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2.在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据下列条件解直角三角形.
(1)$∠ B=60°,a=4$；
(2)$∠ A=60°,c=2+\sqrt{3}$.
(1)$∠ B=60°,a=4$；
(2)$∠ A=60°,c=2+\sqrt{3}$.
答案
解：
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because ∠ B=60°$，
$\therefore ∠ A = 90° - ∠ B = 30°$。
$\because \cos B = \frac{a}{c}$，
$\therefore c = \frac{a}{\cos60°} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8$。
$\because \tan B = \frac{b}{a}$，
$\therefore b = a · \tan60° = 4 × \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because ∠ A=60°$，
$\therefore ∠ B = 90° - ∠ A = 30°$。
$\because \sin B = \frac{b}{c}$，
$\therefore b = c · \sin30° = (2+\sqrt{3}) × \frac{1}{2} = \frac{2+\sqrt{3}}{2}$。
$\because \sin A = \frac{a}{c}$，
$\therefore a = c · \sin60° = (2+\sqrt{3}) × \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3+2\sqrt{3}}{2}$。
综上，(1) $∠ A=30°$，$b=4\sqrt{3}$，$c=8$；
(2) $∠ B=30°$，$a=\frac{3+2\sqrt{3}}{2}$，$b=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$。
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because ∠ B=60°$，
$\therefore ∠ A = 90° - ∠ B = 30°$。
$\because \cos B = \frac{a}{c}$，
$\therefore c = \frac{a}{\cos60°} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8$。
$\because \tan B = \frac{b}{a}$，
$\therefore b = a · \tan60° = 4 × \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because ∠ A=60°$，
$\therefore ∠ B = 90° - ∠ A = 30°$。
$\because \sin B = \frac{b}{c}$，
$\therefore b = c · \sin30° = (2+\sqrt{3}) × \frac{1}{2} = \frac{2+\sqrt{3}}{2}$。
$\because \sin A = \frac{a}{c}$，
$\therefore a = c · \sin60° = (2+\sqrt{3}) × \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3+2\sqrt{3}}{2}$。
综上，(1) $∠ A=30°$，$b=4\sqrt{3}$，$c=8$；
(2) $∠ B=30°$，$a=\frac{3+2\sqrt{3}}{2}$，$b=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$。
解析
【分析】
解直角三角形需要求出三角形中所有未知的边和角，解题可按“先求角、再求边”的思路展开：①首先利用直角三角形两锐角互余的性质，先求出未知的锐角；②再结合已知边的类型，选择对应的锐角三角函数关系式求解未知边，优先使用题目给出的已知量计算，可减少计算误差。
针对本题两小问：(1)已知锐角∠B和直角边a，先求∠A，再用余弦定义求斜边c，用正切定义求另一条直角边b；(2)已知锐角∠A和斜边c，先求∠B，再分别用正弦定义求两条直角边a、b即可。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because ∠ B=60°$，
$\therefore ∠ A = 90° - ∠ B = 30°$。
$\because \cos B = \frac{a}{c}$，
$\therefore c = \frac{a}{\cos60°} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8$。
$\because \tan B = \frac{b}{a}$，
$\therefore b = a · \tan60° = 4 × \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because ∠ A=60°$，
$\therefore ∠ B = 90° - ∠ A = 30°$。
$\because \sin B = \frac{b}{c}$，
$\therefore b = c · \sin30° = (2+\sqrt{3}) × \frac{1}{2} = \frac{2+\sqrt{3}}{2}$。
$\because \sin A = \frac{a}{c}$，
$\therefore a = c · \sin60° = (2+\sqrt{3}) × \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3+2\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
(1) $∠ A=30°$，$b=4\sqrt{3}$，$c=8$；
(2) $∠ B=30°$，$a=\frac{3+2\sqrt{3}}{2}$，$b=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$。
【知识点】
解直角三角形；直角三角形的性质；锐角三角函数
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，主要考查特殊角的三角函数值的应用，解题时要准确对应三角函数的边角关系，避免混淆对应关系导致计算错误，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解直角三角形需要求出三角形中所有未知的边和角，解题可按“先求角、再求边”的思路展开：①首先利用直角三角形两锐角互余的性质，先求出未知的锐角；②再结合已知边的类型，选择对应的锐角三角函数关系式求解未知边，优先使用题目给出的已知量计算，可减少计算误差。
针对本题两小问：(1)已知锐角∠B和直角边a，先求∠A，再用余弦定义求斜边c，用正切定义求另一条直角边b；(2)已知锐角∠A和斜边c，先求∠B，再分别用正弦定义求两条直角边a、b即可。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because ∠ B=60°$，
$\therefore ∠ A = 90° - ∠ B = 30°$。
$\because \cos B = \frac{a}{c}$，
$\therefore c = \frac{a}{\cos60°} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8$。
$\because \tan B = \frac{b}{a}$，
$\therefore b = a · \tan60° = 4 × \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
$\because ∠ A=60°$，
$\therefore ∠ B = 90° - ∠ A = 30°$。
$\because \sin B = \frac{b}{c}$，
$\therefore b = c · \sin30° = (2+\sqrt{3}) × \frac{1}{2} = \frac{2+\sqrt{3}}{2}$。
$\because \sin A = \frac{a}{c}$，
$\therefore a = c · \sin60° = (2+\sqrt{3}) × \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3+2\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
(1) $∠ A=30°$，$b=4\sqrt{3}$，$c=8$；
(2) $∠ B=30°$，$a=\frac{3+2\sqrt{3}}{2}$，$b=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$。
【知识点】
解直角三角形；直角三角形的性质；锐角三角函数
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，主要考查特殊角的三角函数值的应用，解题时要准确对应三角函数的边角关系，避免混淆对应关系导致计算错误，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键。
【难度系数】
0.8
1. (1)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=2\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{15}$，则$∠ B$的度数是；
(2)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=50°$，$AB=10$，则$BC$的长为。
(2)在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=50°$，$AB=10$，则$BC$的长为。
答案
(1) $\boldsymbol{60°}$；(2) $\boldsymbol{10\cos50°}$
解析
【分析】
(1) 第一问已知Rt△ABC的斜边AB和∠B的对边AC，要求∠B的度数，可先根据正弦函数的定义求出sinB的值，再结合特殊角的三角函数值即可得到∠B的度数；
(2) 第二问已知Rt△ABC的斜边AB和锐角∠B的度数，要求∠B的邻边BC的长度，可根据余弦函数的定义推导邻边的计算式，代入数据即可求得结果。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正弦函数的定义：
$\sin B=\frac{\mathrm{∠B的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AC}{AB}$
代入$AB=2\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{15}$得：
$\sin B=\frac{\sqrt{15}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{3}×\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
又因为$∠ B$是锐角，且$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此$∠ B=60°$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据余弦函数的定义：
$\cos B=\frac{\mathrm{∠B的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AB}$
变形可得$BC=AB·\cos B$，代入$AB=10$，$∠ B=50°$得：
$BC=10\cos50°$
【答案】
(1) $60°$；(2) $10\cos50°$
【知识点】
1. 锐角三角函数定义
2. 特殊角的三角函数值
3. 解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的基础常考题，解题关键是根据已知的边角条件，准确选择对应的锐角三角函数建立等量关系求解，需要熟练掌握特殊角的三角函数值。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问已知Rt△ABC的斜边AB和∠B的对边AC，要求∠B的度数，可先根据正弦函数的定义求出sinB的值，再结合特殊角的三角函数值即可得到∠B的度数；
(2) 第二问已知Rt△ABC的斜边AB和锐角∠B的度数，要求∠B的邻边BC的长度，可根据余弦函数的定义推导邻边的计算式，代入数据即可求得结果。
【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正弦函数的定义：
$\sin B=\frac{\mathrm{∠B的对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{AC}{AB}$
代入$AB=2\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{15}$得：
$\sin B=\frac{\sqrt{15}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{3}×\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
又因为$∠ B$是锐角，且$\sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此$∠ B=60°$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据余弦函数的定义：
$\cos B=\frac{\mathrm{∠B的邻边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{AB}$
变形可得$BC=AB·\cos B$，代入$AB=10$，$∠ B=50°$得：
$BC=10\cos50°$
【答案】
(1) $60°$；(2) $10\cos50°$
【知识点】
1. 锐角三角函数定义
2. 特殊角的三角函数值
3. 解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的基础常考题，解题关键是根据已知的边角条件，准确选择对应的锐角三角函数建立等量关系求解，需要熟练掌握特殊角的三角函数值。
【难度系数】
0.8
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°, sinA=$\frac{3}{5}$, BC=6, 则AB=, AC=.
答案
$AB=\boldsymbol{10}$，$AC=\boldsymbol{8}$。
解析
【分析】
本题属于解直角三角形的基础题，解题思路可分为两步：第一步，根据锐角正弦的定义，在直角三角形中，锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值，已知∠A的正弦值和对边BC的长度，可直接求出斜边AB的长度；第二步，在得到斜边AB和直角边BC的长度后，利用勾股定理即可求出另一条直角边AC的长度。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，根据正弦的定义可得：
$\sin A = \frac{∠ A的对边}{斜边} = \frac{BC}{AB}$
已知$\sin A=\frac{3}{5}$，$BC=6$，代入得：
$\frac{3}{5} = \frac{6}{AB}$
解得$AB = \frac{6×5}{3} = 10$
再根据勾股定理$AB^2 = AC^2 + BC^2$，变形得：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$
【答案】
$AB=10$，$AC=8$
【知识点】
正弦的定义；勾股定理
【点评】
本题是解直角三角形的常规基础题，难度较低，核心是掌握锐角三角函数的定义和勾股定理的应用，熟悉直角三角形边角关系、边边关系即可快速解题。
【难度系数】
0.85
本题属于解直角三角形的基础题，解题思路可分为两步：第一步，根据锐角正弦的定义，在直角三角形中，锐角的正弦值等于该角的对边与斜边的比值，已知∠A的正弦值和对边BC的长度，可直接求出斜边AB的长度；第二步，在得到斜边AB和直角边BC的长度后，利用勾股定理即可求出另一条直角边AC的长度。
【解析】
在Rt△ABC中，∠C=90°，根据正弦的定义可得：
$\sin A = \frac{∠ A的对边}{斜边} = \frac{BC}{AB}$
已知$\sin A=\frac{3}{5}$，$BC=6$，代入得：
$\frac{3}{5} = \frac{6}{AB}$
解得$AB = \frac{6×5}{3} = 10$
再根据勾股定理$AB^2 = AC^2 + BC^2$，变形得：
$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$
【答案】
$AB=10$，$AC=8$
【知识点】
正弦的定义；勾股定理
【点评】
本题是解直角三角形的常规基础题，难度较低，核心是掌握锐角三角函数的定义和勾股定理的应用，熟悉直角三角形边角关系、边边关系即可快速解题。
【难度系数】
0.85
3. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，下列式子中，正确的是（）
A.$a=b\tan B$
B.$a=c\cos B$
C.$b=a\cos B$
D.$b=a\sin B$
A.$a=b\tan B$
B.$a=c\cos B$
C.$b=a\cos B$
D.$b=a\sin B$
答案
B
解析
【分析】
本题考查直角三角形中锐角三角函数的应用，解题时首先明确Rt△ABC中∠C=90°时各边与锐角的对应关系：∠A对边为a，∠B对边为b，斜边为c；再根据正弦（对边/斜边）、余弦（邻边/斜边）、正切（对边/邻边）的定义，逐个推导验证选项中的式子是否成立，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角三角函数的定义：
对于锐角$∠ B$，有：
$\sin B=\frac{∠ B的对边}{斜边}=\frac{b}{c}$，变形得$b=c\sin B$；
$\cos B=\frac{∠ B的邻边}{斜边}=\frac{a}{c}$，变形得$a=c\cos B$；
$\tan B=\frac{∠ B的对边}{∠ B的邻边}=\frac{b}{a}$，变形得$b=a\tan B$、$a=\frac{b}{\tan B}$。
逐一分析选项：
A. 由$\tan B=\frac{b}{a}$得$a=\frac{b}{\tan B}$，故A错误；
B. 由$\cos B=\frac{a}{c}$得$a=c\cos B$，故B正确；
C. 由$\tan B=\frac{b}{a}$得$b=a\tan B≠ a\cos B$，故C错误；
D. 由$\sin B=\frac{b}{c}$得$b=c\sin B≠ a\sin B$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
锐角三角函数的定义，解直角三角形
【点评】
本题属于基础题，主要考查对锐角三角函数定义的掌握程度，只要准确记忆不同三角函数对应的边角关系，就能快速判断选项正误，是解直角三角形类题目的必备基础。
【难度系数】
0.8
本题考查直角三角形中锐角三角函数的应用，解题时首先明确Rt△ABC中∠C=90°时各边与锐角的对应关系：∠A对边为a，∠B对边为b，斜边为c；再根据正弦（对边/斜边）、余弦（邻边/斜边）、正切（对边/邻边）的定义，逐个推导验证选项中的式子是否成立，排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据锐角三角函数的定义：
对于锐角$∠ B$，有：
$\sin B=\frac{∠ B的对边}{斜边}=\frac{b}{c}$，变形得$b=c\sin B$；
$\cos B=\frac{∠ B的邻边}{斜边}=\frac{a}{c}$，变形得$a=c\cos B$；
$\tan B=\frac{∠ B的对边}{∠ B的邻边}=\frac{b}{a}$，变形得$b=a\tan B$、$a=\frac{b}{\tan B}$。
逐一分析选项：
A. 由$\tan B=\frac{b}{a}$得$a=\frac{b}{\tan B}$，故A错误；
B. 由$\cos B=\frac{a}{c}$得$a=c\cos B$，故B正确；
C. 由$\tan B=\frac{b}{a}$得$b=a\tan B≠ a\cos B$，故C错误；
D. 由$\sin B=\frac{b}{c}$得$b=c\sin B≠ a\sin B$，故D错误。
【答案】
B
【知识点】
锐角三角函数的定义，解直角三角形
【点评】
本题属于基础题，主要考查对锐角三角函数定义的掌握程度，只要准确记忆不同三角函数对应的边角关系，就能快速判断选项正误，是解直角三角形类题目的必备基础。
【难度系数】
0.8
4.如图，在$△ ABC$中，$BC=12$，$\tan A=\dfrac{3}{4}$，$∠ B=30°$，则$AB$长为（）
A.12
B.14
C.$6+6\sqrt{3}$
D.$8+6\sqrt{3}$
A.12
B.14
C.$6+6\sqrt{3}$
D.$8+6\sqrt{3}$
答案
D
解析
【分析】
遇到斜三角形求边长的问题，已知一角的正切值和另一特殊角及对应边长，可通过作高将斜三角形转化为两个直角三角形求解。第一步：过C作CD垂直AB于D，构造出两个直角三角形；第二步：先在含30°角的Rt△BCD中，利用特殊角的三角函数值求出CD和BD的长度；第三步：再在Rt△ACD中，利用tanA的定义求出AD的长度；第四步：AB的长度为AD与BD的和，计算即可得到结果。
【解析】
解：过点C作CD⊥AB于点D，则∠CDA=∠CDB=90°。
①在Rt△BCD中，∠B=30°，BC=12：
$CD = BC·\sin30° = 12×\frac{1}{2} = 6$，
$BD = BC·\cos30° = 12×\frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$。
②在Rt△ACD中，$\tan A=\frac{CD}{AD}=\frac{3}{4}$，将CD=6代入得：
$\frac{6}{AD}=\frac{3}{4}$，解得$AD=8$。
③因此$AB = AD + BD = 8 + 6\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
解直角三角形，特殊角的三角函数值，锐角三角函数定义
【点评】
本题核心解题思路是通过作高将斜三角形转化为直角三角形，结合锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值计算边长，是解直角三角形章节的典型题型。
【难度系数】
0.7
遇到斜三角形求边长的问题，已知一角的正切值和另一特殊角及对应边长，可通过作高将斜三角形转化为两个直角三角形求解。第一步：过C作CD垂直AB于D，构造出两个直角三角形；第二步：先在含30°角的Rt△BCD中，利用特殊角的三角函数值求出CD和BD的长度；第三步：再在Rt△ACD中，利用tanA的定义求出AD的长度；第四步：AB的长度为AD与BD的和，计算即可得到结果。
【解析】
解：过点C作CD⊥AB于点D，则∠CDA=∠CDB=90°。
①在Rt△BCD中，∠B=30°，BC=12：
$CD = BC·\sin30° = 12×\frac{1}{2} = 6$，
$BD = BC·\cos30° = 12×\frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$。
②在Rt△ACD中，$\tan A=\frac{CD}{AD}=\frac{3}{4}$，将CD=6代入得：
$\frac{6}{AD}=\frac{3}{4}$，解得$AD=8$。
③因此$AB = AD + BD = 8 + 6\sqrt{3}$。
【答案】
D
【知识点】
解直角三角形，特殊角的三角函数值，锐角三角函数定义
【点评】
本题核心解题思路是通过作高将斜三角形转化为直角三角形，结合锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值计算边长，是解直角三角形章节的典型题型。
【难度系数】
0.7
5. 如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，点$D$在$AC$上，$∠ DBC=∠ A$。若$AC=4$，$\cos A=\dfrac{4}{5}$，则$BD$的长度为（）
A.$\dfrac{9}{4}$
B.$\dfrac{12}{5}$
C.$\dfrac{15}{4}$
D.$4$
A.$\dfrac{9}{4}$
B.$\dfrac{12}{5}$
C.$\dfrac{15}{4}$
D.$4$
答案
C
解析
【分析】
解题思路分两步：①先在Rt△ABC中，根据余弦的定义和已知AC、cosA的值，求出AB的长度，再用勾股定理计算BC的长度；②根据∠DBC=∠A，可知两个角的余弦值相等，再在Rt△BCD中利用余弦的定义建立关于BD的等式，代入数值即可求出BD的长。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，
由余弦定义得：$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}$，
已知$AC=4$，代入得$\frac{4}{AB}=\frac{4}{5}$，解得$AB=5$。
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
$\because ∠ DBC=∠ A$，$\therefore \cos∠ DBC=\cos A=\frac{4}{5}$，
在$\mathrm{Rt}△BCD$中，$∠ C=90°$，
由余弦定义得：$\cos∠ DBC=\frac{BC}{BD}$，
代入$BC=3$、$\cos∠ DBC=\frac{4}{5}$得：$\frac{3}{BD}=\frac{4}{5}$，
解得$BD=\frac{15}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，解题核心是利用等角的三角函数值相等，将未知边转化到直角三角形中通过三角函数关系求解，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题思路分两步：①先在Rt△ABC中，根据余弦的定义和已知AC、cosA的值，求出AB的长度，再用勾股定理计算BC的长度；②根据∠DBC=∠A，可知两个角的余弦值相等，再在Rt△BCD中利用余弦的定义建立关于BD的等式，代入数值即可求出BD的长。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ C=90°$，
由余弦定义得：$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{4}{5}$，
已知$AC=4$，代入得$\frac{4}{AB}=\frac{4}{5}$，解得$AB=5$。
由勾股定理得：$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
$\because ∠ DBC=∠ A$，$\therefore \cos∠ DBC=\cos A=\frac{4}{5}$，
在$\mathrm{Rt}△BCD$中，$∠ C=90°$，
由余弦定义得：$\cos∠ DBC=\frac{BC}{BD}$，
代入$BC=3$、$\cos∠ DBC=\frac{4}{5}$得：$\frac{3}{BD}=\frac{4}{5}$，
解得$BD=\frac{15}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
锐角三角函数的定义，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的基础题型，解题核心是利用等角的三角函数值相等，将未知边转化到直角三角形中通过三角函数关系求解，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键。
【难度系数】
0.7
6.如果等腰三角形的底角为$30°$，腰长为$6\ \mathrm{cm}$，那么这个等腰三角形的面积为()
A.$\frac{9}{2}\ \mathrm{cm}^2$
B.$9\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
C.$18\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
D.$36\ \mathrm{cm}^2$
A.$\frac{9}{2}\ \mathrm{cm}^2$
B.$9\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
C.$18\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$
D.$36\ \mathrm{cm}^2$
答案
B
解析
【分析】
要计算等腰三角形的面积，需先求出它的底和高。已知等腰三角形底角为30°、腰长为6cm，我们可以通过作底边上的高，将等腰三角形拆分为两个全等的含30°角的直角三角形，再利用直角三角形中特殊角的性质或三角函数分别求出高和底边的长度，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：过等腰三角形的顶角顶点作底边的高，该高同时平分底边，将原等腰三角形分为两个全等的直角三角形，直角三角形的斜边长等于腰长6cm，一个锐角为30°。
1. 求高：30°角所对的直角边为三角形的高h，根据直角三角形性质，$h = 6×\sin30° = 6×\frac{1}{2} = 3\ \mathrm{cm}$；
2. 求底边：30°角相邻的直角边为底边的一半，长度为$6×\cos30° = 6×\frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，因此底边长为$2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$；
3. 计算面积：根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入得$S=\frac{1}{2}×6\sqrt{3}×3=9\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形面积计算
【点评】
本题是几何基础计算题，解题核心是通过作高将等腰三角形转化为熟悉的直角三角形，结合特殊角的三角函数值或30°直角三角形的性质求解，是等腰三角形和解直角三角形结合的典型考题。
【难度系数】
0.7
要计算等腰三角形的面积，需先求出它的底和高。已知等腰三角形底角为30°、腰长为6cm，我们可以通过作底边上的高，将等腰三角形拆分为两个全等的含30°角的直角三角形，再利用直角三角形中特殊角的性质或三角函数分别求出高和底边的长度，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
解：过等腰三角形的顶角顶点作底边的高，该高同时平分底边，将原等腰三角形分为两个全等的直角三角形，直角三角形的斜边长等于腰长6cm，一个锐角为30°。
1. 求高：30°角所对的直角边为三角形的高h，根据直角三角形性质，$h = 6×\sin30° = 6×\frac{1}{2} = 3\ \mathrm{cm}$；
2. 求底边：30°角相邻的直角边为底边的一半，长度为$6×\cos30° = 6×\frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，因此底边长为$2×3\sqrt{3}=6\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$；
3. 计算面积：根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，代入得$S=\frac{1}{2}×6\sqrt{3}×3=9\sqrt{3}\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形面积计算
【点评】
本题是几何基础计算题，解题核心是通过作高将等腰三角形转化为熟悉的直角三角形，结合特殊角的三角函数值或30°直角三角形的性质求解，是等腰三角形和解直角三角形结合的典型考题。
【难度系数】
0.7
7. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$BC=6$, $\cos B=\dfrac{3}{4}$,$AE$平分$∠ BAC$,且$AE⊥ CE$,垂足为$E$,点$D$为$BC$的中点,连接$DE$,则$DE$的长为()
A.$2$
B.$4-\sqrt{7}$
C.$2\sqrt{7}$
D.$2-\dfrac{\sqrt{7}}{2}$
A.$2$
B.$4-\sqrt{7}$
C.$2\sqrt{7}$
D.$2-\dfrac{\sqrt{7}}{2}$
答案
B
解析
【分析】
解题思路如下：1. 先在Rt△ABC中，利用余弦的定义求出AB的长，再用勾股定理求出AC的长；2. 遇到角平分线+高线的组合，通过延长CE交AB于点F，构造全等三角形，得到等腰△AFC，推得E为CF中点，AF=AC；3. 结合D是BC中点，可知DE是△CFB的中位线，利用中位线性质即可求出DE的长度。
【解析】
1. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，$\cos B=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{3}{4}$，已知BC=6，代入得：
$AB=\dfrac{BC}{\cos B}=\dfrac{6}{\dfrac{3}{4}}=8$
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{8^2-6^2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$
2. 延长CE交AB于点F：
∵AE平分∠BAC，
∴∠FAE=∠CAE
∵AE⊥CE，
∴∠AEF=∠AEC=90°
又
∵AE=AE，
∴△AEF≌△AEC（ASA）
∴AF=AC=2√7，EF=EC，即E是CF的中点
3.
∵点D是BC的中点，
∴DE是△CFB的中位线
根据中位线性质：$DE=\dfrac{1}{2}BF$
其中$BF=AB-AF=8-2\sqrt{7}$
代入得：$DE=\dfrac{1}{2}×(8-2\sqrt{7})=4-\sqrt{7}$
【答案】
B
【知识点】
解直角三角形，全等三角形判定与性质，三角形中位线定理
【点评】
本题属于几何综合题，解题的关键是掌握“角平分线+垂线构造等腰三角形”的常用辅助线做法，结合中位线定理实现线段的转化求解。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：1. 先在Rt△ABC中，利用余弦的定义求出AB的长，再用勾股定理求出AC的长；2. 遇到角平分线+高线的组合，通过延长CE交AB于点F，构造全等三角形，得到等腰△AFC，推得E为CF中点，AF=AC；3. 结合D是BC中点，可知DE是△CFB的中位线，利用中位线性质即可求出DE的长度。
【解析】
1. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，$\cos B=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{3}{4}$，已知BC=6，代入得：
$AB=\dfrac{BC}{\cos B}=\dfrac{6}{\dfrac{3}{4}}=8$
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{8^2-6^2}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$
2. 延长CE交AB于点F：
∵AE平分∠BAC，
∴∠FAE=∠CAE
∵AE⊥CE，
∴∠AEF=∠AEC=90°
又
∵AE=AE，
∴△AEF≌△AEC（ASA）
∴AF=AC=2√7，EF=EC，即E是CF的中点
3.
∵点D是BC的中点，
∴DE是△CFB的中位线
根据中位线性质：$DE=\dfrac{1}{2}BF$
其中$BF=AB-AF=8-2\sqrt{7}$
代入得：$DE=\dfrac{1}{2}×(8-2\sqrt{7})=4-\sqrt{7}$
【答案】
B
【知识点】
解直角三角形，全等三角形判定与性质，三角形中位线定理
【点评】
本题属于几何综合题，解题的关键是掌握“角平分线+垂线构造等腰三角形”的常用辅助线做法，结合中位线定理实现线段的转化求解。
【难度系数】
0.6
