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8. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,$AB=2\sqrt{10}$,将$AB$延长至点$C$,连接$OC$,若满足$OC^2=BC· AC$,$\tanα=3$,则点$C$的坐标为 ()
A.$(-2,6)$
B.$(-3,9)$
C.$(-\dfrac{3}{4},\dfrac{9}{4})$
D.$(-\dfrac{5}{3},\dfrac{15}{4})$
A.$(-2,6)$
B.$(-3,9)$
C.$(-\dfrac{3}{4},\dfrac{9}{4})$
D.$(-\dfrac{5}{3},\dfrac{15}{4})$
答案
C
解析
【分析】
解题思路如下：①由$\tanα=3$结合点C在第二象限，可设$C(-m,3m)(m＞0)$，简化坐标表示；②对$OC^2=BC·AC$变形得到比例式，结合公共角$∠ C$证明$△ CBO ∽ △ COA$，得到对应角相等，推出直线AB的斜率；③结合$AB=2\sqrt{10}$求出A、B坐标，得到直线AB的解析式；④将点C坐标代入直线解析式求解m，即可得到C的坐标。
【解析】
1. 过C作$CD⊥ x$轴于D，由$\tanα=\frac{CD}{OD}=3$，设$C(-m,3m)(m＞0)$。
2. 由$OC^2=BC·AC$得$\frac{OC}{AC}=\frac{BC}{OC}$，又$∠ C$是$△ CBO$和$△ COA$的公共角，故$△ CBO ∽ △ COA$（两边成比例且夹角相等的三角形相似）。
3. 由相似得$∠ COB=∠ OAB$，$\because α+∠ COB=90°$，$\therefore ∠ OAB+α=90°$，$\tan∠ OAB=\cotα=\frac{1}{3}$，即$\frac{OB}{OA}=\frac{1}{3}$，设$OB=b$，$OA=3b$。
4. 在$Rt△ AOB$中，$OA^2+OB^2=AB^2$，代入$AB=2\sqrt{10}$得$(3b)^2+b^2=(2\sqrt{10})^2$，解得$b=2$，故$A(6,0)$，$B(0,2)$。
5. 设直线AB解析式为$y=kx+2$，代入$A(6,0)$得$0=6k+2$，解得$k=-\frac{1}{3}$，即直线AB：$y=-\frac{1}{3}x+2$。
6. 点C在直线AB上，将$C(-m,3m)$代入解析式得$3m=-\frac{1}{3}×(-m)+2$，解得$m=\frac{3}{4}$，故$C(-\frac{3}{4},\frac{9}{4})$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形判定与性质，解直角三角形，一次函数解析式求解
【点评】
本题综合了几何和代数知识，核心突破口是将线段乘积关系转化为相似三角形的判定条件，进而结合三角函数求出直线参数，最终通过点在直线上的性质求解坐标，解题时注意数形结合思想的运用。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：①由$\tanα=3$结合点C在第二象限，可设$C(-m,3m)(m＞0)$，简化坐标表示；②对$OC^2=BC·AC$变形得到比例式，结合公共角$∠ C$证明$△ CBO ∽ △ COA$，得到对应角相等，推出直线AB的斜率；③结合$AB=2\sqrt{10}$求出A、B坐标，得到直线AB的解析式；④将点C坐标代入直线解析式求解m，即可得到C的坐标。
【解析】
1. 过C作$CD⊥ x$轴于D，由$\tanα=\frac{CD}{OD}=3$，设$C(-m,3m)(m＞0)$。
2. 由$OC^2=BC·AC$得$\frac{OC}{AC}=\frac{BC}{OC}$，又$∠ C$是$△ CBO$和$△ COA$的公共角，故$△ CBO ∽ △ COA$（两边成比例且夹角相等的三角形相似）。
3. 由相似得$∠ COB=∠ OAB$，$\because α+∠ COB=90°$，$\therefore ∠ OAB+α=90°$，$\tan∠ OAB=\cotα=\frac{1}{3}$，即$\frac{OB}{OA}=\frac{1}{3}$，设$OB=b$，$OA=3b$。
4. 在$Rt△ AOB$中，$OA^2+OB^2=AB^2$，代入$AB=2\sqrt{10}$得$(3b)^2+b^2=(2\sqrt{10})^2$，解得$b=2$，故$A(6,0)$，$B(0,2)$。
5. 设直线AB解析式为$y=kx+2$，代入$A(6,0)$得$0=6k+2$，解得$k=-\frac{1}{3}$，即直线AB：$y=-\frac{1}{3}x+2$。
6. 点C在直线AB上，将$C(-m,3m)$代入解析式得$3m=-\frac{1}{3}×(-m)+2$，解得$m=\frac{3}{4}$，故$C(-\frac{3}{4},\frac{9}{4})$。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形判定与性质，解直角三角形，一次函数解析式求解
【点评】
本题综合了几何和代数知识，核心突破口是将线段乘积关系转化为相似三角形的判定条件，进而结合三角函数求出直线参数，最终通过点在直线上的性质求解坐标，解题时注意数形结合思想的运用。
【难度系数】
0.6
9.在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，由下列条件解直角三角形：
(1)已知$b=35,c=35\sqrt{2}$；
(2)已知$b=5,∠ A=60°$；
(3)若$∠ A=60°,CD$是高，且$CD=4$.
(1)已知$b=35,c=35\sqrt{2}$；
(2)已知$b=5,∠ A=60°$；
(3)若$∠ A=60°,CD$是高，且$CD=4$.
答案
解：(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$b=35$，$c=35\sqrt{2}$
由勾股定理得：
$a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{(35\sqrt{2})^2 - 35^2} = 35$
$\because \cos A = \frac{b}{c} = \frac{35}{35\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\therefore ∠ A = 45°$
$\therefore ∠ B = 90° - ∠ A = 45°$
(2) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$b=5$，$∠ A=60°$
$\therefore ∠ B = 90° - ∠ A = 30°$
$\because \tan A = \frac{a}{b}$
$\therefore a = b·\tan60° = 5×\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$
$\because \cos A = \frac{b}{c}$
$\therefore c = \frac{b}{\cos60°} = \frac{5}{\frac{1}{2}} = 10$
(3) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=60°$，$CD⊥ AB$于点$D$，$CD=4$
$\therefore ∠ B = 90° - ∠ A = 30°$
在$Rt△ ACD$中，$∠ ADC=90°$，$\sin A = \frac{CD}{AC}$
$\therefore AC = \frac{CD}{\sin60°} = \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$
在$Rt△ ABC$中，$∠ B=30°$
$\therefore AB = 2AC = \frac{16\sqrt{3}}{3}$
$\because \tan A = \frac{BC}{AC}$
$\therefore BC = AC·\tan60° = \frac{8\sqrt{3}}{3}×\sqrt{3} = 8$
综上：
(1) $a=35$，$∠ A=45°$，$∠ B=45°$；
(2) $∠ B=30°$，$a=5\sqrt{3}$，$c=10$；
(3) $∠ B=30°$，$AC=\frac{8\sqrt{3}}{3}$，$BC=8$，$AB=\frac{16\sqrt{3}}{3}$。
由勾股定理得：
$a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{(35\sqrt{2})^2 - 35^2} = 35$
$\because \cos A = \frac{b}{c} = \frac{35}{35\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\therefore ∠ A = 45°$
$\therefore ∠ B = 90° - ∠ A = 45°$
(2) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$b=5$，$∠ A=60°$
$\therefore ∠ B = 90° - ∠ A = 30°$
$\because \tan A = \frac{a}{b}$
$\therefore a = b·\tan60° = 5×\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$
$\because \cos A = \frac{b}{c}$
$\therefore c = \frac{b}{\cos60°} = \frac{5}{\frac{1}{2}} = 10$
(3) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=60°$，$CD⊥ AB$于点$D$，$CD=4$
$\therefore ∠ B = 90° - ∠ A = 30°$
在$Rt△ ACD$中，$∠ ADC=90°$，$\sin A = \frac{CD}{AC}$
$\therefore AC = \frac{CD}{\sin60°} = \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$
在$Rt△ ABC$中，$∠ B=30°$
$\therefore AB = 2AC = \frac{16\sqrt{3}}{3}$
$\because \tan A = \frac{BC}{AC}$
$\therefore BC = AC·\tan60° = \frac{8\sqrt{3}}{3}×\sqrt{3} = 8$
综上：
(1) $a=35$，$∠ A=45°$，$∠ B=45°$；
(2) $∠ B=30°$，$a=5\sqrt{3}$，$c=10$；
(3) $∠ B=30°$，$AC=\frac{8\sqrt{3}}{3}$，$BC=8$，$AB=\frac{16\sqrt{3}}{3}$。
解析
【分析】
解直角三角形的核心是求出三角形中所有未知的边和角，常用依据为直角三角形两锐角互余、勾股定理、锐角三角函数的边角关系，分小问思路如下：
(1) 已知斜边c和直角边b，先通过勾股定理求出另一条直角边a，再用余弦函数求出∠A的度数，最后利用两锐角互余求∠B；
(2) 已知锐角∠A和直角边b，先通过两锐角互余求出∠B，再分别用正切函数求直角边a、余弦函数求斜边c；
(3) 已知锐角∠A和斜边上的高CD，先求∠B的度数，再在Rt△ACD中用正弦函数求出AC的长度，最后回到Rt△ABC中，结合30°角的性质和正切函数求出AB、BC的长度。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$b=35$，$c=35\sqrt{2}$
由勾股定理得：
$a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{(35\sqrt{2})^2 - 35^2} = 35$
$\because \cos A = \frac{b}{c} = \frac{35}{35\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\therefore ∠ A = 45°$
$\therefore ∠ B = 90° - ∠ A = 45°$
(2) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$b=5$，$∠ A=60°$
$\therefore ∠ B = 90° - ∠ A = 30°$
$\because \tan A = \frac{a}{b}$
$\therefore a = b·\tan60° = 5×\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$
$\because \cos A = \frac{b}{c}$
$\therefore c = \frac{b}{\cos60°} = \frac{5}{\frac{1}{2}} = 10$
(3) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=60°$，$CD⊥ AB$于点$D$，$CD=4$
$\therefore ∠ B = 90° - ∠ A = 30°$
在$Rt△ ACD$中，$∠ ADC=90°$，$\sin A = \frac{CD}{AC}$
$\therefore AC = \frac{CD}{\sin60°} = \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$
在$Rt△ ABC$中，$∠ B=30°$
$\therefore AB = 2AC = \frac{16\sqrt{3}}{3}$
$\because \tan A = \frac{BC}{AC}$
$\therefore BC = AC·\tan60° = \frac{8\sqrt{3}}{3}×\sqrt{3} = 8$
【答案】
(1) $a=35$，$∠ A=45°$，$∠ B=45°$；
(2) $∠ B=30°$，$a=5\sqrt{3}$，$c=10$；
(3) $∠ B=30°$，$AC=\frac{8\sqrt{3}}{3}$，$BC=8$，$AB=\frac{16\sqrt{3}}{3}$。
【知识点】
解直角三角形，锐角三角函数，勾股定理
【点评】
本题是解直角三角形的基础常规题，覆盖了三类常见的解直角三角形考查场景，解题需熟练掌握直角三角形的边角关系，熟记特殊角的三角函数值，遇到含高的复合图形时可拆分出小直角三角形分步求解。
【难度系数】
0.8
解直角三角形的核心是求出三角形中所有未知的边和角，常用依据为直角三角形两锐角互余、勾股定理、锐角三角函数的边角关系，分小问思路如下：
(1) 已知斜边c和直角边b，先通过勾股定理求出另一条直角边a，再用余弦函数求出∠A的度数，最后利用两锐角互余求∠B；
(2) 已知锐角∠A和直角边b，先通过两锐角互余求出∠B，再分别用正切函数求直角边a、余弦函数求斜边c；
(3) 已知锐角∠A和斜边上的高CD，先求∠B的度数，再在Rt△ACD中用正弦函数求出AC的长度，最后回到Rt△ABC中，结合30°角的性质和正切函数求出AB、BC的长度。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$b=35$，$c=35\sqrt{2}$
由勾股定理得：
$a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{(35\sqrt{2})^2 - 35^2} = 35$
$\because \cos A = \frac{b}{c} = \frac{35}{35\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\therefore ∠ A = 45°$
$\therefore ∠ B = 90° - ∠ A = 45°$
(2) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$b=5$，$∠ A=60°$
$\therefore ∠ B = 90° - ∠ A = 30°$
$\because \tan A = \frac{a}{b}$
$\therefore a = b·\tan60° = 5×\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$
$\because \cos A = \frac{b}{c}$
$\therefore c = \frac{b}{\cos60°} = \frac{5}{\frac{1}{2}} = 10$
(3) 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=60°$，$CD⊥ AB$于点$D$，$CD=4$
$\therefore ∠ B = 90° - ∠ A = 30°$
在$Rt△ ACD$中，$∠ ADC=90°$，$\sin A = \frac{CD}{AC}$
$\therefore AC = \frac{CD}{\sin60°} = \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$
在$Rt△ ABC$中，$∠ B=30°$
$\therefore AB = 2AC = \frac{16\sqrt{3}}{3}$
$\because \tan A = \frac{BC}{AC}$
$\therefore BC = AC·\tan60° = \frac{8\sqrt{3}}{3}×\sqrt{3} = 8$
【答案】
(1) $a=35$，$∠ A=45°$，$∠ B=45°$；
(2) $∠ B=30°$，$a=5\sqrt{3}$，$c=10$；
(3) $∠ B=30°$，$AC=\frac{8\sqrt{3}}{3}$，$BC=8$，$AB=\frac{16\sqrt{3}}{3}$。
【知识点】
解直角三角形，锐角三角函数，勾股定理
【点评】
本题是解直角三角形的基础常规题，覆盖了三类常见的解直角三角形考查场景，解题需熟练掌握直角三角形的边角关系，熟记特殊角的三角函数值，遇到含高的复合图形时可拆分出小直角三角形分步求解。
【难度系数】
0.8
10.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,∠ADC=90°,AB=6,CD=4,BC的延长线与AD的延长线交于点E.
(1)若∠A=60°,求BC的长;
(2)若$\sin A=\frac{4}{5}$,求AD的长.
(1)若∠A=60°,求BC的长;
(2)若$\sin A=\frac{4}{5}$,求AD的长.
答案
解：
(1) 在$Rt△ ABE$中，$∠ A=60°$，$∠ ABE=90°$，$AB=6$，
$\because \tan A=\frac{BE}{AB}$，
$\therefore BE=AB·\tan60°=6\sqrt{3}$，
$\therefore ∠ E=90°-∠ A=30°$。
在$Rt△ CDE$中，$∠ CDE=90°$，$CD=4$，
$\because \sin E=\frac{CD}{CE}$，
$\therefore CE=\frac{CD}{\sin30°}=\frac{4}{\frac{1}{2}}=8$，
$\therefore BC=BE-CE=6\sqrt{3}-8$。
(2) 在$Rt△ ABE$中，$∠ ABE=90°$，$\sin A=\frac{4}{5}=\frac{BE}{AE}$，
设$BE=4k$，$AE=5k$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AE^2-BE^2}=\sqrt{(5k)^2-(4k)^2}=3k$，
$\because AB=6$，$\therefore 3k=6$，解得$k=2$，
$\therefore BE=8$，$AE=10$。
在$Rt△ CDE$中，$∠ CDE=90°$，
$\because ∠ E+∠ A=90°$，$\therefore \sin E=\cos A=\frac{3}{5}$，
$\because \sin E=\frac{CD}{CE}$，$CD=4$，
$\therefore CE=\frac{CD}{\sin E}=\frac{4}{\frac{3}{5}}=\frac{20}{3}$，
由勾股定理得：$DE=\sqrt{CE^2-CD^2}=\sqrt{(\frac{20}{3})^2-4^2}=\frac{16}{3}$，
$\therefore AD=AE-DE=10-\frac{16}{3}=\frac{14}{3}$。
答：(1) $BC$的长为$6\sqrt{3}-8$；(2) $AD$的长为$\frac{14}{3}$。
(1) 在$Rt△ ABE$中，$∠ A=60°$，$∠ ABE=90°$，$AB=6$，
$\because \tan A=\frac{BE}{AB}$，
$\therefore BE=AB·\tan60°=6\sqrt{3}$，
$\therefore ∠ E=90°-∠ A=30°$。
在$Rt△ CDE$中，$∠ CDE=90°$，$CD=4$，
$\because \sin E=\frac{CD}{CE}$，
$\therefore CE=\frac{CD}{\sin30°}=\frac{4}{\frac{1}{2}}=8$，
$\therefore BC=BE-CE=6\sqrt{3}-8$。
(2) 在$Rt△ ABE$中，$∠ ABE=90°$，$\sin A=\frac{4}{5}=\frac{BE}{AE}$，
设$BE=4k$，$AE=5k$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AE^2-BE^2}=\sqrt{(5k)^2-(4k)^2}=3k$，
$\because AB=6$，$\therefore 3k=6$，解得$k=2$，
$\therefore BE=8$，$AE=10$。
在$Rt△ CDE$中，$∠ CDE=90°$，
$\because ∠ E+∠ A=90°$，$\therefore \sin E=\cos A=\frac{3}{5}$，
$\because \sin E=\frac{CD}{CE}$，$CD=4$，
$\therefore CE=\frac{CD}{\sin E}=\frac{4}{\frac{3}{5}}=\frac{20}{3}$，
由勾股定理得：$DE=\sqrt{CE^2-CD^2}=\sqrt{(\frac{20}{3})^2-4^2}=\frac{16}{3}$，
$\therefore AD=AE-DE=10-\frac{16}{3}=\frac{14}{3}$。
答：(1) $BC$的长为$6\sqrt{3}-8$；(2) $AD$的长为$\frac{14}{3}$。
解析
【分析】
本题考查解直角三角形的应用，解题思路如下：
(1) 先在Rt△ABE中，利用∠A的正切值求出BE的长度，再根据直角三角形两锐角互余求出∠E的度数；接着在Rt△CDE中，利用∠E的正弦值求出CE的长度，最后根据BC=BE-CE即可求出结果。
(2) 先在Rt△ABE中，根据sinA的比值设参数，结合勾股定理和AB的长度求出参数值，进而得到AE、BE的长度；再根据∠A与∠E互余，得到sinE=cosA，在Rt△CDE中利用sinE求出CE的长度，用勾股定理求出DE的长度，最后根据AD=AE-DE计算即可。
【解析】
(1) 在$Rt△ABE$中，$∠A=60°$，$∠ABE=90°$，$AB=6$，
$\because \tan A=\frac{BE}{AB}$，
$\therefore BE=AB·\tan60°=6\sqrt{3}$，
$\therefore ∠E=90°-∠A=30°$。
在$Rt△CDE$中，$∠CDE=90°$，$CD=4$，
$\because \sin E=\frac{CD}{CE}$，
$\therefore CE=\frac{CD}{\sin30°}=\frac{4}{\frac{1}{2}}=8$，
$\therefore BC=BE-CE=6\sqrt{3}-8$。
(2) 在$Rt△ABE$中，$∠ABE=90°$，$\sin A=\frac{4}{5}=\frac{BE}{AE}$，
设$BE=4k$，$AE=5k$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AE^2-BE^2}=\sqrt{(5k)^2-(4k)^2}=3k$，
$\because AB=6$，$\therefore 3k=6$，解得$k=2$，
$\therefore BE=8$，$AE=10$。
在$Rt△CDE$中，$∠CDE=90°$，
$\because ∠E+∠A=90°$，$\therefore \sin E=\cos A=\frac{3}{5}$，
$\because \sin E=\frac{CD}{CE}$，$CD=4$，
$\therefore CE=\frac{CD}{\sin E}=\frac{4}{\frac{3}{5}}=\frac{20}{3}$，
由勾股定理得：$DE=\sqrt{CE^2-CD^2}=\sqrt{(\frac{20}{3})^2-4^2}=\frac{16}{3}$，
$\therefore AD=AE-DE=10-\frac{16}{3}=\frac{14}{3}$。
【答案】
(1) $BC$的长为$6\sqrt{3}-8$；(2) $AD$的长为$\frac{14}{3}$
【知识点】
锐角三角函数，勾股定理，直角三角形性质
【点评】
本题是解直角三角形的常规题型，通过公共角∠E关联两个直角三角形的边角关系，解题时需要熟练掌握三角函数定义、互余两角的三角函数关系，结合勾股定理逐步推导即可求解。
【难度系数】
0.6
本题考查解直角三角形的应用，解题思路如下：
(1) 先在Rt△ABE中，利用∠A的正切值求出BE的长度，再根据直角三角形两锐角互余求出∠E的度数；接着在Rt△CDE中，利用∠E的正弦值求出CE的长度，最后根据BC=BE-CE即可求出结果。
(2) 先在Rt△ABE中，根据sinA的比值设参数，结合勾股定理和AB的长度求出参数值，进而得到AE、BE的长度；再根据∠A与∠E互余，得到sinE=cosA，在Rt△CDE中利用sinE求出CE的长度，用勾股定理求出DE的长度，最后根据AD=AE-DE计算即可。
【解析】
(1) 在$Rt△ABE$中，$∠A=60°$，$∠ABE=90°$，$AB=6$，
$\because \tan A=\frac{BE}{AB}$，
$\therefore BE=AB·\tan60°=6\sqrt{3}$，
$\therefore ∠E=90°-∠A=30°$。
在$Rt△CDE$中，$∠CDE=90°$，$CD=4$，
$\because \sin E=\frac{CD}{CE}$，
$\therefore CE=\frac{CD}{\sin30°}=\frac{4}{\frac{1}{2}}=8$，
$\therefore BC=BE-CE=6\sqrt{3}-8$。
(2) 在$Rt△ABE$中，$∠ABE=90°$，$\sin A=\frac{4}{5}=\frac{BE}{AE}$，
设$BE=4k$，$AE=5k$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AE^2-BE^2}=\sqrt{(5k)^2-(4k)^2}=3k$，
$\because AB=6$，$\therefore 3k=6$，解得$k=2$，
$\therefore BE=8$，$AE=10$。
在$Rt△CDE$中，$∠CDE=90°$，
$\because ∠E+∠A=90°$，$\therefore \sin E=\cos A=\frac{3}{5}$，
$\because \sin E=\frac{CD}{CE}$，$CD=4$，
$\therefore CE=\frac{CD}{\sin E}=\frac{4}{\frac{3}{5}}=\frac{20}{3}$，
由勾股定理得：$DE=\sqrt{CE^2-CD^2}=\sqrt{(\frac{20}{3})^2-4^2}=\frac{16}{3}$，
$\therefore AD=AE-DE=10-\frac{16}{3}=\frac{14}{3}$。
【答案】
(1) $BC$的长为$6\sqrt{3}-8$；(2) $AD$的长为$\frac{14}{3}$
【知识点】
锐角三角函数，勾股定理，直角三角形性质
【点评】
本题是解直角三角形的常规题型，通过公共角∠E关联两个直角三角形的边角关系，解题时需要熟练掌握三角函数定义、互余两角的三角函数关系，结合勾股定理逐步推导即可求解。
【难度系数】
0.6
11. 如图,在$△ ABD$中,$AC\bot BD$,$AB=20$,$CD=9$,$\tan∠ ABC=\frac{3}{4}$,$BE$为$AD$边上的中线.
(1)求$BC$的长和$\sin D$的值;
(2)求$\tan∠ EBD$的值.
(1)求$BC$的长和$\sin D$的值;
(2)求$\tan∠ EBD$的值.
答案
解：
(1) ∵ $AC⊥ BD$，
∴ $∠ ACB=∠ ACD=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\tan∠ ABC=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{3}{4}$，
设$AC=3k$，$BC=4k$，由勾股定理得：
$AC^2+BC^2=AB^2$，
$\because AB=20$，
$\therefore (3k)^2+(4k)^2=20^2$，
解得$k=4$（$k＞0$），
$\therefore BC=4k=16$，$AC=3k=12$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，
$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{12^2+9^2}=15$，
$\therefore \sin D=\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{12}{15}=\dfrac{4}{5}$。
(2) 过点$E$作$EF⊥ BD$于点$F$，
$\because BE$为$AD$边上的中线，
$\therefore E$是$AD$的中点。
又$\because EF⊥ BD$，$AC⊥ BD$，
$\therefore EF// AC$，
$\therefore EF$是$△ ACD$的中位线，
$\therefore EF=\dfrac{1}{2}AC=6$，$CF=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{9}{2}$，
$\therefore BF=BC+CF=16+\dfrac{9}{2}=\dfrac{41}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ BEF$中，
$\tan∠ EBD=\dfrac{EF}{BF}=\dfrac{6}{\dfrac{41}{2}}=\dfrac{12}{41}$。
综上，(1) $BC$的长为$16$，$\sin D$的值为$\dfrac{4}{5}$；(2) $\tan∠ EBD$的值为$\dfrac{12}{41}$。
(1) ∵ $AC⊥ BD$，
∴ $∠ ACB=∠ ACD=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\tan∠ ABC=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{3}{4}$，
设$AC=3k$，$BC=4k$，由勾股定理得：
$AC^2+BC^2=AB^2$，
$\because AB=20$，
$\therefore (3k)^2+(4k)^2=20^2$，
解得$k=4$（$k＞0$），
$\therefore BC=4k=16$，$AC=3k=12$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，
$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{12^2+9^2}=15$，
$\therefore \sin D=\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{12}{15}=\dfrac{4}{5}$。
(2) 过点$E$作$EF⊥ BD$于点$F$，
$\because BE$为$AD$边上的中线，
$\therefore E$是$AD$的中点。
又$\because EF⊥ BD$，$AC⊥ BD$，
$\therefore EF// AC$，
$\therefore EF$是$△ ACD$的中位线，
$\therefore EF=\dfrac{1}{2}AC=6$，$CF=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{9}{2}$，
$\therefore BF=BC+CF=16+\dfrac{9}{2}=\dfrac{41}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ BEF$中，
$\tan∠ EBD=\dfrac{EF}{BF}=\dfrac{6}{\dfrac{41}{2}}=\dfrac{12}{41}$。
综上，(1) $BC$的长为$16$，$\sin D$的值为$\dfrac{4}{5}$；(2) $\tan∠ EBD$的值为$\dfrac{12}{41}$。
解析
【分析】
第(1)问题目分析：
已知$AC⊥ BD$，可得$△ ABC$和$△ ACD$均为直角三角形。题目给出$\tan∠ ABC=\frac{3}{4}$，即$\mathrm{Rt}△ ABC$中直角边$AC$与$BC$的比值为$3:4$，同时已知斜边$AB$的长度，因此可通过设参数$k$表示$AC$和$BC$，结合勾股定理列方程求出参数$k$，即可得到$BC$、$AC$的长度；再在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，用已得的$AC$和已知的$CD$，通过勾股定理算出$AD$的长，最后根据正弦函数的定义（对边比斜边）求出$\sin D$的值。
第(2)问题目分析：
要求$\tan∠ EBD$，正切值需要在直角三角形中用对边比邻边计算，因此需要过$E$作$BD$的垂线$EF$，构造包含$∠ EBD$的直角$△ BEF$。已知$BE$是$AD$边上的中线，说明$E$是$AD$中点，结合$AC⊥ BD$、$EF⊥ BD$可得$EF// AC$，因此$EF$是$△ ACD$的中位线，利用中位线性质可算出$EF$和$CF$的长度，进一步求出$BF$的长度，最后在$\mathrm{Rt}△ BEF$中计算正切值即可。
【解析】
(1) $\because AC⊥ BD$，
$\therefore ∠ ACB=∠ ACD=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\tan∠ ABC=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{3}{4}$，
设$AC=3k$，$BC=4k$，由勾股定理得：
$AC^2+BC^2=AB^2$，
$\because AB=20$，
$\therefore (3k)^2+(4k)^2=20^2$，
解得$k=4$（$k＞0$），
$\therefore BC=4k=16$，$AC=3k=12$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，
$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{12^2+9^2}=15$，
$\therefore \sin D=\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{12}{15}=\dfrac{4}{5}$。
(2) 过点$E$作$EF⊥ BD$于点$F$，
$\because BE$为$AD$边上的中线，
$\therefore E$是$AD$的中点。
又$\because EF⊥ BD$，$AC⊥ BD$，
$\therefore EF// AC$，
$\therefore EF$是$△ ACD$的中位线，
$\therefore EF=\dfrac{1}{2}AC=6$，$CF=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{9}{2}$，
$\therefore BF=BC+CF=16+\dfrac{9}{2}=\dfrac{41}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ BEF$中，
$\tan∠ EBD=\dfrac{EF}{BF}=\dfrac{6}{\dfrac{41}{2}}=\dfrac{12}{41}$。
【答案】
(1) $BC$的长为$\boldsymbol{16}$，$\sin D$的值为$\boldsymbol{\dfrac{4}{5}}$；
(2) $\tan∠ EBD$的值为$\boldsymbol{\dfrac{12}{41}}$。
【知识点】
锐角三角函数，勾股定理，三角形中位线定理
【点评】
本题是解直角三角形的典型习题，将锐角三角函数、勾股定理与三角形中位线的知识结合考查，解题关键是合理利用直角三角形的性质，必要时构造直角三角形将所求角放入直角三角形中计算，掌握构造直角三角形的常用辅助线做法能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
第(1)问题目分析：
已知$AC⊥ BD$，可得$△ ABC$和$△ ACD$均为直角三角形。题目给出$\tan∠ ABC=\frac{3}{4}$，即$\mathrm{Rt}△ ABC$中直角边$AC$与$BC$的比值为$3:4$，同时已知斜边$AB$的长度，因此可通过设参数$k$表示$AC$和$BC$，结合勾股定理列方程求出参数$k$，即可得到$BC$、$AC$的长度；再在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，用已得的$AC$和已知的$CD$，通过勾股定理算出$AD$的长，最后根据正弦函数的定义（对边比斜边）求出$\sin D$的值。
第(2)问题目分析：
要求$\tan∠ EBD$，正切值需要在直角三角形中用对边比邻边计算，因此需要过$E$作$BD$的垂线$EF$，构造包含$∠ EBD$的直角$△ BEF$。已知$BE$是$AD$边上的中线，说明$E$是$AD$中点，结合$AC⊥ BD$、$EF⊥ BD$可得$EF// AC$，因此$EF$是$△ ACD$的中位线，利用中位线性质可算出$EF$和$CF$的长度，进一步求出$BF$的长度，最后在$\mathrm{Rt}△ BEF$中计算正切值即可。
【解析】
(1) $\because AC⊥ BD$，
$\therefore ∠ ACB=∠ ACD=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$\tan∠ ABC=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{3}{4}$，
设$AC=3k$，$BC=4k$，由勾股定理得：
$AC^2+BC^2=AB^2$，
$\because AB=20$，
$\therefore (3k)^2+(4k)^2=20^2$，
解得$k=4$（$k＞0$），
$\therefore BC=4k=16$，$AC=3k=12$。
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，
$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{12^2+9^2}=15$，
$\therefore \sin D=\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{12}{15}=\dfrac{4}{5}$。
(2) 过点$E$作$EF⊥ BD$于点$F$，
$\because BE$为$AD$边上的中线，
$\therefore E$是$AD$的中点。
又$\because EF⊥ BD$，$AC⊥ BD$，
$\therefore EF// AC$，
$\therefore EF$是$△ ACD$的中位线，
$\therefore EF=\dfrac{1}{2}AC=6$，$CF=\dfrac{1}{2}CD=\dfrac{9}{2}$，
$\therefore BF=BC+CF=16+\dfrac{9}{2}=\dfrac{41}{2}$。
在$\mathrm{Rt}△ BEF$中，
$\tan∠ EBD=\dfrac{EF}{BF}=\dfrac{6}{\dfrac{41}{2}}=\dfrac{12}{41}$。
【答案】
(1) $BC$的长为$\boldsymbol{16}$，$\sin D$的值为$\boldsymbol{\dfrac{4}{5}}$；
(2) $\tan∠ EBD$的值为$\boldsymbol{\dfrac{12}{41}}$。
【知识点】
锐角三角函数，勾股定理，三角形中位线定理
【点评】
本题是解直角三角形的典型习题，将锐角三角函数、勾股定理与三角形中位线的知识结合考查，解题关键是合理利用直角三角形的性质，必要时构造直角三角形将所求角放入直角三角形中计算，掌握构造直角三角形的常用辅助线做法能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
12.在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点$E,∠BAC=90°,∠CED=45°,∠DCE=30°,DE=\sqrt{2},BE=2\sqrt{2}.$求四边形ABCD的面积.
答案
解：过点D作$DF ⊥ AC$于点F。
1. 在$\mathrm{Rt}△ DEF$中，$∠ DFE=90°$，$∠ DEF=∠ CED=45°$，$DE=\sqrt{2}$，
$\therefore DF=DE·\sin45°=\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=1$，$EF=DE·\cos45°=1$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ DFC$中，$∠ DFC=90°$，$∠ DCF=30°$，
$\therefore FC=DF·\cot30°=\sqrt{3}$，
$\therefore EC=EF+FC=1+\sqrt{3}$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ BAE=90°$，$∠ AEB=∠ CED=45°$，$BE=2\sqrt{2}$，
$\therefore AE=BE·\cos45°=2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=2$，$AB=AE=2$，
$\therefore AC=AE+EC=2+1+\sqrt{3}=3+\sqrt{3}$。
4. 四边形$ABCD$的面积可拆分为$△ ABC$和$△ ADC$的面积之和：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AB· AC=\frac{1}{2}×2×(3+\sqrt{3})=3+\sqrt{3}$，
$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}· DF· AC=\frac{1}{2}×1×(3+\sqrt{3})=\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ADC}=3+\sqrt{3}+\frac{3+\sqrt{3}}{2}=\frac{9+3\sqrt{3}}{2}$。
答：四边形$ABCD$的面积为$\frac{9+3\sqrt{3}}{2}$。
1. 在$\mathrm{Rt}△ DEF$中，$∠ DFE=90°$，$∠ DEF=∠ CED=45°$，$DE=\sqrt{2}$，
$\therefore DF=DE·\sin45°=\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=1$，$EF=DE·\cos45°=1$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ DFC$中，$∠ DFC=90°$，$∠ DCF=30°$，
$\therefore FC=DF·\cot30°=\sqrt{3}$，
$\therefore EC=EF+FC=1+\sqrt{3}$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ BAE=90°$，$∠ AEB=∠ CED=45°$，$BE=2\sqrt{2}$，
$\therefore AE=BE·\cos45°=2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=2$，$AB=AE=2$，
$\therefore AC=AE+EC=2+1+\sqrt{3}=3+\sqrt{3}$。
4. 四边形$ABCD$的面积可拆分为$△ ABC$和$△ ADC$的面积之和：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AB· AC=\frac{1}{2}×2×(3+\sqrt{3})=3+\sqrt{3}$，
$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}· DF· AC=\frac{1}{2}×1×(3+\sqrt{3})=\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ADC}=3+\sqrt{3}+\frac{3+\sqrt{3}}{2}=\frac{9+3\sqrt{3}}{2}$。
答：四边形$ABCD$的面积为$\frac{9+3\sqrt{3}}{2}$。
解析
【分析】
要求不规则四边形ABCD的面积，可将其拆分为△ABC和△ADC两个三角形的面积之和，两个三角形有公共底AC，因此只需分别求出AC的长度、△ABC的高AB、△ADC的高DF即可。已知图形包含90°、45°、30°等特殊角，可通过过点D作DF⊥AC构造直角三角形，结合特殊角的三角函数值依次计算各线段长度，最后代入面积公式求和即可。
【解析】
过点D作$DF ⊥ AC$于点F。
1. 在$\mathrm{Rt}△ DEF$中，$∠ DFE=90°$，$∠ DEF=∠ CED=45°$，$DE=\sqrt{2}$，
由三角函数定义得：$DF=DE·\sin45°=\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=1$，$EF=DE·\cos45°=1$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ DFC$中，$∠ DFC=90°$，$∠ DCF=30°$，
$\therefore FC=DF·\cot30°=\sqrt{3}$，
$\therefore EC=EF+FC=1+\sqrt{3}$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ BAE=90°$，$∠ AEB=∠ CED=45°$，$BE=2\sqrt{2}$，
$\therefore AE=BE·\cos45°=2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=2$，$AB=AE=2$，
$\therefore AC=AE+EC=2+1+\sqrt{3}=3+\sqrt{3}$。
4. 四边形$ABCD$的面积为$△ ABC$和$△ ADC$的面积之和：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AB· AC=\frac{1}{2}×2×(3+\sqrt{3})=3+\sqrt{3}$，
$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}· DF· AC=\frac{1}{2}×1×(3+\sqrt{3})=\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ADC}=3+\sqrt{3}+\frac{3+\sqrt{3}}{2}=\frac{9+3\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\frac{9+3\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
解直角三角形，特殊角的三角函数值，割补法求面积
【点评】
本题核心是通过作辅助线构造直角三角形，将不规则四边形的面积转化为两个同底三角形的面积和，解题过程中需要熟练运用特殊角的三角函数值求解线段长度，考查了转化思想和运算能力。
【难度系数】
0.6
要求不规则四边形ABCD的面积，可将其拆分为△ABC和△ADC两个三角形的面积之和，两个三角形有公共底AC，因此只需分别求出AC的长度、△ABC的高AB、△ADC的高DF即可。已知图形包含90°、45°、30°等特殊角，可通过过点D作DF⊥AC构造直角三角形，结合特殊角的三角函数值依次计算各线段长度，最后代入面积公式求和即可。
【解析】
过点D作$DF ⊥ AC$于点F。
1. 在$\mathrm{Rt}△ DEF$中，$∠ DFE=90°$，$∠ DEF=∠ CED=45°$，$DE=\sqrt{2}$，
由三角函数定义得：$DF=DE·\sin45°=\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=1$，$EF=DE·\cos45°=1$。
2. 在$\mathrm{Rt}△ DFC$中，$∠ DFC=90°$，$∠ DCF=30°$，
$\therefore FC=DF·\cot30°=\sqrt{3}$，
$\therefore EC=EF+FC=1+\sqrt{3}$。
3. 在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ BAE=90°$，$∠ AEB=∠ CED=45°$，$BE=2\sqrt{2}$，
$\therefore AE=BE·\cos45°=2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=2$，$AB=AE=2$，
$\therefore AC=AE+EC=2+1+\sqrt{3}=3+\sqrt{3}$。
4. 四边形$ABCD$的面积为$△ ABC$和$△ ADC$的面积之和：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}· AB· AC=\frac{1}{2}×2×(3+\sqrt{3})=3+\sqrt{3}$，
$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}· DF· AC=\frac{1}{2}×1×(3+\sqrt{3})=\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD}=S_{△ ABC}+S_{△ ADC}=3+\sqrt{3}+\frac{3+\sqrt{3}}{2}=\frac{9+3\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
$\frac{9+3\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
解直角三角形，特殊角的三角函数值，割补法求面积
【点评】
本题核心是通过作辅助线构造直角三角形，将不规则四边形的面积转化为两个同底三角形的面积和，解题过程中需要熟练运用特殊角的三角函数值求解线段长度，考查了转化思想和运算能力。
【难度系数】
0.6
