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8.如图所示,某圆锥的高为 12 cm,底面积为 $432π \mathrm{cm}^2$,求锥角的大小.
答案
解：
设圆锥的底面半径为$r\ \mathrm{cm}$，
由底面积为$432π\ \mathrm{cm}^2$，得$π r^2=432π$，
解得$r=12\sqrt{3}$，即$OB=12\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
由题意知$AO⊥ OB$，$AO=12\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，
$\tan∠ OAB=\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{12\sqrt{3}}{12}=\sqrt{3}$，
$\therefore ∠ OAB=60°$，
圆锥的锥角为轴截面等腰三角形的顶角，即$∠ BAC=2∠ OAB=120°$。
答：该圆锥的锥角为$120°$。
设圆锥的底面半径为$r\ \mathrm{cm}$，
由底面积为$432π\ \mathrm{cm}^2$，得$π r^2=432π$，
解得$r=12\sqrt{3}$，即$OB=12\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
由题意知$AO⊥ OB$，$AO=12\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，
$\tan∠ OAB=\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{12\sqrt{3}}{12}=\sqrt{3}$，
$\therefore ∠ OAB=60°$，
圆锥的锥角为轴截面等腰三角形的顶角，即$∠ BAC=2∠ OAB=120°$。
答：该圆锥的锥角为$120°$。
解析
【分析】
要计算圆锥的锥角，首先明确锥角是圆锥轴截面等腰三角形的顶角，可通过求半锥角再翻倍得到。解题分三步进行：第一步，利用已知的底面积，结合圆的面积公式求出底面半径；第二步，在圆锥高、底面半径、母线构成的直角三角形中，通过锐角三角函数求出半锥角的度数；第三步，将半锥角乘2得到锥角的大小。
【解析】
设圆锥的底面半径为$r\ \mathrm{cm}$，
根据圆的面积公式，由底面积为$432π\ \mathrm{cm}^2$可得：
$π r^2=432π$，
两边同时除以$π$得$r^2=432$，解得$r=12\sqrt{3}$（半径为正数，舍去负根），即$OB=12\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
由圆锥的性质可知$AO⊥ OB$，且$AO=12\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，根据正切的定义：
$\tan∠ OAB=\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{12\sqrt{3}}{12}=\sqrt{3}$，
因为$\tan60°=\sqrt{3}$，所以$∠ OAB=60°$，
圆锥的锥角为轴截面等腰三角形的顶角，因此锥角大小为$2∠ OAB=2×60°=120°$。
【答案】
$120°$
【知识点】
圆锥的性质，解直角三角形，圆的面积计算
【点评】
本题是圆锥性质与锐角三角函数的综合基础题，解题的核心是明确锥角的定义，理清圆锥各线段之间的数量关系，再结合特殊角的三角函数值即可求解。
【难度系数】
0.7
要计算圆锥的锥角，首先明确锥角是圆锥轴截面等腰三角形的顶角，可通过求半锥角再翻倍得到。解题分三步进行：第一步，利用已知的底面积，结合圆的面积公式求出底面半径；第二步，在圆锥高、底面半径、母线构成的直角三角形中，通过锐角三角函数求出半锥角的度数；第三步，将半锥角乘2得到锥角的大小。
【解析】
设圆锥的底面半径为$r\ \mathrm{cm}$，
根据圆的面积公式，由底面积为$432π\ \mathrm{cm}^2$可得：
$π r^2=432π$，
两边同时除以$π$得$r^2=432$，解得$r=12\sqrt{3}$（半径为正数，舍去负根），即$OB=12\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
由圆锥的性质可知$AO⊥ OB$，且$AO=12\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，根据正切的定义：
$\tan∠ OAB=\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{12\sqrt{3}}{12}=\sqrt{3}$，
因为$\tan60°=\sqrt{3}$，所以$∠ OAB=60°$，
圆锥的锥角为轴截面等腰三角形的顶角，因此锥角大小为$2∠ OAB=2×60°=120°$。
【答案】
$120°$
【知识点】
圆锥的性质，解直角三角形，圆的面积计算
【点评】
本题是圆锥性质与锐角三角函数的综合基础题，解题的核心是明确锥角的定义，理清圆锥各线段之间的数量关系，再结合特殊角的三角函数值即可求解。
【难度系数】
0.7
9.利用计算器,求下表三角函数值(精确到0.0001),其中0°＜α＜90°.
(1)通过计算发现
①$\sinα$的值是随着$α$的增大而；
②$\cosα$的值是随着$α$的增大而；
③$\tanα$的值是随着$α$的增大而.
(2)利用上述规律判断$\sin44°,\cos44°,\tan46°$的大小关系.
(1)通过计算发现
①$\sinα$的值是随着$α$的增大而；
②$\cosα$的值是随着$α$的增大而；
③$\tanα$的值是随着$α$的增大而.
(2)利用上述规律判断$\sin44°,\cos44°,\tan46°$的大小关系.
答案
解：
计算得表格中各三角函数值（精确到0.0001）如下：
| 函数值 | $10°$ | $30°$ | $50°$ | $70°$ | $80°$ | $89°$ |
|--------|------------|------------|------------|------------|------------|------------|
| $\sinα$ | 0.1736 | 0.5000 | 0.7660 | 0.9397 | 0.9848 | 0.9998 |
| $\cosα$ | 0.9848 | 0.8660 | 0.6428 | 0.3420 | 0.1736 | 0.0175 |
| $\tanα$ | 0.1763 | 0.5774 | 1.1918 | 2.7475 | 5.6713 | 57.2900 |
(1) ①增大；②减小；③增大。
(2) 由互余角的三角函数关系得：$\cos44°=\sin(90°-44°)=\sin46°$。
因为$\sinα$随$α$的增大而增大，所以$\sin44°＜\sin46°$，即$\sin44°＜\cos44°$。
因为$\tanα$随$α$的增大而增大，且$\tan45°=1$，所以$\tan46°＞\tan45°=1$。
又因为$0＜\cos44°＜1$，所以$\cos44°＜\tan46°$。
综上可得大小关系为：$\sin44°＜\cos44°＜\tan46°$。
计算得表格中各三角函数值（精确到0.0001）如下：
| 函数值 | $10°$ | $30°$ | $50°$ | $70°$ | $80°$ | $89°$ |
|--------|------------|------------|------------|------------|------------|------------|
| $\sinα$ | 0.1736 | 0.5000 | 0.7660 | 0.9397 | 0.9848 | 0.9998 |
| $\cosα$ | 0.9848 | 0.8660 | 0.6428 | 0.3420 | 0.1736 | 0.0175 |
| $\tanα$ | 0.1763 | 0.5774 | 1.1918 | 2.7475 | 5.6713 | 57.2900 |
(1) ①增大；②减小；③增大。
(2) 由互余角的三角函数关系得：$\cos44°=\sin(90°-44°)=\sin46°$。
因为$\sinα$随$α$的增大而增大，所以$\sin44°＜\sin46°$，即$\sin44°＜\cos44°$。
因为$\tanα$随$α$的增大而增大，且$\tan45°=1$，所以$\tan46°＞\tan45°=1$。
又因为$0＜\cos44°＜1$，所以$\cos44°＜\tan46°$。
综上可得大小关系为：$\sin44°＜\cos44°＜\tan46°$。
解析
【分析】
首先我们需要借助计算器计算出表格中对应角度的正弦、余弦、正切值，精确到0.0001，再观察数值变化，总结出三个锐角三角函数随角度增大的变化规律；第二问比较大小时，先利用互余角的三角函数关系将余弦转化为正弦，结合正弦的增减性比较前两个值的大小，再利用tan45°=1作为中间值，结合正切的增减性比较后两个值的大小，最终得到三者的大小关系。
【解析】
首先用计算器计算得各三角函数值（精确到0.0001）如下：
| 函数值 | $10°$ | $30°$ | $50°$ | $70°$ | $80°$ | $89°$ |
|--------|------------|------------|------------|------------|------------|------------|
| $\sinα$ | 0.1736 | 0.5000 | 0.7660 | 0.9397 | 0.9848 | 0.9998 |
| $\cosα$ | 0.9848 | 0.8660 | 0.6428 | 0.3420 | 0.1736 | 0.0175 |
| $\tanα$ | 0.1763 | 0.5774 | 1.1918 | 2.7475 | 5.6713 | 57.2900 |
(1)观察上述数值总结规律：
①α从10°逐渐增大到89°时，sinα的数值逐渐变大，因此$\sinα$的值随着$α$的增大而增大；
②α从10°逐渐增大到89°时，cosα的数值逐渐变小，因此$\cosα$的值随着$α$的增大而减小；
③α从10°逐渐增大到89°时，tanα的数值逐渐变大，因此$\tanα$的值随着$α$的增大而增大。
(2)比较大小：
第一步，根据互余角的三角函数关系$\cosα=\sin(90°-α)$，可得$\cos44°=\sin(90°-44°)=\sin46°$，结合正弦的增减性，$44°＜46°$，因此$\sin44°＜\sin46°$，即$\sin44°＜\cos44°$；
第二步，结合正切的增减性，$46°＞45°$，因此$\tan46°＞\tan45°=1$，而锐角的余弦值都小于1，即$\cos44°＜1$，因此$\cos44°＜\tan46°$。
综上可得三者大小关系。
【答案】
(1)①增大；②减小；③增大
(2)$\sin44°＜\cos44°＜\tan46°$
【知识点】
锐角三角函数的增减性，互余角的三角函数关系，计算器求三角函数值
【点评】
本题结合计算器计算操作，考查锐角三角函数增减性的实际应用，解题关键是能通过互余关系统一函数类型，还可借助特殊角的三角函数值作为中间量辅助比较大小，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
首先我们需要借助计算器计算出表格中对应角度的正弦、余弦、正切值，精确到0.0001，再观察数值变化，总结出三个锐角三角函数随角度增大的变化规律；第二问比较大小时，先利用互余角的三角函数关系将余弦转化为正弦，结合正弦的增减性比较前两个值的大小，再利用tan45°=1作为中间值，结合正切的增减性比较后两个值的大小，最终得到三者的大小关系。
【解析】
首先用计算器计算得各三角函数值（精确到0.0001）如下：
| 函数值 | $10°$ | $30°$ | $50°$ | $70°$ | $80°$ | $89°$ |
|--------|------------|------------|------------|------------|------------|------------|
| $\sinα$ | 0.1736 | 0.5000 | 0.7660 | 0.9397 | 0.9848 | 0.9998 |
| $\cosα$ | 0.9848 | 0.8660 | 0.6428 | 0.3420 | 0.1736 | 0.0175 |
| $\tanα$ | 0.1763 | 0.5774 | 1.1918 | 2.7475 | 5.6713 | 57.2900 |
(1)观察上述数值总结规律：
①α从10°逐渐增大到89°时，sinα的数值逐渐变大，因此$\sinα$的值随着$α$的增大而增大；
②α从10°逐渐增大到89°时，cosα的数值逐渐变小，因此$\cosα$的值随着$α$的增大而减小；
③α从10°逐渐增大到89°时，tanα的数值逐渐变大，因此$\tanα$的值随着$α$的增大而增大。
(2)比较大小：
第一步，根据互余角的三角函数关系$\cosα=\sin(90°-α)$，可得$\cos44°=\sin(90°-44°)=\sin46°$，结合正弦的增减性，$44°＜46°$，因此$\sin44°＜\sin46°$，即$\sin44°＜\cos44°$；
第二步，结合正切的增减性，$46°＞45°$，因此$\tan46°＞\tan45°=1$，而锐角的余弦值都小于1，即$\cos44°＜1$，因此$\cos44°＜\tan46°$。
综上可得三者大小关系。
【答案】
(1)①增大；②减小；③增大
(2)$\sin44°＜\cos44°＜\tan46°$
【知识点】
锐角三角函数的增减性，互余角的三角函数关系，计算器求三角函数值
【点评】
本题结合计算器计算操作，考查锐角三角函数增减性的实际应用，解题关键是能通过互余关系统一函数类型，还可借助特殊角的三角函数值作为中间量辅助比较大小，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
