面积计算与函数点坐标的特征，解题核心是明确反比例函数图象上任意点的坐标都满足函数解析式，同时要注意区分坐标的符号和线段长度的差异，避免计算时出现符号错误。
【难度系数】
0.8
例2 (1)已知反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，那么一次函数$y=kx−k$的图象经过()
A. 第一、第二、第三象限
B. 第一、第二、第四象限
C. 第一、第三、第四象限
D. 第二、第三、第四象限
(2)在反比例函数 $y=\frac{1−k}{x}$ 的每一个象限内的图象上，$y$都随$x$的增大而增大，则$k$的值可以是()
A. −1
B. 0
C. 1
D. 2
【思路导析】利用反比例函数的性质进行分析解答.
【请你解答】(1) ；(2) .
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
A. 第一、第二、第三象限
B. 第一、第二、第四象限
C. 第一、第三、第四象限
D. 第二、第三、第四象限
(2)在反比例函数 $y=\frac{1−k}{x}$ 的每一个象限内的图象上，$y$都随$x$的增大而增大，则$k$的值可以是()
A. −1
B. 0
C. 1
D. 2
【思路导析】利用反比例函数的性质进行分析解答.
【请你解答】(1) ；(2) .
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
解：
(1) ∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，
∴ $k＜0$，
∴ $-k＞0$，
∴ 一次函数$y=kx-k$的图象经过第一、第二、第四象限，
故选B。
(2) ∵ 反比例函数$y=\frac{1-k}{x}$的每一个象限内，$y$都随$x$的增大而增大，
∴ $1-k＜0$，
解得$k＞1$，
四个选项中只有2满足$k＞1$，
故选D。
(1) ∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，
∴ $k＜0$，
∴ $-k＞0$，
∴ 一次函数$y=kx-k$的图象经过第一、第二、第四象限，
故选B。
(2) ∵ 反比例函数$y=\frac{1-k}{x}$的每一个象限内，$y$都随$x$的增大而增大，
∴ $1-k＜0$，
解得$k＞1$，
四个选项中只有2满足$k＞1$，
故选D。
解析
【分析】
(1) 解题第一步先回忆反比例函数的增减性规律：反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$中，若$x＞0$时$y$随$x$增大而增大，说明比例系数$k＜0$；第二步根据$k$的正负判断一次函数$y=kx-k$的一次项系数和常数项的正负，一次项系数决定直线倾斜方向，常数项决定直线与$y$轴的交点位置，即可确定图象经过的象限。
(2) 先根据反比例函数“每个象限内$y$随$x$增大而增大”的性质，得出比例系数小于0，列关于$k$的不等式，解出$k$的取值范围后对照选项选出符合条件的数值即可。
【解析】
(1)
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，
∴ $k＜0$，
∴ $-k＞0$，
一次函数$y=kx-k$中，一次项系数$k＜0$，图象从左到右下降，常数项$-k＞0$，图象与$y$轴正半轴相交，
∴ 该一次函数的图象经过第一、第二、第四象限，故选B。
(2)
∵ 反比例函数 $y=\frac{1−k}{x}$ 的每一个象限内的图象上，$y$都随$x$的增大而增大，
∴ 比例系数$1−k＜0$，
解得$k＞1$，
四个选项中只有2满足$k＞1$，故选D。
【答案】
(1)B；(2)D
【知识点】
反比例函数的性质；一次函数的图象性质；解一元一次不等式
【点评】
本题是函数性质的基础应用题，解题核心是熟练掌握反比例函数增减性与比例系数的对应关系，再结合一次函数图象特征或不等式求解即可，属于函数部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
(1) 解题第一步先回忆反比例函数的增减性规律：反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$中，若$x＞0$时$y$随$x$增大而增大，说明比例系数$k＜0$；第二步根据$k$的正负判断一次函数$y=kx-k$的一次项系数和常数项的正负，一次项系数决定直线倾斜方向，常数项决定直线与$y$轴的交点位置，即可确定图象经过的象限。
(2) 先根据反比例函数“每个象限内$y$随$x$增大而增大”的性质，得出比例系数小于0，列关于$k$的不等式，解出$k$的取值范围后对照选项选出符合条件的数值即可。
【解析】
(1)
∵ 反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，
∴ $k＜0$，
∴ $-k＞0$，
一次函数$y=kx-k$中，一次项系数$k＜0$，图象从左到右下降，常数项$-k＞0$，图象与$y$轴正半轴相交，
∴ 该一次函数的图象经过第一、第二、第四象限，故选B。
(2)
∵ 反比例函数 $y=\frac{1−k}{x}$ 的每一个象限内的图象上，$y$都随$x$的增大而增大，
∴ 比例系数$1−k＜0$，
解得$k＞1$，
四个选项中只有2满足$k＞1$，故选D。
【答案】
(1)B；(2)D
【知识点】
反比例函数的性质；一次函数的图象性质；解一元一次不等式
【点评】
本题是函数性质的基础应用题，解题核心是熟练掌握反比例函数增减性与比例系数的对应关系，再结合一次函数图象特征或不等式求解即可，属于函数部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
例3 如图,反比例函数$y=-\dfrac{6}{x}$在第二象限的图象上有两点$A,B$,它们的横坐标分别为$-1,-3$,直线$AB$与$x$轴交于点$C$,求$△ AOC$的面积.
【探究点拨】运用$y=-\dfrac{6}{x}$,已知$A,B$两点横坐标可求纵坐标,再求出直线$AB$的解析式,令$y=0$,求点$C$的横坐标.
【规范解答】把$x=-1$代入$y=-\dfrac{6}{x}$得$y=-\dfrac{6}{-1}=6$,
$\therefore$ 点$A$的坐标为$(-1,6)$.
把$x=-3$代入$y=-\dfrac{6}{x}$,得$y=\dfrac{-6}{-3}=2$,
$\therefore$ 点$B$的坐标为$(-3,2)$.
设$AB$解析式为$y=kx+b$,将$A,B$两点坐标分别代入上式得$\begin{cases}6=-k+b,\\2=-3k+b,\end{cases}$解得$k=2$,$b=8$.
$\therefore$ 直线$AB$的解析式为$y=2x+8$.
令$y=0$,得$x=-4$.
故点$C$的坐标为$C(-4,0)$.
$\therefore S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2}· OC· y_A=\dfrac{1}{2}×4×6=12$.
【探究点拨】运用$y=-\dfrac{6}{x}$,已知$A,B$两点横坐标可求纵坐标,再求出直线$AB$的解析式,令$y=0$,求点$C$的横坐标.
【规范解答】把$x=-1$代入$y=-\dfrac{6}{x}$得$y=-\dfrac{6}{-1}=6$,
$\therefore$ 点$A$的坐标为$(-1,6)$.
把$x=-3$代入$y=-\dfrac{6}{x}$,得$y=\dfrac{-6}{-3}=2$,
$\therefore$ 点$B$的坐标为$(-3,2)$.
设$AB$解析式为$y=kx+b$,将$A,B$两点坐标分别代入上式得$\begin{cases}6=-k+b,\\2=-3k+b,\end{cases}$解得$k=2$,$b=8$.
$\therefore$ 直线$AB$的解析式为$y=2x+8$.
令$y=0$,得$x=-4$.
故点$C$的坐标为$C(-4,0)$.
$\therefore S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2}· OC· y_A=\dfrac{1}{2}×4×6=12$.
答案
解：
把$x=-1$代入$y=-\dfrac{6}{x}$，得$y=-\dfrac{6}{-1}=6$，
$\therefore$ 点$A$的坐标为$(-1,6)$。
把$x=-3$代入$y=-\dfrac{6}{x}$，得$y=\dfrac{-6}{-3}=2$，
$\therefore$ 点$B$的坐标为$(-3,2)$。
设直线$AB$的解析式为$y=kx+b$，将$A$、$B$两点坐标代入得：
$\begin{cases}6=-k+b\\2=-3k+b\end{cases}$
解得$k=2$，$b=8$，
$\therefore$ 直线$AB$的解析式为$y=2x+8$。
令$y=0$，得$2x+8=0$，解得$x=-4$，
$\therefore$ 点$C$的坐标为$(-4,0)$，即$OC=4$。
$\therefore S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2}· OC· y_A=\dfrac{1}{2}×4×6=12$。
把$x=-1$代入$y=-\dfrac{6}{x}$，得$y=-\dfrac{6}{-1}=6$，
$\therefore$ 点$A$的坐标为$(-1,6)$。
把$x=-3$代入$y=-\dfrac{6}{x}$，得$y=\dfrac{-6}{-3}=2$，
$\therefore$ 点$B$的坐标为$(-3,2)$。
设直线$AB$的解析式为$y=kx+b$，将$A$、$B$两点坐标代入得：
$\begin{cases}6=-k+b\\2=-3k+b\end{cases}$
解得$k=2$，$b=8$，
$\therefore$ 直线$AB$的解析式为$y=2x+8$。
令$y=0$，得$2x+8=0$，解得$x=-4$，
$\therefore$ 点$C$的坐标为$(-4,0)$，即$OC=4$。
$\therefore S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2}· OC· y_A=\dfrac{1}{2}×4×6=12$。
解析
【分析】
要解这道题，我们可以按以下思路思考：首先，点A、B在反比例函数图象上，已知它们的横坐标，代入反比例函数解析式就能求出两点的纵坐标，得到A、B的坐标；接下来要计算△AOC的面积，△AOC的边OC在x轴上，OC的长度是点C横坐标的绝对值，高是点A的纵坐标，所以需要先求出点C的坐标；点C是直线AB与x轴的交点，因此我们可以用待定系数法，代入A、B的坐标求出直线AB的解析式，再令解析式中y=0，解出x的值就是点C的横坐标；最后代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
把$x=-1$代入$y=-\dfrac{6}{x}$，得$y=-\dfrac{6}{-1}=6$，
$\therefore$ 点$A$的坐标为$(-1,6)$。
把$x=-3$代入$y=-\dfrac{6}{x}$，得$y=\dfrac{-6}{-3}=2$，
$\therefore$ 点$B$的坐标为$(-3,2)$。
设直线$AB$的解析式为$y=kx+b$，将$A$、$B$两点坐标代入得：
$\begin{cases}6=-k+b\\2=-3k+b\end{cases}$
解得$k=2$，$b=8$，
$\therefore$ 直线$AB$的解析式为$y=2x+8$。
令$y=0$，得$2x+8=0$，解得$x=-4$，
$\therefore$ 点$C$的坐标为$(-4,0)$，即$OC=4$。
$\therefore S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2}· OC· y_A=\dfrac{1}{2}×4×6=12$。
【答案】
12
【知识点】
反比例函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的基础综合题，解题的关键是熟练掌握函数图象上点的坐标与解析式的关系，以及待定系数法求函数解析式的方法，整体解题逻辑清晰，是巩固函数基础应用的典型习题。
【难度系数】
0.7
要解这道题，我们可以按以下思路思考：首先，点A、B在反比例函数图象上，已知它们的横坐标，代入反比例函数解析式就能求出两点的纵坐标，得到A、B的坐标；接下来要计算△AOC的面积，△AOC的边OC在x轴上，OC的长度是点C横坐标的绝对值，高是点A的纵坐标，所以需要先求出点C的坐标；点C是直线AB与x轴的交点，因此我们可以用待定系数法，代入A、B的坐标求出直线AB的解析式，再令解析式中y=0，解出x的值就是点C的横坐标；最后代入三角形面积公式即可算出结果。
【解析】
把$x=-1$代入$y=-\dfrac{6}{x}$，得$y=-\dfrac{6}{-1}=6$，
$\therefore$ 点$A$的坐标为$(-1,6)$。
把$x=-3$代入$y=-\dfrac{6}{x}$，得$y=\dfrac{-6}{-3}=2$，
$\therefore$ 点$B$的坐标为$(-3,2)$。
设直线$AB$的解析式为$y=kx+b$，将$A$、$B$两点坐标代入得：
$\begin{cases}6=-k+b\\2=-3k+b\end{cases}$
解得$k=2$，$b=8$，
$\therefore$ 直线$AB$的解析式为$y=2x+8$。
令$y=0$，得$2x+8=0$，解得$x=-4$，
$\therefore$ 点$C$的坐标为$(-4,0)$，即$OC=4$。
$\therefore S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2}· OC· y_A=\dfrac{1}{2}×4×6=12$。
【答案】
12
【知识点】
反比例函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，三角形面积计算
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的基础综合题，解题的关键是熟练掌握函数图象上点的坐标与解析式的关系，以及待定系数法求函数解析式的方法，整体解题逻辑清晰，是巩固函数基础应用的典型习题。
【难度系数】
0.7
