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8.若点$A(a,m)$和点$B(b,n)$均在反比例函数$y=\frac{7}{x}$的图象上，且$a＜b$，则()
A.$m＞n$
B.$m＜n$
C.$m=n$
D.$m,n$的大小无法确定
A.$m＞n$
B.$m＜n$
C.$m=n$
D.$m,n$的大小无法确定
答案
D
解析
【分析】
首先回忆反比例函数的性质：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，当$k＞0$时，图象在第一、三象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，注意增减性的前提是“在同一象限内”。本题仅给出$a＜b$，未明确$a、b$的正负，因此需要分$a、b$同号、异号两种情况讨论$m、n$的大小，再根据不同情况的结果判断最终结论。
【解析】
已知反比例函数为$y=\frac{7}{x}$，其中$k=7＞0$，因此该函数的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
分两种情况讨论：
1. 若$a、b$同号：即两点在同一象限内，此时$a＜b$，根据增减性可得$m＞n$；
2. 若$a、b$异号：即$a＜0＜b$，此时点$A(a,m)$在第三象限，故$m＜0$，点$B(b,n)$在第一象限，故$n＞0$，因此$m＜n$。
由于$a、b$的符号不确定，上述两种情况均有可能发生，因此$m、n$的大小无法确定。
【答案】
D
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略反比例函数增减性的适用前提为“同一象限内”，直接根据$a＜b$判断$m＞n$错选A。解题时需先判断自变量的符号，确定点所在的象限，再结合函数性质比较函数值大小。
【难度系数】
0.6
首先回忆反比例函数的性质：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，当$k＞0$时，图象在第一、三象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，注意增减性的前提是“在同一象限内”。本题仅给出$a＜b$，未明确$a、b$的正负，因此需要分$a、b$同号、异号两种情况讨论$m、n$的大小，再根据不同情况的结果判断最终结论。
【解析】
已知反比例函数为$y=\frac{7}{x}$，其中$k=7＞0$，因此该函数的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
分两种情况讨论：
1. 若$a、b$同号：即两点在同一象限内，此时$a＜b$，根据增减性可得$m＞n$；
2. 若$a、b$异号：即$a＜0＜b$，此时点$A(a,m)$在第三象限，故$m＜0$，点$B(b,n)$在第一象限，故$n＞0$，因此$m＜n$。
由于$a、b$的符号不确定，上述两种情况均有可能发生，因此$m、n$的大小无法确定。
【答案】
D
【知识点】
1. 反比例函数的图象与性质
2. 分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略反比例函数增减性的适用前提为“同一象限内”，直接根据$a＜b$判断$m＞n$错选A。解题时需先判断自变量的符号，确定点所在的象限，再结合函数性质比较函数值大小。
【难度系数】
0.6
9.在如图所示的平面直角坐标系中，作出函数$y=\frac{6}{x}$的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)当$x=-2$时，求$y$的值；
(2)当$2＜y＜4$时，求$x$的取值范围；
(3)当$-1＜x＜2$且$x≠0$时，求$y$的取值范围.
(1)当$x=-2$时，求$y$的值；
(2)当$2＜y＜4$时，求$x$的取值范围；
(3)当$-1＜x＜2$且$x≠0$时，求$y$的取值范围.
答案
解：
先通过列表、描点、连线作出$y=\frac{6}{x}$的图象，该函数图象是位于第一、第三象限的双曲线。
(1) 将$x=-2$代入$y=\frac{6}{x}$，得$y=\frac{6}{-2}=-3$。
(2) 当$y=2$时，$x=\frac{6}{2}=3$；当$y=4$时，$x=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$。
因为$k=6＞0$，在第一象限内$y$随$x$的增大而减小，所以当$2＜y＜4$时，$x$的取值范围是$\frac{3}{2}＜x＜3$。
(3) 分两种情况讨论：
① 当$-1＜x＜0$时，将$x=-1$代入$y=\frac{6}{x}$得$y=-6$，因为$k=6＞0$，在第三象限内$y$随$x$的增大而减小，此时$y＜-6$；
② 当$0＜x＜2$时，将$x=2$代入$y=\frac{6}{x}$得$y=3$，因为$k=6＞0$，在第一象限内$y$随$x$的增大而减小，此时$y＞3$。
综上，当$-1＜x＜2$且$x≠0$时，$y$的取值范围是$y＜-6$或$y＞3$。
先通过列表、描点、连线作出$y=\frac{6}{x}$的图象，该函数图象是位于第一、第三象限的双曲线。
(1) 将$x=-2$代入$y=\frac{6}{x}$，得$y=\frac{6}{-2}=-3$。
(2) 当$y=2$时，$x=\frac{6}{2}=3$；当$y=4$时，$x=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$。
因为$k=6＞0$，在第一象限内$y$随$x$的增大而减小，所以当$2＜y＜4$时，$x$的取值范围是$\frac{3}{2}＜x＜3$。
(3) 分两种情况讨论：
① 当$-1＜x＜0$时，将$x=-1$代入$y=\frac{6}{x}$得$y=-6$，因为$k=6＞0$，在第三象限内$y$随$x$的增大而减小，此时$y＜-6$；
② 当$0＜x＜2$时，将$x=2$代入$y=\frac{6}{x}$得$y=3$，因为$k=6＞0$，在第一象限内$y$随$x$的增大而减小，此时$y＞3$。
综上，当$-1＜x＜2$且$x≠0$时，$y$的取值范围是$y＜-6$或$y＞3$。
解析
【分析】
本题考查反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象与性质应用，解题思路如下：首先明确反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k＞0$）的图象是位于第一、三象限的双曲线，且在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。(1)问直接将$x$值代入解析式即可求对应$y$值；(2)问先求出$y=2$和$y=4$对应的$x$值，再结合第一象限的增减性确定$x$的取值范围；(3)问要注意$x≠0$，需分$-1＜x＜0$（第三象限）和$0＜x＜2$（第一象限）两种情况，分别结合对应象限的增减性求$y$的取值范围，最后合并结果。
【解析】
首先通过列表、描点、连线作出$y=\frac{6}{x}$的图象，该函数图象是位于第一、第三象限的双曲线，$k=6＞0$，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。
(1) 将$x=-2$代入$y=\frac{6}{x}$，得$y=\frac{6}{-2}=-3$。
(2) 当$y=2$时，代入解析式得$x=\frac{6}{2}=3$；当$y=4$时，代入解析式得$x=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$。
由于$k=6＞0$，在第一象限内$y$随$x$的增大而减小，因此当$2＜y＜4$时，$x$的取值范围是$\frac{3}{2}＜x＜3$。
(3) 分两种情况讨论：
① 当$-1＜x＜0$时，函数图象在第三象限，将$x=-1$代入$y=\frac{6}{x}$得$y=-6$，结合第三象限内$y$随$x$的增大而减小，可得此时$y＜-6$；
② 当$0＜x＜2$时，函数图象在第一象限，将$x=2$代入$y=\frac{6}{x}$得$y=3$，结合第一象限内$y$随$x$的增大而减小，可得此时$y＞3$。
综上，当$-1＜x＜2$且$x≠0$时，$y$的取值范围是$y＜-6$或$y＞3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-3}$；
(2) $\boldsymbol{\frac{3}{2}＜x＜3}$；
(3) $\boldsymbol{y＜-6}$或$\boldsymbol{y＞3}$。
【知识点】
反比例函数的图象与性质，代入法求函数值，反比例函数增减性应用
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握$k＞0$时反比例函数的图象特征和增减性规律，要注意反比例函数的图象是分象限的两支，讨论取值范围时需分区间分析，避免忽略$x≠0$的条件导致漏解或错解。
【难度系数】
0.7
本题考查反比例函数$y=\frac{6}{x}$的图象与性质应用，解题思路如下：首先明确反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k＞0$）的图象是位于第一、三象限的双曲线，且在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。(1)问直接将$x$值代入解析式即可求对应$y$值；(2)问先求出$y=2$和$y=4$对应的$x$值，再结合第一象限的增减性确定$x$的取值范围；(3)问要注意$x≠0$，需分$-1＜x＜0$（第三象限）和$0＜x＜2$（第一象限）两种情况，分别结合对应象限的增减性求$y$的取值范围，最后合并结果。
【解析】
首先通过列表、描点、连线作出$y=\frac{6}{x}$的图象，该函数图象是位于第一、第三象限的双曲线，$k=6＞0$，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。
(1) 将$x=-2$代入$y=\frac{6}{x}$，得$y=\frac{6}{-2}=-3$。
(2) 当$y=2$时，代入解析式得$x=\frac{6}{2}=3$；当$y=4$时，代入解析式得$x=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$。
由于$k=6＞0$，在第一象限内$y$随$x$的增大而减小，因此当$2＜y＜4$时，$x$的取值范围是$\frac{3}{2}＜x＜3$。
(3) 分两种情况讨论：
① 当$-1＜x＜0$时，函数图象在第三象限，将$x=-1$代入$y=\frac{6}{x}$得$y=-6$，结合第三象限内$y$随$x$的增大而减小，可得此时$y＜-6$；
② 当$0＜x＜2$时，函数图象在第一象限，将$x=2$代入$y=\frac{6}{x}$得$y=3$，结合第一象限内$y$随$x$的增大而减小，可得此时$y＞3$。
综上，当$-1＜x＜2$且$x≠0$时，$y$的取值范围是$y＜-6$或$y＞3$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-3}$；
(2) $\boldsymbol{\frac{3}{2}＜x＜3}$；
(3) $\boldsymbol{y＜-6}$或$\boldsymbol{y＞3}$。
【知识点】
反比例函数的图象与性质，代入法求函数值，反比例函数增减性应用
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握$k＞0$时反比例函数的图象特征和增减性规律，要注意反比例函数的图象是分象限的两支，讨论取值范围时需分区间分析，避免忽略$x≠0$的条件导致漏解或错解。
【难度系数】
0.7
10.已知反比例函数$y=(m-2)x^{m^2 - m -7}$.
(1)若它的图象分别位于第一、第三象限，求m的值；
(2)若在每个象限内y随x的增大而增大，求m的值.
(1)若它的图象分别位于第一、第三象限，求m的值；
(2)若在每个象限内y随x的增大而增大，求m的值.
答案
解：
(1) 已知$y=(m-2)x^{m^2 - m -7}$是反比例函数，因此
$m^2 - m -7 = -1$，且$m-2 ≠ 0$
整理方程$m^2 - m -7 = -1$得：
$m^2 - m -6 = 0$
因式分解得$(m-3)(m+2)=0$，解得$m=3$或$m=-2$
又因为函数图象位于第一、第三象限，所以比例系数$m-2＞0$，即$m＞2$
因此$m=3$。
(2) 由反比例函数定义可得$m=3$或$m=-2$
又因为在每个象限内$y$随$x$的增大而增大，所以比例系数$m-2＜0$，即$m＜2$
因此$m=-2$。
(1) 已知$y=(m-2)x^{m^2 - m -7}$是反比例函数，因此
$m^2 - m -7 = -1$，且$m-2 ≠ 0$
整理方程$m^2 - m -7 = -1$得：
$m^2 - m -6 = 0$
因式分解得$(m-3)(m+2)=0$，解得$m=3$或$m=-2$
又因为函数图象位于第一、第三象限，所以比例系数$m-2＞0$，即$m＞2$
因此$m=3$。
(2) 由反比例函数定义可得$m=3$或$m=-2$
又因为在每个象限内$y$随$x$的增大而增大，所以比例系数$m-2＜0$，即$m＜2$
因此$m=-2$。
解析
【分析】
解决这道题需分两步思考：第一步先根据反比例函数的定义确定参数m的初步取值范围：反比例函数的一般形式为$y=kx^{-1}(k≠0)$，因此x的次数必须为-1，且x的系数不能为0，先解出m的可能值；第二步再结合反比例函数的图象性质筛选符合要求的m值：若图象在一、三象限，说明比例系数$k＞0$；若每个象限内y随x增大而增大，说明比例系数$k＜0$，对应筛选即可。
【解析】
(1) 首先根据反比例函数的定义可得：
$\begin{cases}m^2 - m -7 = -1 \\ m-2 ≠ 0\end{cases}$
整理方程$m^2 - m -7 = -1$得：$m^2 - m -6 = 0$，因式分解得$(m-3)(m+2)=0$，解得$m=3$或$m=-2$，两个解均满足$m-2≠0$。
又因为函数图象位于第一、第三象限，所以比例系数$m-2＞0$，即$m＞2$，因此符合条件的m值为$m=3$。
(2) 由(1)可知满足反比例函数定义的m取值为$m=3$或$m=-2$。
又因为在每个象限内y随x的增大而增大，所以比例系数$m-2＜0$，即$m＜2$，因此符合条件的m值为$m=-2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{m=3}$；(2) $\boldsymbol{m=-2}$
【知识点】
1.反比例函数的定义 2.反比例函数的图象与性质 3.因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是反比例函数的基础综合题，解题时需先紧扣定义确定参数的可能取值，再结合图象的位置或增减性进一步筛选，要特别注意反比例函数比例系数不为0的隐含条件，避免出现多解漏解的错误。
【难度系数】
0.7
解决这道题需分两步思考：第一步先根据反比例函数的定义确定参数m的初步取值范围：反比例函数的一般形式为$y=kx^{-1}(k≠0)$，因此x的次数必须为-1，且x的系数不能为0，先解出m的可能值；第二步再结合反比例函数的图象性质筛选符合要求的m值：若图象在一、三象限，说明比例系数$k＞0$；若每个象限内y随x增大而增大，说明比例系数$k＜0$，对应筛选即可。
【解析】
(1) 首先根据反比例函数的定义可得：
$\begin{cases}m^2 - m -7 = -1 \\ m-2 ≠ 0\end{cases}$
整理方程$m^2 - m -7 = -1$得：$m^2 - m -6 = 0$，因式分解得$(m-3)(m+2)=0$，解得$m=3$或$m=-2$，两个解均满足$m-2≠0$。
又因为函数图象位于第一、第三象限，所以比例系数$m-2＞0$，即$m＞2$，因此符合条件的m值为$m=3$。
(2) 由(1)可知满足反比例函数定义的m取值为$m=3$或$m=-2$。
又因为在每个象限内y随x的增大而增大，所以比例系数$m-2＜0$，即$m＜2$，因此符合条件的m值为$m=-2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{m=3}$；(2) $\boldsymbol{m=-2}$
【知识点】
1.反比例函数的定义 2.反比例函数的图象与性质 3.因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是反比例函数的基础综合题，解题时需先紧扣定义确定参数的可能取值，再结合图象的位置或增减性进一步筛选，要特别注意反比例函数比例系数不为0的隐含条件，避免出现多解漏解的错误。
【难度系数】
0.7
11.已知$A(m,2),B(-3,n)$两点关于原点$O$对称,反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k≠0)$的图象经过点$A$.
(1)求反比例函数的解析式,并判断点$B$是否在这个反比例函数的图象上;
(2)点$P(x_1,y_1)$也在这个反比例函数的图象上,$-3＜x_1＜m$且$x_1≠0$,请直接写出$y_1$的取值范围.
(1)求反比例函数的解析式,并判断点$B$是否在这个反比例函数的图象上;
(2)点$P(x_1,y_1)$也在这个反比例函数的图象上,$-3＜x_1＜m$且$x_1≠0$,请直接写出$y_1$的取值范围.
答案
解：
(1) ∵ 点$A(m,2)$与点$B(-3,n)$关于原点$O$对称，
∴ $m=3$，$n=-2$，
即$A(3,2)$，$B(-3,-2)$。
将$A(3,2)$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$2=\dfrac{k}{3}$，解得$k=6$，
∴ 反比例函数的解析式为$y=\dfrac{6}{x}$。
当$x=-3$时，$y=\dfrac{6}{-3}=-2$，与点$B$的纵坐标相等，
∴ 点$B$在这个反比例函数的图象上。
(2) $y_1$的取值范围是$y_1＜-2$或$y_1＞2$。
(1) ∵ 点$A(m,2)$与点$B(-3,n)$关于原点$O$对称，
∴ $m=3$，$n=-2$，
即$A(3,2)$，$B(-3,-2)$。
将$A(3,2)$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$2=\dfrac{k}{3}$，解得$k=6$，
∴ 反比例函数的解析式为$y=\dfrac{6}{x}$。
当$x=-3$时，$y=\dfrac{6}{-3}=-2$，与点$B$的纵坐标相等，
∴ 点$B$在这个反比例函数的图象上。
(2) $y_1$的取值范围是$y_1＜-2$或$y_1＞2$。
解析
【分析】
解题思路如下：(1)首先回忆关于原点对称的点的坐标特征：两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数，据此可求出m、n的值，得到点A、B的坐标；再利用待定系数法，将点A坐标代入反比例函数表达式求出k值，即可得到反比例函数解析式；最后将点B的横坐标代入解析式，验证计算得到的纵坐标是否与点B的纵坐标一致，即可判断点B是否在函数图象上。(2)先明确m=3，得到x₁的取值范围为-3＜x₁＜3且x₁≠0，结合反比例函数k=6＞0，图象在一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小的性质，分x₁∈(-3,0)和x₁∈(0,3)两段分别讨论y₁的取值范围，合并后即可得到结果。
【解析】
(1)
∵ 点$A(m,2)$与点$B(-3,n)$关于原点$O$对称，
∴ 两点横、纵坐标互为相反数，即$m=3$，$n=-2$，
可得$A(3,2)$，$B(-3,-2)$。
将$A(3,2)$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$2=\dfrac{k}{3}$，解得$k=6$，
∴ 反比例函数的解析式为$y=\dfrac{6}{x}$。
当$x=-3$时，代入解析式得$y=\dfrac{6}{-3}=-2$，与点B的纵坐标相等，
∴ 点B在这个反比例函数的图象上。
(2) 由$m=3$可知$-3＜x_1＜3$且$x_1≠0$，
∵ 反比例函数$y=\dfrac{6}{x}$中$k=6＞0$，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，
当$-3＜x_1＜0$时，$y_1＜-2$；当$0＜x_1＜3$时，$y_1＞2$，
∴ $y_1$的取值范围是$y_1＜-2$或$y_1＞2$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=\dfrac{6}{x}}$，点$B$在这个反比例函数的图象上；
(2) $\boldsymbol{y_1＜-2}$或$\boldsymbol{y_1＞2}$
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系中点的对称性质和反比例函数的基础知识，解题的关键是先利用对称性质求出未知点坐标，再结合反比例函数的增减性求取值范围，注意反比例函数的增减性需要分象限讨论，不要遗漏x≠0的限制条件。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：(1)首先回忆关于原点对称的点的坐标特征：两点关于原点对称时，横、纵坐标均互为相反数，据此可求出m、n的值，得到点A、B的坐标；再利用待定系数法，将点A坐标代入反比例函数表达式求出k值，即可得到反比例函数解析式；最后将点B的横坐标代入解析式，验证计算得到的纵坐标是否与点B的纵坐标一致，即可判断点B是否在函数图象上。(2)先明确m=3，得到x₁的取值范围为-3＜x₁＜3且x₁≠0，结合反比例函数k=6＞0，图象在一、三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小的性质，分x₁∈(-3,0)和x₁∈(0,3)两段分别讨论y₁的取值范围，合并后即可得到结果。
【解析】
(1)
∵ 点$A(m,2)$与点$B(-3,n)$关于原点$O$对称，
∴ 两点横、纵坐标互为相反数，即$m=3$，$n=-2$，
可得$A(3,2)$，$B(-3,-2)$。
将$A(3,2)$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$2=\dfrac{k}{3}$，解得$k=6$，
∴ 反比例函数的解析式为$y=\dfrac{6}{x}$。
当$x=-3$时，代入解析式得$y=\dfrac{6}{-3}=-2$，与点B的纵坐标相等，
∴ 点B在这个反比例函数的图象上。
(2) 由$m=3$可知$-3＜x_1＜3$且$x_1≠0$，
∵ 反比例函数$y=\dfrac{6}{x}$中$k=6＞0$，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，
当$-3＜x_1＜0$时，$y_1＜-2$；当$0＜x_1＜3$时，$y_1＞2$，
∴ $y_1$的取值范围是$y_1＜-2$或$y_1＞2$。
【答案】
(1) 反比例函数解析式为$\boldsymbol{y=\dfrac{6}{x}}$，点$B$在这个反比例函数的图象上；
(2) $\boldsymbol{y_1＜-2}$或$\boldsymbol{y_1＞2}$
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系中点的对称性质和反比例函数的基础知识，解题的关键是先利用对称性质求出未知点坐标，再结合反比例函数的增减性求取值范围，注意反比例函数的增减性需要分象限讨论，不要遗漏x≠0的限制条件。
【难度系数】
0.7
12.已知反比例函数$y=\dfrac{1-2m}{x}$（$m$为常数）的图象在第一、第三象限.
(1)求$m$的取值范围；
(2)如图，已知该反比例函数的图象经过$□ ABOD$的顶点$D$，点$A$，$B$的坐标分别为$(0,3)$，$(-2,0)$，求反比例函数的解析式；
(3)若$E(x_1,y_1)$，$F(x_2,y_2)$都在该反比例函数的图象上，且$x_1＞x_2＞0$，那么$y_1$和$y_2$有怎样的大小关系？
(1)求$m$的取值范围；
(2)如图，已知该反比例函数的图象经过$□ ABOD$的顶点$D$，点$A$，$B$的坐标分别为$(0,3)$，$(-2,0)$，求反比例函数的解析式；
(3)若$E(x_1,y_1)$，$F(x_2,y_2)$都在该反比例函数的图象上，且$x_1＞x_2＞0$，那么$y_1$和$y_2$有怎样的大小关系？
答案
解：
(1) ∵反比例函数$y=\dfrac{1-2m}{x}$的图象在第一、第三象限，
∴$1-2m＞0$，
解得$m＜\dfrac{1}{2}$。
(2) ∵四边形$ABOD$是平行四边形，
∴$AD// BO$，且$AD=BO$。
由点$A(0,3)$，$B(-2,0)$，$O(0,0)$可得$BO=2$，
∴点$D$的纵坐标为$3$，横坐标为$0+2=2$，即$D(2,3)$。
将$D(2,3)$代入$y=\dfrac{1-2m}{x}$，得：
$1-2m=2×3=6$，
∴反比例函数的解析式为$y=\dfrac{6}{x}$。
(3) ∵$k=6＞0$，
∴在第一象限内，$y$随$x$的增大而减小。
又∵$x_1＞x_2＞0$，
∴$y_1＜y_2$。
(1) ∵反比例函数$y=\dfrac{1-2m}{x}$的图象在第一、第三象限，
∴$1-2m＞0$，
解得$m＜\dfrac{1}{2}$。
(2) ∵四边形$ABOD$是平行四边形，
∴$AD// BO$，且$AD=BO$。
由点$A(0,3)$，$B(-2,0)$，$O(0,0)$可得$BO=2$，
∴点$D$的纵坐标为$3$，横坐标为$0+2=2$，即$D(2,3)$。
将$D(2,3)$代入$y=\dfrac{1-2m}{x}$，得：
$1-2m=2×3=6$，
∴反比例函数的解析式为$y=\dfrac{6}{x}$。
(3) ∵$k=6＞0$，
∴在第一象限内，$y$随$x$的增大而减小。
又∵$x_1＞x_2＞0$，
∴$y_1＜y_2$。
解析
【分析】
(1) 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在第一、第三象限的充要条件是比例系数$k＞0$，因此只需令本题的比例系数$1-2m＞0$，解不等式即可得到$m$的取值范围；
(2) 要求反比例函数解析式，需要先求图象上已知点的坐标，利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合已知$A$、$B$、$O$的坐标可推导得到点$D$的坐标，再将$D$坐标代入反比例函数表达式求出比例系数的值，即可得到解析式；
(3) 先根据比例系数的正负判断反比例函数在第一象限的增减性：当$k＞0$时，反比例函数在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，已知$x_1＞x_2＞0$说明两点都在第一象限，结合增减性即可判断$y_1$和$y_2$的大小关系。
【解析】
(1) $\because$ 反比例函数$y=\dfrac{1-2m}{x}$的图象在第一、第三象限，
$\therefore 1-2m＞0$，
解得$m＜\dfrac{1}{2}$。
(2) $\because$ 四边形$ABOD$是平行四边形，
$\therefore AD// BO$，且$AD=BO$。
由点$A(0,3)$，$B(-2,0)$，$O(0,0)$可得$BO=2$，
$\therefore$ 点$D$的纵坐标与点$A$相同为$3$，横坐标为$0+2=2$，即$D(2,3)$。
将$D(2,3)$代入$y=\dfrac{1-2m}{x}$，得：
$1-2m=2×3=6$，
$\therefore$ 反比例函数的解析式为$y=\dfrac{6}{x}$。
(3) $\because k=6＞0$，
$\therefore$ 在第一象限内，$y$随$x$的增大而减小。
又$\because x_1＞x_2＞0$，
$\therefore y_1＜y_2$。
【答案】
(1) $m＜\dfrac{1}{2}$；
(2) $y=\dfrac{6}{x}$；
(3) $y_1＜y_2$
【知识点】
反比例函数的性质，平行四边形的性质，待定系数法求解析式
【点评】
本题属于反比例函数基础综合题，将反比例函数的图象性质与平行四边形性质结合考查，解题核心是熟练掌握反比例函数的象限分布、增减性规律，以及平行四边形的边的性质，是巩固基础的常规题型。
【难度系数】
0.8
(1) 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在第一、第三象限的充要条件是比例系数$k＞0$，因此只需令本题的比例系数$1-2m＞0$，解不等式即可得到$m$的取值范围；
(2) 要求反比例函数解析式，需要先求图象上已知点的坐标，利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合已知$A$、$B$、$O$的坐标可推导得到点$D$的坐标，再将$D$坐标代入反比例函数表达式求出比例系数的值，即可得到解析式；
(3) 先根据比例系数的正负判断反比例函数在第一象限的增减性：当$k＞0$时，反比例函数在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，已知$x_1＞x_2＞0$说明两点都在第一象限，结合增减性即可判断$y_1$和$y_2$的大小关系。
【解析】
(1) $\because$ 反比例函数$y=\dfrac{1-2m}{x}$的图象在第一、第三象限，
$\therefore 1-2m＞0$，
解得$m＜\dfrac{1}{2}$。
(2) $\because$ 四边形$ABOD$是平行四边形，
$\therefore AD// BO$，且$AD=BO$。
由点$A(0,3)$，$B(-2,0)$，$O(0,0)$可得$BO=2$，
$\therefore$ 点$D$的纵坐标与点$A$相同为$3$，横坐标为$0+2=2$，即$D(2,3)$。
将$D(2,3)$代入$y=\dfrac{1-2m}{x}$，得：
$1-2m=2×3=6$，
$\therefore$ 反比例函数的解析式为$y=\dfrac{6}{x}$。
(3) $\because k=6＞0$，
$\therefore$ 在第一象限内，$y$随$x$的增大而减小。
又$\because x_1＞x_2＞0$，
$\therefore y_1＜y_2$。
【答案】
(1) $m＜\dfrac{1}{2}$；
(2) $y=\dfrac{6}{x}$；
(3) $y_1＜y_2$
【知识点】
反比例函数的性质，平行四边形的性质，待定系数法求解析式
【点评】
本题属于反比例函数基础综合题，将反比例函数的图象性质与平行四边形性质结合考查，解题核心是熟练掌握反比例函数的象限分布、增减性规律，以及平行四边形的边的性质，是巩固基础的常规题型。
【难度系数】
0.8
