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1. 多项式
(1)定义:几个的和叫作多项式；
(2)多项式的项:多项式中每个单项式叫作多项式的，不含字母的项叫作；
(3)多项式的次数:多项式里，的次数，叫作这个多项式的次数.
2. 整式
与统称整式.
1. 多项式
(1)定义:几个的和叫作多项式；
(2)多项式的项:多项式中每个单项式叫作多项式的，不含字母的项叫作；
(3)多项式的次数:多项式里，的次数，叫作这个多项式的次数.
2. 整式
与统称整式.
答案
解：
1. (1) 单项式
(2) 项；常数项
(3) 次数最高的项
2. 单项式；多项式
1. (1) 单项式
(2) 项；常数项
(3) 次数最高的项
2. 单项式；多项式
解析
【分析】
本题是基础概念识记类题目，考察多项式与整式的相关基础定义，所有考点均来自教材对应内容，解题时只需回忆各概念的标准表述，逐空匹配填写即可，无需复杂推导。
【解析】
1. (1) 根据多项式的定义：几个单项式的和叫作多项式，因此此处填单项式；
(2) 根据多项式项的相关定义：多项式中每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项，因此依次填项、常数项；
(3) 根据多项式次数的定义：多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数，因此此处填次数最高的项；
2. 根据整式的定义：单项式与多项式统称整式，因此依次填单项式、多项式。
【答案】
1. (1) 单项式
(2) 项；常数项
(3) 次数最高的项
2. 单项式；多项式
【知识点】
多项式的有关概念；整式的定义
【点评】
本题属于基础题型，重点考察对代数基础概念的识记掌握情况，熟练掌握教材相关定义即可快速解答，是后续学习整式运算的基础。
【难度系数】
0.9
本题是基础概念识记类题目，考察多项式与整式的相关基础定义，所有考点均来自教材对应内容，解题时只需回忆各概念的标准表述，逐空匹配填写即可，无需复杂推导。
【解析】
1. (1) 根据多项式的定义：几个单项式的和叫作多项式，因此此处填单项式；
(2) 根据多项式项的相关定义：多项式中每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项，因此依次填项、常数项；
(3) 根据多项式次数的定义：多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数，因此此处填次数最高的项；
2. 根据整式的定义：单项式与多项式统称整式，因此依次填单项式、多项式。
【答案】
1. (1) 单项式
(2) 项；常数项
(3) 次数最高的项
2. 单项式；多项式
【知识点】
多项式的有关概念；整式的定义
【点评】
本题属于基础题型，重点考察对代数基础概念的识记掌握情况，熟练掌握教材相关定义即可快速解答，是后续学习整式运算的基础。
【难度系数】
0.9
探究点1 多项式的有关概念
【例1】填表：
解透重点
(1)多项式的每一项都包括它前面的符号；
(2)多项式的项数是指多项式中所包含的单项式的个数；
(3)多项式的次数是次数最高的项的次数，而不是各项次数的和。
【例1】填表：
解透重点
(1)多项式的每一项都包括它前面的符号；
(2)多项式的项数是指多项式中所包含的单项式的个数；
(3)多项式的次数是次数最高的项的次数，而不是各项次数的和。
答案
解：
|多项式|项|次数|
| ---- | ---- | ---- |
|$x^5-2x^2-1$|$x^5$，$-2x^2$，$-1$|$5$|
|$-3a^2-3b^3+3$|$-3a^2$，$-3b^3$，$3$|$3$|
|$-x^6+2x^5y-x^3y^4+2xy^3-1$|$-x^6$，$2x^5y$，$-x^3y^4$，$2xy^3$，$-1$|$7$|
|多项式|项|次数|
| ---- | ---- | ---- |
|$x^5-2x^2-1$|$x^5$，$-2x^2$，$-1$|$5$|
|$-3a^2-3b^3+3$|$-3a^2$，$-3b^3$，$3$|$3$|
|$-x^6+2x^5y-x^3y^4+2xy^3-1$|$-x^6$，$2x^5y$，$-x^3y^4$，$2xy^3$，$-1$|$7$|
解析
【分析】
要完成表格填写，需掌握多项式的两个核心概念：①多项式的项：组成多项式的每个单项式都是多项式的项，注意项要包含它前面的正负符号；②多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数就是该多项式的次数，其中单项式的次数是单项式里所有字母的指数和，常数项的次数为0。解题时先把每个多项式拆分成独立的单项式得到所有项，再计算每个项的次数，取最高值就是多项式的次数。
【解析】
1. 处理多项式$x^5 - 2x^2 - 1$：
拆分后得到单项式$x^5$、$-2x^2$、$-1$，即它的项为$x^5$，$-2x^2$，$-1$；
各单项次数分别为5、2、0，最高次数为5，因此该多项式次数是5。
2. 处理多项式$-3a^2 - 3b^3 + 3$：
拆分后得到单项式$-3a^2$、$-3b^3$、$3$，即它的项为$-3a^2$，$-3b^3$，$3$；
各单项次数分别为2、3、0，最高次数为3，因此该多项式次数是3。
3. 处理多项式$-x^6 + 2x^5y - x^3y^4 + 2xy^3 - 1$：
拆分后得到单项式$-x^6$、$2x^5y$、$-x^3y^4$、$2xy^3$、$-1$，即它的项为$-x^6$，$2x^5y$，$-x^3y^4$，$2xy^3$，$-1$；
各单项次数分别为6、$5+1=6$、$3+4=7$、$1+3=4$、0，最高次数为7，因此该多项式次数是7。
【答案】
|多项式|项|次数|
| ---- | ---- | ---- |
|$x^5-2x^2-1$|$x^5$，$-2x^2$，$-1$|$5$|
|$-3a^2-3b^3+3$|$-3a^2$，$-3b^3$，$3$|$3$|
|$-x^6+2x^5y-x^3y^4+2xy^3-1$|$-x^6$，$2x^5y$，$-x^3y^4$，$2xy^3$，$-1$|$7$|
【知识点】
多项式的项，多项式的次数，单项式的次数
【点评】
本题属于多项式概念的基础考察题，易错点主要有两处：一是写项时漏掉项前面的负号，二是计算次数时错误将所有项的次数相加，或者计算单项式次数时漏加某字母的指数，牢记相关定义就能规避错误。
【难度系数】
0.8
要完成表格填写，需掌握多项式的两个核心概念：①多项式的项：组成多项式的每个单项式都是多项式的项，注意项要包含它前面的正负符号；②多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数就是该多项式的次数，其中单项式的次数是单项式里所有字母的指数和，常数项的次数为0。解题时先把每个多项式拆分成独立的单项式得到所有项，再计算每个项的次数，取最高值就是多项式的次数。
【解析】
1. 处理多项式$x^5 - 2x^2 - 1$：
拆分后得到单项式$x^5$、$-2x^2$、$-1$，即它的项为$x^5$，$-2x^2$，$-1$；
各单项次数分别为5、2、0，最高次数为5，因此该多项式次数是5。
2. 处理多项式$-3a^2 - 3b^3 + 3$：
拆分后得到单项式$-3a^2$、$-3b^3$、$3$，即它的项为$-3a^2$，$-3b^3$，$3$；
各单项次数分别为2、3、0，最高次数为3，因此该多项式次数是3。
3. 处理多项式$-x^6 + 2x^5y - x^3y^4 + 2xy^3 - 1$：
拆分后得到单项式$-x^6$、$2x^5y$、$-x^3y^4$、$2xy^3$、$-1$，即它的项为$-x^6$，$2x^5y$，$-x^3y^4$，$2xy^3$，$-1$；
各单项次数分别为6、$5+1=6$、$3+4=7$、$1+3=4$、0，最高次数为7，因此该多项式次数是7。
【答案】
|多项式|项|次数|
| ---- | ---- | ---- |
|$x^5-2x^2-1$|$x^5$，$-2x^2$，$-1$|$5$|
|$-3a^2-3b^3+3$|$-3a^2$，$-3b^3$，$3$|$3$|
|$-x^6+2x^5y-x^3y^4+2xy^3-1$|$-x^6$，$2x^5y$，$-x^3y^4$，$2xy^3$，$-1$|$7$|
【知识点】
多项式的项，多项式的次数，单项式的次数
【点评】
本题属于多项式概念的基础考察题，易错点主要有两处：一是写项时漏掉项前面的负号，二是计算次数时错误将所有项的次数相加，或者计算单项式次数时漏加某字母的指数，牢记相关定义就能规避错误。
【难度系数】
0.8
【变式1】多项式$2x^{|m|} -2x + mx +1$是关于x的二次三项式，则m的值为。
答案
解：
因为多项式$2x^{|m|} -2x + mx +1$是关于$x$的二次三项式，
所以最高次项的次数为2，即$|m|=2$，
解得$m=2$或$m=-2$。
合并一次项可得：$-2x + mx = (m-2)x$，
由多项式是三项式可知一次项系数不为0，即$m-2≠0$，得$m≠2$。
综上，$m$的值为$-2$。
因为多项式$2x^{|m|} -2x + mx +1$是关于$x$的二次三项式，
所以最高次项的次数为2，即$|m|=2$，
解得$m=2$或$m=-2$。
合并一次项可得：$-2x + mx = (m-2)x$，
由多项式是三项式可知一次项系数不为0，即$m-2≠0$，得$m≠2$。
综上，$m$的值为$-2$。
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确二次三项式的定义：“二次”指多项式中最高次项的次数为2，“三项式”指合并同类项后多项式共有3个不含同类项的项。解题时先根据“二次”的条件求出m的可能取值，再结合“三项式”的条件排除不符合要求的取值，最终得到m的正确值。
【解析】
解：
∵多项式$2x^{|m|} -2x + mx +1$是关于x的二次三项式，
∴最高次项的次数为2，即$|m|=2$，
解得$m=2$或$m=-2$。
对多项式中的一次项合并同类项可得：$-2x + mx = (m-2)x$，
∵该多项式是三项式，
∴合并后一次项不能消失，即一次项系数不为0，
∴$m-2≠0$，解得$m≠2$。
综上，m的值为$-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
多项式的概念，绝对值的性质，合并同类项
【点评】
本题是多项式概念的典型应用题，解题时需同时满足次数和项数两个限制条件，易错点是容易忽略合并同类项后一次项系数不能为0的要求，直接得出$m=\pm2$的错误结论，审题时要注意深挖“三项式”的隐含条件。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先要明确二次三项式的定义：“二次”指多项式中最高次项的次数为2，“三项式”指合并同类项后多项式共有3个不含同类项的项。解题时先根据“二次”的条件求出m的可能取值，再结合“三项式”的条件排除不符合要求的取值，最终得到m的正确值。
【解析】
解：
∵多项式$2x^{|m|} -2x + mx +1$是关于x的二次三项式，
∴最高次项的次数为2，即$|m|=2$，
解得$m=2$或$m=-2$。
对多项式中的一次项合并同类项可得：$-2x + mx = (m-2)x$，
∵该多项式是三项式，
∴合并后一次项不能消失，即一次项系数不为0，
∴$m-2≠0$，解得$m≠2$。
综上，m的值为$-2$。
【答案】
$-2$
【知识点】
多项式的概念，绝对值的性质，合并同类项
【点评】
本题是多项式概念的典型应用题，解题时需同时满足次数和项数两个限制条件，易错点是容易忽略合并同类项后一次项系数不能为0的要求，直接得出$m=\pm2$的错误结论，审题时要注意深挖“三项式”的隐含条件。
【难度系数】
0.6
【例2】用多项式填空，并指出它们的项和次数.
(1)一个两位数的十位上的数字为$a$，个位上的数字为$b$，那么这个两位数可以表示为；项为；次数为.
(2)某天，从A地到B地的一架客机航行了$t$ h.若前一半时间航行的平均速度为$v_1$ km/h，后一半时间航行的平均速度为$v_2$ km/h，则从A地到B地的距离是 km；项为；次数为.
(1)一个两位数的十位上的数字为$a$，个位上的数字为$b$，那么这个两位数可以表示为；项为；次数为.
(2)某天，从A地到B地的一架客机航行了$t$ h.若前一半时间航行的平均速度为$v_1$ km/h，后一半时间航行的平均速度为$v_2$ km/h，则从A地到B地的距离是 km；项为；次数为.
答案
解：
(1) 这个两位数可以表示为$\boldsymbol{10a + b}$；项为$\boldsymbol{10a}$和$\boldsymbol{b}$；次数为$\boldsymbol{1}$。
(2) 从A地到B地的距离是$\boldsymbol{\frac{1}{2}v_1t + \frac{1}{2}v_2t}$ km；项为$\boldsymbol{\frac{1}{2}v_1t}$和$\boldsymbol{\frac{1}{2}v_2t}$；次数为$\boldsymbol{2}$。
(1) 这个两位数可以表示为$\boldsymbol{10a + b}$；项为$\boldsymbol{10a}$和$\boldsymbol{b}$；次数为$\boldsymbol{1}$。
(2) 从A地到B地的距离是$\boldsymbol{\frac{1}{2}v_1t + \frac{1}{2}v_2t}$ km；项为$\boldsymbol{\frac{1}{2}v_1t}$和$\boldsymbol{\frac{1}{2}v_2t}$；次数为$\boldsymbol{2}$。
解析
【分析】
(1) 解第一问首先要明确两位数的表示规则：两位数=十位数字×10+个位数字，据此列出对应的代数式；再根据多项式项的定义，找到组成该多项式的所有单项式即为项；最后取最高次项的次数作为多项式的次数。
(2) 解第二问先依据“路程=速度×时间”，分别计算前一半时间和后一半时间的航行路程，求和得到总路程的代数式；再结合多项式项、次数的定义判断对应结果，注意单项式的次数是所有字母的指数之和，多项式的次数取最高次项的次数。
【解析】
解：
(1) 十位上的数字为$a$，表示$a$个10，即$10a$，个位上的数字为$b$，因此这个两位数可表示为$10a+b$；
组成多项式$10a+b$的单项式是$10a$和$b$，因此该多项式的项为$10a$和$b$；
$10a$的次数为1，$b$的次数为1，最高次项的次数是1，因此该多项式的次数为1。
(2) 总航行时间为$t$ h，前一半时间为$\frac{1}{2}t$ h，对应路程为$v_1×\frac{1}{2}t=\frac{1}{2}v_1t$ km；后一半时间对应路程为$v_2×\frac{1}{2}t=\frac{1}{2}v_2t$ km，因此A地到B地的总距离为$\frac{1}{2}v_1t+\frac{1}{2}v_2t$ km；
组成该多项式的单项式是$\frac{1}{2}v_1t$和$\frac{1}{2}v_2t$，因此该多项式的项为$\frac{1}{2}v_1t$和$\frac{1}{2}v_2t$；
每个项中都包含两个一次字母，次数为$1+1=2$，最高次项的次数是2，因此该多项式的次数为2。
【答案】
(1) $\boldsymbol{10a + b}$；$\boldsymbol{10a}$和$\boldsymbol{b}$；$\boldsymbol{1}$
(2) $\boldsymbol{\frac{1}{2}v_1t + \frac{1}{2}v_2t}$；$\boldsymbol{\frac{1}{2}v_1t}$和$\boldsymbol{\frac{1}{2}v_2t}$；$\boldsymbol{2}$
【知识点】
列代数式；多项式的项；多项式的次数
【点评】
本题结合实际场景考查代数式列写和多项式的基础概念，解题关键是先根据数量关系正确列出多项式，再严格按照项、次数的定义判断结果，计算单项式次数时要统计所有字母的指数和，避免漏算。
【难度系数】
0.7
(1) 解第一问首先要明确两位数的表示规则：两位数=十位数字×10+个位数字，据此列出对应的代数式；再根据多项式项的定义，找到组成该多项式的所有单项式即为项；最后取最高次项的次数作为多项式的次数。
(2) 解第二问先依据“路程=速度×时间”，分别计算前一半时间和后一半时间的航行路程，求和得到总路程的代数式；再结合多项式项、次数的定义判断对应结果，注意单项式的次数是所有字母的指数之和，多项式的次数取最高次项的次数。
【解析】
解：
(1) 十位上的数字为$a$，表示$a$个10，即$10a$，个位上的数字为$b$，因此这个两位数可表示为$10a+b$；
组成多项式$10a+b$的单项式是$10a$和$b$，因此该多项式的项为$10a$和$b$；
$10a$的次数为1，$b$的次数为1，最高次项的次数是1，因此该多项式的次数为1。
(2) 总航行时间为$t$ h，前一半时间为$\frac{1}{2}t$ h，对应路程为$v_1×\frac{1}{2}t=\frac{1}{2}v_1t$ km；后一半时间对应路程为$v_2×\frac{1}{2}t=\frac{1}{2}v_2t$ km，因此A地到B地的总距离为$\frac{1}{2}v_1t+\frac{1}{2}v_2t$ km；
组成该多项式的单项式是$\frac{1}{2}v_1t$和$\frac{1}{2}v_2t$，因此该多项式的项为$\frac{1}{2}v_1t$和$\frac{1}{2}v_2t$；
每个项中都包含两个一次字母，次数为$1+1=2$，最高次项的次数是2，因此该多项式的次数为2。
【答案】
(1) $\boldsymbol{10a + b}$；$\boldsymbol{10a}$和$\boldsymbol{b}$；$\boldsymbol{1}$
(2) $\boldsymbol{\frac{1}{2}v_1t + \frac{1}{2}v_2t}$；$\boldsymbol{\frac{1}{2}v_1t}$和$\boldsymbol{\frac{1}{2}v_2t}$；$\boldsymbol{2}$
【知识点】
列代数式；多项式的项；多项式的次数
【点评】
本题结合实际场景考查代数式列写和多项式的基础概念，解题关键是先根据数量关系正确列出多项式，再严格按照项、次数的定义判断结果，计算单项式次数时要统计所有字母的指数和，避免漏算。
【难度系数】
0.7
【变式2】[原创][数学文化]古人认为“天圆地方”，故以圆璧祭天，以玉琮祭地，《周礼·春官·大宗伯》记载“以玉作六器，以礼天地四方”，长江流域良渚文化，创制美玉，尤以琮、璧最为经典。琮为内圆外方之器，某玉琮素面琢磨细腻，色泽温润，两端射口稍露，比例恰到好处。如图是琮的横截面示意图，其“外方”是一个边长为x cm的正方形ABCD，内圆O的直径为y cm，则空白部分的面积为 cm²；项为；次数为。
答案
解：
边长为$x\ \mathrm{cm}$的正方形$ABCD$的面积为$x^2\ \mathrm{cm}^2$，
直径为$y\ \mathrm{cm}$的内圆$O$的面积为$π·(\frac{y}{2})^2=\frac{π}{4}y^2\ \mathrm{cm}^2$，
空白部分的面积为$(x^2 - \frac{π}{4}y^2)\ \mathrm{cm}^2$；
该多项式的项为$x^2$、$-\dfrac{π}{4}y^2$；
次数为$2$。
边长为$x\ \mathrm{cm}$的正方形$ABCD$的面积为$x^2\ \mathrm{cm}^2$，
直径为$y\ \mathrm{cm}$的内圆$O$的面积为$π·(\frac{y}{2})^2=\frac{π}{4}y^2\ \mathrm{cm}^2$，
空白部分的面积为$(x^2 - \frac{π}{4}y^2)\ \mathrm{cm}^2$；
该多项式的项为$x^2$、$-\dfrac{π}{4}y^2$；
次数为$2$。
解析
【分析】
解题时我们分两步思考：第一步求空白部分面积：观察图形可知空白部分面积=正方形ABCD的面积-内圆O的面积，我们先分别根据正方形、圆的面积公式算出两者的面积，再作差即可。第二步分析所得多项式的项和次数：回忆多项式相关概念，多项式中的每个单项式叫做多项式的项（要包含前面的符号），多项式里次数最高项的次数就是这个多项式的次数，据此判断即可。
【解析】
1. 计算空白部分面积：
正方形ABCD的边长为x cm，根据正方形面积公式，其面积为$x^2\ \mathrm{cm}^2$；
内圆O的直径为y cm，则半径为$\frac{y}{2}$ cm，根据圆的面积公式，其面积为$π × (\frac{y}{2})^2=\frac{π}{4}y^2\ \mathrm{cm}^2$；
因此空白部分的面积 = 正方形面积 - 圆的面积 = $(x^2 - \frac{π}{4}y^2)\ \mathrm{cm}^2$。
2. 分析多项式的项和次数：
所得代数式$x^2 - \frac{π}{4}y^2$是多项式，组成它的单项式为$x^2$和$-\frac{π}{4}y^2$，即多项式的项为$x^2$、$-\frac{π}{4}y^2$；
两个项的次数都是2，因此该多项式的次数为2。
【答案】
$x^2 - \frac{π}{4}y^2$；$x^2$、$-\frac{π}{4}y^2$；$2$
【知识点】
图形面积计算；多项式的项；多项式的次数
【点评】
本题结合传统文化背景，既考查了正方形、圆的面积计算方法，又考查了多项式的基本概念，解题时要注意写多项式的项时不要遗漏前面的符号，计算圆面积时要先根据直径求出半径再代入公式计算。
【难度系数】
0.8
解题时我们分两步思考：第一步求空白部分面积：观察图形可知空白部分面积=正方形ABCD的面积-内圆O的面积，我们先分别根据正方形、圆的面积公式算出两者的面积，再作差即可。第二步分析所得多项式的项和次数：回忆多项式相关概念，多项式中的每个单项式叫做多项式的项（要包含前面的符号），多项式里次数最高项的次数就是这个多项式的次数，据此判断即可。
【解析】
1. 计算空白部分面积：
正方形ABCD的边长为x cm，根据正方形面积公式，其面积为$x^2\ \mathrm{cm}^2$；
内圆O的直径为y cm，则半径为$\frac{y}{2}$ cm，根据圆的面积公式，其面积为$π × (\frac{y}{2})^2=\frac{π}{4}y^2\ \mathrm{cm}^2$；
因此空白部分的面积 = 正方形面积 - 圆的面积 = $(x^2 - \frac{π}{4}y^2)\ \mathrm{cm}^2$。
2. 分析多项式的项和次数：
所得代数式$x^2 - \frac{π}{4}y^2$是多项式，组成它的单项式为$x^2$和$-\frac{π}{4}y^2$，即多项式的项为$x^2$、$-\frac{π}{4}y^2$；
两个项的次数都是2，因此该多项式的次数为2。
【答案】
$x^2 - \frac{π}{4}y^2$；$x^2$、$-\frac{π}{4}y^2$；$2$
【知识点】
图形面积计算；多项式的项；多项式的次数
【点评】
本题结合传统文化背景，既考查了正方形、圆的面积计算方法，又考查了多项式的基本概念，解题时要注意写多项式的项时不要遗漏前面的符号，计算圆面积时要先根据直径求出半径再代入公式计算。
【难度系数】
0.8
1. 下列式子：$2a^2b$，$3xy - 2y^2$，$\frac{a+b}{2}$，$4$，$-m$，$\frac{x+yz}{2x}$，$\frac{ab - c}{π}$。其中多项式有（）。
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
B
解析
【分析】
解题前首先要明确相关定义：多项式属于整式，是几个单项式的和；分母中含有字母的式子是分式，不属于整式，因此不可能是多项式。解题时先逐个判断每个式子的类型，排除单项式和分式后统计多项式的个数即可。判断时要注意：π是常数，不是字母，不要误将含π的式子分母看作含有字母。
【解析】
首先明确核心定义：
1. 单项式：由数与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也属于单项式；
2. 多项式：几个单项式的和叫做多项式；
3. 分母中含有字母的式子是分式，既不是单项式也不是多项式。
逐个判断所给式子：
① $2a^2b$：是数与字母的乘积，属于单项式，不是多项式；
② $3xy - 2y^2$：是单项式$3xy$和$-2y^2$的和，属于多项式；
③ $\frac{a+b}{2}$：可变形为$\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b$，是两个单项式的和，属于多项式；
④ $4$：单独的数字，属于单项式，不是多项式；
⑤ $-m$：是数与字母的乘积，属于单项式，不是多项式；
⑥ $\frac{x+yz}{2x}$：分母含有字母$x$，属于分式，不是多项式；
⑦ $\frac{ab - c}{π}$：π是常数，该式可变形为$\frac{ab}{π}-\frac{c}{π}$，是两个单项式的和，属于多项式。
综上，多项式共有3个，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
多项式的定义、单项式的定义、整式的判断
【点评】
本题是整式分类的基础题，易错点有三个：一是误认为π是字母，错将$\frac{ab - c}{π}$判定为分式；二是对$\frac{a+b}{2}$这类分母为常数的式子，错认为不是多项式；三是忽略分式的判定规则，将分母含字母的式子错归为整式。解题时牢记相关定义即可避免错误。
【难度系数】
0.7
解题前首先要明确相关定义：多项式属于整式，是几个单项式的和；分母中含有字母的式子是分式，不属于整式，因此不可能是多项式。解题时先逐个判断每个式子的类型，排除单项式和分式后统计多项式的个数即可。判断时要注意：π是常数，不是字母，不要误将含π的式子分母看作含有字母。
【解析】
首先明确核心定义：
1. 单项式：由数与字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也属于单项式；
2. 多项式：几个单项式的和叫做多项式；
3. 分母中含有字母的式子是分式，既不是单项式也不是多项式。
逐个判断所给式子：
① $2a^2b$：是数与字母的乘积，属于单项式，不是多项式；
② $3xy - 2y^2$：是单项式$3xy$和$-2y^2$的和，属于多项式；
③ $\frac{a+b}{2}$：可变形为$\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b$，是两个单项式的和，属于多项式；
④ $4$：单独的数字，属于单项式，不是多项式；
⑤ $-m$：是数与字母的乘积，属于单项式，不是多项式；
⑥ $\frac{x+yz}{2x}$：分母含有字母$x$，属于分式，不是多项式；
⑦ $\frac{ab - c}{π}$：π是常数，该式可变形为$\frac{ab}{π}-\frac{c}{π}$，是两个单项式的和，属于多项式。
综上，多项式共有3个，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
多项式的定义、单项式的定义、整式的判断
【点评】
本题是整式分类的基础题，易错点有三个：一是误认为π是字母，错将$\frac{ab - c}{π}$判定为分式；二是对$\frac{a+b}{2}$这类分母为常数的式子，错认为不是多项式；三是忽略分式的判定规则，将分母含字母的式子错归为整式。解题时牢记相关定义即可避免错误。
【难度系数】
0.7
2.(2026昭通期末)关于多项式$6π x^2 - 3x + 1$，下列说法中正确的是().
A.它的各项为$6π x^2,3x,1$
B.它是三次三项式
C.$6π x^2$的系数为$6π$
D.$-3x$的指数为0
A.它的各项为$6π x^2,3x,1$
B.它是三次三项式
C.$6π x^2$的系数为$6π$
D.$-3x$的指数为0
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，需先回忆多项式、单项式的相关基础概念，包括多项式的项、次数，单项式的系数、指数的定义，再逐一判断每个选项的正误即可。需要注意三个易错点：①π是常数，不是字母；②多项式的每一项都包含它前面的符号；③多项式的次数是最高次项的次数，不是所有项次数的和。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：多项式的项需包含前面的符号，因此该多项式的各项为$6π x^2$、$-3x$、$1$，选项中漏了$-3x$的负号，故A错误。
选项B：多项式的次数是最高次项的次数，该多项式最高次项是$6π x^2$，次数为2，因此它是二次三项式，故B错误。
选项C：单项式的系数是指单项式中的数字因数，π是常数，因此$6π x^2$的系数为$6π$，故C正确。
选项D：$-3x$中$x$的指数为1，只有常数项的字母指数为0，故D错误。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
多项式的相关概念，单项式的系数，单项式的次数
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点在于容易误将π看作字母来计算系数、忽略多项式项的符号、混淆单项式的次数，熟练掌握相关基础定义即可准确解题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需先回忆多项式、单项式的相关基础概念，包括多项式的项、次数，单项式的系数、指数的定义，再逐一判断每个选项的正误即可。需要注意三个易错点：①π是常数，不是字母；②多项式的每一项都包含它前面的符号；③多项式的次数是最高次项的次数，不是所有项次数的和。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：多项式的项需包含前面的符号，因此该多项式的各项为$6π x^2$、$-3x$、$1$，选项中漏了$-3x$的负号，故A错误。
选项B：多项式的次数是最高次项的次数，该多项式最高次项是$6π x^2$，次数为2，因此它是二次三项式，故B错误。
选项C：单项式的系数是指单项式中的数字因数，π是常数，因此$6π x^2$的系数为$6π$，故C正确。
选项D：$-3x$中$x$的指数为1，只有常数项的字母指数为0，故D错误。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
多项式的相关概念，单项式的系数，单项式的次数
【点评】
本题是基础概念考查题，易错点在于容易误将π看作字母来计算系数、忽略多项式项的符号、混淆单项式的次数，熟练掌握相关基础定义即可准确解题。
【难度系数】
0.8
3.多项式$xy^3 - 8x^2y - x^3y^2 - y$是次项式。
答案
五；四
解析
【分析】
要解决这道题，需先明确两个核心概念：①多项式的项数：组成多项式的每个单项式叫做多项式的项，有几个单项式就叫几项式，注意项要包含前面的符号；②多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，就是这个多项式的次数，而单项式的次数是单项式中所有字母的指数和。解题时先拆分出多项式的所有项，再分别计算每一项的次数，找到最高次项的次数即为多项式的次数，数出单项式的个数即为项数。
【解析】
首先拆分多项式$xy^3 - 8x^2y - x^3y^2 - y$的所有项：
1. 第一项$xy^3$：字母x的指数是1，y的指数是3，次数为$1+3=4$；
2. 第二项$-8x^2y$：字母x的指数是2，y的指数是1，次数为$2+1=3$；
3. 第三项$-x^3y^2$：字母x的指数是3，y的指数是2，次数为$3+2=5$；
4. 第四项$-y$：字母y的指数是1，次数为1。
其中最高次项是$-x^3y^2$，次数为5，该多项式共有4个单项式，因此是五次四项式。
【答案】
五；四
【知识点】
多项式的项数，多项式的次数，单项式的次数
【点评】
本题是基础概念类题目，核心考查多项式相关定义的应用，解题时需注意计算单项式次数时要把所有字母的指数相加，拆分项时不要遗漏项前的符号，熟练掌握概念即可快速得分。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，需先明确两个核心概念：①多项式的项数：组成多项式的每个单项式叫做多项式的项，有几个单项式就叫几项式，注意项要包含前面的符号；②多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，就是这个多项式的次数，而单项式的次数是单项式中所有字母的指数和。解题时先拆分出多项式的所有项，再分别计算每一项的次数，找到最高次项的次数即为多项式的次数，数出单项式的个数即为项数。
【解析】
首先拆分多项式$xy^3 - 8x^2y - x^3y^2 - y$的所有项：
1. 第一项$xy^3$：字母x的指数是1，y的指数是3，次数为$1+3=4$；
2. 第二项$-8x^2y$：字母x的指数是2，y的指数是1，次数为$2+1=3$；
3. 第三项$-x^3y^2$：字母x的指数是3，y的指数是2，次数为$3+2=5$；
4. 第四项$-y$：字母y的指数是1，次数为1。
其中最高次项是$-x^3y^2$，次数为5，该多项式共有4个单项式，因此是五次四项式。
【答案】
五；四
【知识点】
多项式的项数，多项式的次数，单项式的次数
【点评】
本题是基础概念类题目，核心考查多项式相关定义的应用，解题时需注意计算单项式次数时要把所有字母的指数相加，拆分项时不要遗漏项前的符号，熟练掌握概念即可快速得分。
【难度系数】
0.8
