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例1 一般地，直角三角形中，除直角外，还有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做。
【思路导析】根据解直角三角形的概念进行填写。
【请你解答】。
【思路导析】根据解直角三角形的概念进行填写。
【请你解答】。
答案
解：解直角三角形
解析
【分析】
本题属于基础概念识记类题目，解题时首先提取题目给出的核心描述：直角三角形中由除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，对应回忆教材中相关概念的定义即可得出答案。
【解析】
根据教材中解直角三角形的定义：直角三角形中，除直角外共有三条边、两个锐角这五个元素，由已知元素求出其余未知元素的过程就叫做解直角三角形。题目描述与该定义完全匹配，因此对应填写即可。
【答案】
解直角三角形
【知识点】
解直角三角形的定义
【点评】
本题侧重考查对基础概念的记忆，属于送分类题目，只要熟练掌握教材中的核心定义就能快速作答。
【难度系数】
0.9
本题属于基础概念识记类题目，解题时首先提取题目给出的核心描述：直角三角形中由除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，对应回忆教材中相关概念的定义即可得出答案。
【解析】
根据教材中解直角三角形的定义：直角三角形中，除直角外共有三条边、两个锐角这五个元素，由已知元素求出其余未知元素的过程就叫做解直角三角形。题目描述与该定义完全匹配，因此对应填写即可。
【答案】
解直角三角形
【知识点】
解直角三角形的定义
【点评】
本题侧重考查对基础概念的记忆，属于送分类题目，只要熟练掌握教材中的核心定义就能快速作答。
【难度系数】
0.9
例2 根据下列条件解直角三角形，结果不能确定的是()
①已知一直角边及其对角；②已知两锐角；
③已知两直角边；④已知斜边和一锐角；⑤已知一直角边和斜边.
A.②③
B.②④
C.只有②
D.②④⑤
【思路导析】解直角三角形须已知其中一边.
【请你解答】.
①已知一直角边及其对角；②已知两锐角；
③已知两直角边；④已知斜边和一锐角；⑤已知一直角边和斜边.
A.②③
B.②④
C.只有②
D.②④⑤
【思路导析】解直角三角形须已知其中一边.
【请你解答】.
答案
C
解析
【分析】
首先明确解直角三角形的定义：在直角三角形中，除直角外共有5个未知元素（2个锐角、3条边），由已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。解直角三角形的核心前提是至少已知1条边的长度：若仅给出角的条件，只能确定三角形的形状，无法确定边长（相似三角形大小不唯一），解就不能确定。接下来逐个分析5个条件：①已知一直角边及其对角，可通过锐角三角函数、两锐角互余求出所有未知元素，解唯一；②已知两锐角，无边长信息，符合条件的三角形是一组相似直角三角形，边长可任意缩放，解不唯一；③已知两直角边，可通过勾股定理、锐角三角函数求出所有未知元素，解唯一；④已知斜边和一锐角，可通过两锐角互余、锐角三角函数求出所有未知元素，解唯一；⑤已知一直角边和斜边，可通过勾股定理、锐角三角函数求出所有未知元素，解唯一。综上只有②的结果不能确定。
【解析】
我们逐个判断各条件下解直角三角形的结果是否唯一：
1. 条件①：已知一直角边及其对角
先由直角三角形两锐角互余求出另一锐角，再根据锐角三角函数求出剩余两条边的长度，所有未知元素都可确定，解唯一。
2. 条件②：已知两锐角
没有给出任何边长，满足该角度条件的直角三角形互为相似形，大小可任意变化，无法确定三条边的具体长度，解不唯一。
3. 条件③：已知两直角边
先由勾股定理求出斜边长度，再由锐角三角函数求出两个锐角的度数，所有未知元素都可确定，解唯一。
4. 条件④：已知斜边和一锐角
先由两锐角互余求出另一锐角，再由锐角三角函数求出两条直角边的长度，所有未知元素都可确定，解唯一。
5. 条件⑤：已知一直角边和斜边
先由勾股定理求出另一条直角边的长度，再由锐角三角函数求出两个锐角的度数，所有未知元素都可确定，解唯一。
因此只有条件②的结果不能确定，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
解直角三角形的条件；勾股定理；锐角三角函数的应用
【点评】
本题考查解直角三角形的判定，易错点是忽略“解直角三角形需要至少已知一条边长”的前提，误认为已知两个锐角就能确定所有元素。解题时只要抓住“无边长则解不唯一”的核心规律，就能快速判断。
【难度系数】
0.7
首先明确解直角三角形的定义：在直角三角形中，除直角外共有5个未知元素（2个锐角、3条边），由已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。解直角三角形的核心前提是至少已知1条边的长度：若仅给出角的条件，只能确定三角形的形状，无法确定边长（相似三角形大小不唯一），解就不能确定。接下来逐个分析5个条件：①已知一直角边及其对角，可通过锐角三角函数、两锐角互余求出所有未知元素，解唯一；②已知两锐角，无边长信息，符合条件的三角形是一组相似直角三角形，边长可任意缩放，解不唯一；③已知两直角边，可通过勾股定理、锐角三角函数求出所有未知元素，解唯一；④已知斜边和一锐角，可通过两锐角互余、锐角三角函数求出所有未知元素，解唯一；⑤已知一直角边和斜边，可通过勾股定理、锐角三角函数求出所有未知元素，解唯一。综上只有②的结果不能确定。
【解析】
我们逐个判断各条件下解直角三角形的结果是否唯一：
1. 条件①：已知一直角边及其对角
先由直角三角形两锐角互余求出另一锐角，再根据锐角三角函数求出剩余两条边的长度，所有未知元素都可确定，解唯一。
2. 条件②：已知两锐角
没有给出任何边长，满足该角度条件的直角三角形互为相似形，大小可任意变化，无法确定三条边的具体长度，解不唯一。
3. 条件③：已知两直角边
先由勾股定理求出斜边长度，再由锐角三角函数求出两个锐角的度数，所有未知元素都可确定，解唯一。
4. 条件④：已知斜边和一锐角
先由两锐角互余求出另一锐角，再由锐角三角函数求出两条直角边的长度，所有未知元素都可确定，解唯一。
5. 条件⑤：已知一直角边和斜边
先由勾股定理求出另一条直角边的长度，再由锐角三角函数求出两个锐角的度数，所有未知元素都可确定，解唯一。
因此只有条件②的结果不能确定，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
解直角三角形的条件；勾股定理；锐角三角函数的应用
【点评】
本题考查解直角三角形的判定，易错点是忽略“解直角三角形需要至少已知一条边长”的前提，误认为已知两个锐角就能确定所有元素。解题时只要抓住“无边长则解不唯一”的核心规律，就能快速判断。
【难度系数】
0.7
例3 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$c=6$，解这个直角三角形。
【思路导析】解直角三角形要用到:(1)锐角之间的关系;(2)边角之间的关系;(3)三边之间的关系。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
【思路导析】解直角三角形要用到:(1)锐角之间的关系;(2)边角之间的关系;(3)三边之间的关系。
【请你解答】
互动探究 探究解题规律 总结方法技巧
答案
解：
∵ 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，
∴ $∠ B = 90° - ∠ A = 90° - 30° = 60°$。
由$\sin A = \frac{a}{c}$，得：
$a = c·\sin A = 6×\sin30° = 6×\frac{1}{2} = 3$。
由$\cos A = \frac{b}{c}$，得：
$b = c·\cos A = 6×\cos30° = 6×\frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$。
综上，$∠ B=60°$，$a=3$，$b=3\sqrt{3}$。
∵ 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，
∴ $∠ B = 90° - ∠ A = 90° - 30° = 60°$。
由$\sin A = \frac{a}{c}$，得：
$a = c·\sin A = 6×\sin30° = 6×\frac{1}{2} = 3$。
由$\cos A = \frac{b}{c}$，得：
$b = c·\cos A = 6×\cos30° = 6×\frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$。
综上，$∠ B=60°$，$a=3$，$b=3\sqrt{3}$。
解析
【分析】
解直角三角形的目标是求出所有未知的边和角，本题已知直角三角形的直角、一个锐角和斜边长，未知量为另一个锐角和两条直角边，可按三步求解：第一步利用直角三角形两锐角互余的性质求未知锐角；第二步利用正弦函数（对边与斜边的比值）求已知锐角的对边；第三步利用余弦函数（邻边与斜边的比值）求已知锐角的邻边，也可选择勾股定理计算直角边。
【解析】
∵ 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，
∴ $∠ B = 90° - ∠ A = 90° - 30° = 60°$。
由$\sin A = \frac{a}{c}$，得：
$a = c·\sin A = 6×\sin30° = 6×\frac{1}{2} = 3$。
由$\cos A = \frac{b}{c}$，得：
$b = c·\cos A = 6×\cos30° = 6×\frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$。
【答案】
$∠B=60°$，$a=3$，$b=3\sqrt{3}$
【知识点】
直角三角形角的性质，锐角三角函数，解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，核心是灵活运用直角三角形的角、边、边角三类关系求解未知量，熟练掌握特殊角的三角函数值是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
解直角三角形的目标是求出所有未知的边和角，本题已知直角三角形的直角、一个锐角和斜边长，未知量为另一个锐角和两条直角边，可按三步求解：第一步利用直角三角形两锐角互余的性质求未知锐角；第二步利用正弦函数（对边与斜边的比值）求已知锐角的对边；第三步利用余弦函数（邻边与斜边的比值）求已知锐角的邻边，也可选择勾股定理计算直角边。
【解析】
∵ 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，
∴ $∠ B = 90° - ∠ A = 90° - 30° = 60°$。
由$\sin A = \frac{a}{c}$，得：
$a = c·\sin A = 6×\sin30° = 6×\frac{1}{2} = 3$。
由$\cos A = \frac{b}{c}$，得：
$b = c·\cos A = 6×\cos30° = 6×\frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$。
【答案】
$∠B=60°$，$a=3$，$b=3\sqrt{3}$
【知识点】
直角三角形角的性质，锐角三角函数，解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，核心是灵活运用直角三角形的角、边、边角三类关系求解未知量，熟练掌握特殊角的三角函数值是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
例4 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6$，$∠ BAC$的平分线$AD=4\sqrt{3}$，解此直角三角形.
【探究点拨】先求$∠ CAD$，再求$AB$，$BC$及$∠ CAB$和$∠ B$.
【规范解答】在$Rt△ ACD$中，$\cos∠ CAD=\frac{AC}{AD}=\frac{6}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore ∠ CAD=30°$.
$\because AD$平分$∠ CAB$，
$\therefore ∠ CAB=2∠ CAD=60°$.
$∠ B=90°-∠ CAB=90°-60°=30°$.
在$Rt△ ABC$中，
$\cos∠ BAC=\frac{AC}{AB}$，$AB=\frac{AC}{\cos∠ BAC}$，
即$AB=\frac{6}{\cos60°}=12$.
$\therefore BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=6\sqrt{3}$.
【探究点拨】先求$∠ CAD$，再求$AB$，$BC$及$∠ CAB$和$∠ B$.
【规范解答】在$Rt△ ACD$中，$\cos∠ CAD=\frac{AC}{AD}=\frac{6}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore ∠ CAD=30°$.
$\because AD$平分$∠ CAB$，
$\therefore ∠ CAB=2∠ CAD=60°$.
$∠ B=90°-∠ CAB=90°-60°=30°$.
在$Rt△ ABC$中，
$\cos∠ BAC=\frac{AC}{AB}$，$AB=\frac{AC}{\cos∠ BAC}$，
即$AB=\frac{6}{\cos60°}=12$.
$\therefore BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=6\sqrt{3}$.
答案
解：
在$Rt△ ACD$中，
$\cos∠ CAD = \frac{AC}{AD} = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore ∠ CAD = 30°$。
∵ $AD$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAC = 2∠ CAD = 60°$，
$\therefore ∠ B = 90° - ∠ BAC = 90° - 60° = 30°$。
在$Rt△ ABC$中，
$\because \cos∠ BAC = \frac{AC}{AB}$，
$\therefore AB = \frac{AC}{\cos60°} = \frac{6}{\frac{1}{2}} = 12$，
由勾股定理得：
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{12^2 - 6^2} = 6\sqrt{3}$。
综上，解得$∠ BAC=60°$，$∠ B=30°$，$AB=12$，$BC=6\sqrt{3}$。
在$Rt△ ACD$中，
$\cos∠ CAD = \frac{AC}{AD} = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore ∠ CAD = 30°$。
∵ $AD$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAC = 2∠ CAD = 60°$，
$\therefore ∠ B = 90° - ∠ BAC = 90° - 60° = 30°$。
在$Rt△ ABC$中，
$\because \cos∠ BAC = \frac{AC}{AB}$，
$\therefore AB = \frac{AC}{\cos60°} = \frac{6}{\frac{1}{2}} = 12$，
由勾股定理得：
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{12^2 - 6^2} = 6\sqrt{3}$。
综上，解得$∠ BAC=60°$，$∠ B=30°$，$AB=12$，$BC=6\sqrt{3}$。
解析
【分析】
要解$Rt△ABC$，需先求出未知的$∠ BAC$、$∠ B$两个角和$AB$、$BC$两条边。已知$∠ C=90°$，$AC$、$AD$的长度，可先在$Rt△ACD$中利用锐角三角函数求出$∠ CAD$的度数；再结合$AD$是$∠ BAC$的平分线，即可得到$∠ BAC$的度数，利用直角三角形两锐角互余求出$∠ B$；最后在$Rt△ABC$中，结合锐角三角函数或勾股定理求出$AB$、$BC$的长度即可完成求解。
【解析】
在$Rt△ ACD$中，
$\cos∠ CAD = \frac{AC}{AD} = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore ∠ CAD = 30°$。
∵ $AD$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAC = 2∠ CAD = 60°$，
$\therefore ∠ B = 90° - ∠ BAC = 90° - 60° = 30°$。
在$Rt△ ABC$中，
$\because \cos∠ BAC = \frac{AC}{AB}$，
$\therefore AB = \frac{AC}{\cos60°} = \frac{6}{\frac{1}{2}} = 12$，
由勾股定理得：
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{12^2 - 6^2} = 6\sqrt{3}$。
【答案】
$∠BAC=60°$，$∠B=30°$，$AB=12$，$BC=6\sqrt{3}$
【知识点】
1.解直角三角形 2.锐角三角函数 3.勾股定理
【点评】
本题是解直角三角形的常规题型，解题关键是先借助含已知边的小直角三角形求出相关角度，再结合角平分线性质得到大直角三角形的内角，进而求解剩余边长，注重对基础知识运用能力的考察。
【难度系数】
0.75
要解$Rt△ABC$，需先求出未知的$∠ BAC$、$∠ B$两个角和$AB$、$BC$两条边。已知$∠ C=90°$，$AC$、$AD$的长度，可先在$Rt△ACD$中利用锐角三角函数求出$∠ CAD$的度数；再结合$AD$是$∠ BAC$的平分线，即可得到$∠ BAC$的度数，利用直角三角形两锐角互余求出$∠ B$；最后在$Rt△ABC$中，结合锐角三角函数或勾股定理求出$AB$、$BC$的长度即可完成求解。
【解析】
在$Rt△ ACD$中，
$\cos∠ CAD = \frac{AC}{AD} = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore ∠ CAD = 30°$。
∵ $AD$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAC = 2∠ CAD = 60°$，
$\therefore ∠ B = 90° - ∠ BAC = 90° - 60° = 30°$。
在$Rt△ ABC$中，
$\because \cos∠ BAC = \frac{AC}{AB}$，
$\therefore AB = \frac{AC}{\cos60°} = \frac{6}{\frac{1}{2}} = 12$，
由勾股定理得：
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{12^2 - 6^2} = 6\sqrt{3}$。
【答案】
$∠BAC=60°$，$∠B=30°$，$AB=12$，$BC=6\sqrt{3}$
【知识点】
1.解直角三角形 2.锐角三角函数 3.勾股定理
【点评】
本题是解直角三角形的常规题型，解题关键是先借助含已知边的小直角三角形求出相关角度，再结合角平分线性质得到大直角三角形的内角，进而求解剩余边长，注重对基础知识运用能力的考察。
【难度系数】
0.75
1.如图，在$△ ABC$中，$∠ A = 30°$，$\tan B = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$AC = 2\sqrt{3}$，求AB.
答案
解：过点C作CD⊥AB于点D，
在Rt△ACD中，∠A=30°，AC=2√3，
∴ CD = AC·sin30° = 2√3 × 1/2 = √3，
AD = AC·cos30° = 2√3 × √3/2 = 3。
在Rt△BCD中，$\tan B = \frac{CD}{BD} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴ $BD = \frac{CD}{\tan B} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2$，
∴ AB = AD + BD = 3 + 2 = 5。
答：AB的长为5。
在Rt△ACD中，∠A=30°，AC=2√3，
∴ CD = AC·sin30° = 2√3 × 1/2 = √3，
AD = AC·cos30° = 2√3 × √3/2 = 3。
在Rt△BCD中，$\tan B = \frac{CD}{BD} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴ $BD = \frac{CD}{\tan B} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2$，
∴ AB = AD + BD = 3 + 2 = 5。
答：AB的长为5。
解析
【分析】
要求AB的长度，已知斜三角形△ABC中∠A的度数、AC的长度和∠B的正切值，无法直接在斜三角形中计算边长，因此考虑通过作高构造直角三角形求解。过点C作CD⊥AB于D，可将AB拆分为AD和BD两段，先在Rt△ACD中利用∠A的三角函数值求出CD和AD的长度，再在Rt△BCD中利用tanB的定义求出BD的长度，最后将AD与BD相加即可得到AB的长。
【解析】
解：过点C作CD⊥AB于点D。
在Rt△ACD中，∠A=30°，AC=2√3，
∴ $CD = AC·\sin30° = 2\sqrt{3} × \frac{1}{2} = \sqrt{3}$，
$AD = AC·\cos30° = 2\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$。
在Rt△BCD中，$\tan B = \frac{CD}{BD} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴ $BD = \frac{CD}{\tan B} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2$，
∴ $AB = AD + BD = 3 + 2 = 5$。
【答案】
5
【知识点】
1. 解直角三角形 2. 特殊角的三角函数值 3. 锐角三角函数的定义
【点评】
本题是解直角三角形的常规题型，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形，将斜三角形的问题转化为直角三角形的问题求解，体现了转化的数学思想，同时考查了对锐角三角函数的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
要求AB的长度，已知斜三角形△ABC中∠A的度数、AC的长度和∠B的正切值，无法直接在斜三角形中计算边长，因此考虑通过作高构造直角三角形求解。过点C作CD⊥AB于D，可将AB拆分为AD和BD两段，先在Rt△ACD中利用∠A的三角函数值求出CD和AD的长度，再在Rt△BCD中利用tanB的定义求出BD的长度，最后将AD与BD相加即可得到AB的长。
【解析】
解：过点C作CD⊥AB于点D。
在Rt△ACD中，∠A=30°，AC=2√3，
∴ $CD = AC·\sin30° = 2\sqrt{3} × \frac{1}{2} = \sqrt{3}$，
$AD = AC·\cos30° = 2\sqrt{3} × \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$。
在Rt△BCD中，$\tan B = \frac{CD}{BD} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴ $BD = \frac{CD}{\tan B} = \frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2$，
∴ $AB = AD + BD = 3 + 2 = 5$。
【答案】
5
【知识点】
1. 解直角三角形 2. 特殊角的三角函数值 3. 锐角三角函数的定义
【点评】
本题是解直角三角形的常规题型，解题关键是通过作辅助线构造直角三角形，将斜三角形的问题转化为直角三角形的问题求解，体现了转化的数学思想，同时考查了对锐角三角函数的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
