2026年优佳学案(云南)七年级数学上册人教版第102页答案
8.某学生享受“两免一补”政策后,该家庭平均每月可减少30%的费用支出.若该家庭原来平均每月支出$m$元,则现在平均每月支出(
).

A.$30\%m$元
B.$70\%m$元
C.$\dfrac{10m}{3}$元
D.$\dfrac{10m}{7}$元

答案

B

解析

【分析】
解题时首先确定单位“1”为该家庭原来平均每月的支出m元。“平均每月可减少30%的费用支出”是指现在每月的支出比原支出少了原支出的30%,因此现在每月支出占原支出的比例为1-30%=70%,用原支出的金额乘现在支出对应的占比,即可求出现在的平均每月支出。
【解析】
解:已知该家庭原来平均每月支出为m元,每月减少的费用为原支出的30%,即减少的费用为30%m元。
现在平均每月支出 = 原每月支出 - 减少的费用
代入得:现在每月支出 = m - 30%m = (1 - 30%)m = 70%m元。
因此选项B符合题意。
【答案】
B
【知识点】
列代数式;百分数的实际应用
【点评】
本题结合生活实际场景命题,解题的核心是准确理解“减少30%”的含义,找准单位“1”的量,理清数量间的关系,属于基础类应用题。
【难度系数】
0.9
9.系数是$-\dfrac{2}{3}$且含有$x,y$的五次单项式最多可以写(
).

A.2个
B.4个
C.6个
D.无数个

答案

B

解析

【分析】
要解决这道题,首先要明确单项式次数的定义:单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。题目要求构造系数为$-\dfrac{2}{3}$、同时含有$x$和$y$的五次单项式,说明两个条件:①$x$和$y$的指数都必须是大于等于1的正整数(因为要同时包含两个字母,指数不能为0);②$x$的指数与$y$的指数之和等于5。我们只需要列举出所有满足上述两个条件的正整数指数组合,就能知道符合要求的单项式个数。
【解析】
设单项式中$x$的指数为$m$,$y$的指数为$n$,根据题意可得:
1. $m$、$n$均为正整数(需同时含有$x$、$y$,指数不能为0)
2. $m+n=5$(单项式为五次,指数和为5)
列举所有符合条件的$(m,n)$组合:
当$m=1$时,$n=4$,对应单项式:$-\dfrac{2}{3}xy^4$
当$m=2$时,$n=3$,对应单项式:$-\dfrac{2}{3}x^2y^3$
当$m=3$时,$n=2$,对应单项式:$-\dfrac{2}{3}x^3y^2$
当$m=4$时,$n=1$,对应单项式:$-\dfrac{2}{3}x^4y$
共4个符合要求的单项式。
【答案】
B
【知识点】
单项式的系数;单项式的次数
【点评】
本题核心考查对单项式相关概念的理解,解题易错点是忽略“同时含有$x$、$y$”的要求,误将仅含单个字母的$-\dfrac{2}{3}x^5$、$-\dfrac{2}{3}y^5$计入,解题时注意紧扣题目的限定条件列举所有可能,避免漏解或多解。
【难度系数】
0.7
10. 观察下列一组单项式:$x, -2x^2, 4x^3, -8x^4, 16x^5, \dots$. 根据其中的规律可知,第9个单项式是(
).

A.$-256x^9$
B.$256x^9$
C.$-512x^9$
D.$512x^9$

答案

B

解析

【分析】
要找出第9个单项式,我们可以把单项式拆成符号、系数的绝对值、字母及次数三个部分分别找规律:①先看符号:第1个为正、第2个为负、第3个为正,可得出奇数项符号为正,偶数项符号为负;②再看系数的绝对值:1=2⁰、2=2¹、4=2²、8=2³,可得出第n个单项式的系数绝对值为2的(n-1)次方;③最后看x的次数:第1个是1次、第2个是2次……第n个就是n次。确定三部分规律后,代入n=9计算即可。
【解析】
我们先推导第n个单项式的规律:
1. 符号规律:当n为奇数时符号为正,n为偶数时符号为负;
2. 系数绝对值规律:第n个单项式的系数绝对值为$2^{n-1}$;
3. 字母次数规律:第n个单项式中x的次数为n。
当n=9时,n是奇数,符号为正;系数绝对值为$2^{9-1}=2^8=256$;x的次数为9,因此第9个单项式是$256x^9$。
【答案】
B
【知识点】
单项式,规律探究,有理数乘方
【点评】
本题是单项式规律探究的典型题目,解题的关键是将单项式拆分成分模块寻找规律,能有效考查学生的观察能力和归纳推理能力,掌握分部分分析的方法即可快速解答。
【难度系数】
0.75
11.若代数式$(m-4)x^{|m-1|}y$是关于字母$x$,$y$的四次单项式,则$m=$
。

答案

$\boldsymbol{-2}$

解析

【分析】
要解决本题,首先需明确单项式次数和系数的相关要求:①单项式的次数是所有字母的指数和;②单项式的系数不能为0,否则代数式的值为0,不符合四次单项式的要求。本题中代数式是关于x、y的四次单项式,因此可先根据次数要求列方程求m的可能值,再结合系数不为0的条件排除不符合的解,即可得到正确结果。
【解析】
∵ $(m-4)x^{|m-1|}y$是关于x、y的四次单项式
∴ 需同时满足两个条件:
1. 系数不为0:$m-4 ≠ 0$,解得$m ≠ 4$
2. 所有字母的指数和为4:y的指数为1,因此$|m-1| + 1 = 4$
化简得:$|m-1|=3$
根据绝对值的性质,得$m-1=3$或$m-1=-3$
分别解得:$m=4$ 或 $m=-2$
结合$m ≠ 4$的条件,舍去$m=4$,故$m=-2$
【答案】
$\boldsymbol{-2}$
【知识点】
单项式的次数、单项式的系数、绝对值的运算
【点评】
本题是单项式概念的基础易错题,解题时需注意需同时满足次数要求和系数不为0两个条件,很容易遗漏系数不为0的限制,得出$m=4$的错误结果。
【难度系数】
0.7
12.已知单项式$-\dfrac{2}{3}xy^{2m-1}$与$-2^2x^2y^2$的次数相同.
(1)求$m$的值;
(2)求当$x=-9,y=-2$时单项式$-\dfrac{2}{3}xy^{2m-1}$的值.

答案

解:
(1) 单项式$-2^2x^2y^2$的次数为$2+2=4$。
由两个单项式次数相同,可得:
$1 + (2m - 1) = 4$
化简得$2m=4$,
解得$m=2$。
(2) 将$m=2$代入单项式$-\dfrac{2}{3}xy^{2m-1}$,得该单项式为$-\dfrac{2}{3}xy^3$。
把$x=-9$,$y=-2$代入上式:
$-\dfrac{2}{3} × (-9) × (-2)^3$
$= 6 × (-8)$
$= -48$

解析

【分析】
首先明确单项式的次数定义:单项式中所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数。解决第一问时,先算出已知单项式$-2^2x^2y^2$的次数,再根据两个单项式次数相同的条件,列关于m的一元一次方程,解方程即可求出m的值;第二问先把求出的m代入原式得到具体的单项式,再将x、y的值代入,按照有理数的运算规则计算就能得到结果,计算时要注意负数乘方的符号处理。
【解析】
(1) 单项式$-2^2x^2y^2$的次数为所有字母指数的和,即$2+2=4$。
由两个单项式次数相同,单项式$-\dfrac{2}{3}xy^{2m-1}$中x的指数为1,y的指数为$2m-1$,可得:
$1 + (2m - 1) = 4$
化简得$2m=4$,
解得$m=2$。
(2) 将$m=2$代入单项式$-\dfrac{2}{3}xy^{2m-1}$,得该单项式为$-\dfrac{2}{3}xy^3$。
把$x=-9$,$y=-2$代入上式:
$-\dfrac{2}{3} × (-9) × (-2)^3$
$= 6 × (-8)$
$= -48$
【答案】
(1)$m=2$;(2)$-48$
【知识点】
单项式的次数,解一元一次方程,代数式求值
【点评】
本题核心是对单项式次数概念的准确理解,计算时要注意区分常数的指数和字母的指数,代入求值时要重点关注负数乘方、乘法的符号规则,避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.8
13.某服装店销售一种品牌服装,其原价为每件p元.现有两种调价方案:
①先提价25%,再降价25%;
②先降价25%,再提价25%.
用这两种方案调价结果是否一样?最后是不是都恢复了原价?请通过计算说明.

答案

解:
方案①调价后的价格为:
$p×(1+25\%)×(1-25\%) = p×1.25×0.75 = \frac{15}{16}p$(元)
方案②调价后的价格为:
$p×(1-25\%)×(1+25\%) = p×0.75×1.25 = \frac{15}{16}p$(元)
两种方案调价后的结果相等,均为$\frac{15}{16}p$元,
因为$\frac{15}{16}p < p$,所以两种方案最后都没有恢复原价。
答:两种方案调价结果一样,最后都没有恢复原价。

解析

【分析】
要判断两种调价方案的结果是否一致、是否恢复原价,首先要明确调价的计算规则:提价25%就是在当前价格基础上乘(1+25%),降价25%就是在当前价格基础上乘(1-25%),每次调价的基数是上一步调整后的价格。接下来分别计算两种方案调价后的最终价格,再将两个结果互相比较,最后和原价p比较就能得出结论。
【解析】
分别计算两种方案调价后的价格:
方案①调价后的价格为:
$p×(1+25\%)×(1-25\%) = p×1.25×0.75 = \frac{15}{16}p$(元)
方案②调价后的价格为:
$p×(1-25\%)×(1+25\%) = p×0.75×1.25 = \frac{15}{16}p$(元)
对比两个结果可得,两种方案调价后的价格相等,均为$\frac{15}{16}p$元。
再将最终价格和原价比较:因为$\frac{15}{16}p < p$,所以两种方案最后都没有恢复原价。
【答案】
两种方案调价结果一样,最后都没有恢复原价。
【知识点】
1. 列代数式 2. 百分数实际应用 3. 代数式大小比较
【点评】
本题结合生活中的销售调价场景考查代数式的应用,解题的关键是明确每次调价的基数是调整前的当前价格,而非最初的原价。通过计算可以发现,先提价再降价相同比例,和先降价再提价相同比例,最终结果一致,且均低于原价,不要被“升、降比例相同”的表象误导认为会回到原价。
【难度系数】
0.75
14.(规律探究题)观察下列一组单项式:$-x$,$3x^2$,$-5x^3$,$7x^4$,…,$-37x^{19}$,$39x^{20}$,…. 写出第$n$个单项式. 为了解答这个问题,提供下面的解题思路:
(1)这组单项式的系数的符号、绝对值规律是什么?
(2)这组单项式的次数的规律是什么?
(3)根据上面的归纳,你可以猜想出,第$n$个单项式是什么吗?
(4)请你根据猜想,写出第2026个单项式.

答案

解:
(1) 系数的符号规律:第奇数个单项式的系数符号为负,第偶数个单项式的系数符号为正,可用$(-1)^n$表示;
系数的绝对值规律:是从1开始的连续奇数,第$n$个单项式的系数的绝对值为$2n-1$。
(2) 这组单项式的次数是从1开始的连续正整数,第$n$个单项式的次数为$n$。
(3) 第$n$个单项式是$(-1)^n(2n-1)x^n$。
(4) 把$n=2026$代入$(-1)^n(2n-1)x^n$,得:
$(-1)^{2026}×(2×2026-1)x^{2026}=4051x^{2026}$,
即第2026个单项式是$4051x^{2026}$。

解析

【分析】
要推导第n个单项式,我们可以将单项式拆分为系数符号、系数绝对值、字母的次数三部分分别找规律:首先观察系数的符号,奇数项为负、偶数项为正,符合乘方的符号交替规律;再看系数的绝对值,是从1开始的连续奇数,可对应到含n的奇数表达式;最后看x的次数,是从1开始的连续正整数,和项数n一致。整合三部分规律就能得到第n个单项式的表达式,再代入n=2026即可求出对应的单项式。
【解析】
(1) 系数的符号规律:第奇数个单项式的系数符号为负,第偶数个单项式的系数符号为正,可用$(-1)^n$表示;
系数的绝对值规律:是从1开始的连续奇数,第$n$个单项式的系数的绝对值为$2n-1$。
(2) 这组单项式的次数是从1开始的连续正整数,第$n$个单项式的次数为$n$。
(3) 结合上述规律,第$n$个单项式是$(-1)^n(2n-1)x^n$。
(4) 把$n=2026$代入$(-1)^n(2n-1)x^n$计算:
$(-1)^{2026}×(2×2026-1)x^{2026}=1×4051x^{2026}=4051x^{2026}$
【答案】
第$n$个单项式为$\boldsymbol{(-1)^n(2n-1)x^n}$;第2026个单项式为$\boldsymbol{4051x^{2026}}$
【知识点】
1. 单项式的构成
2. 数字规律探究
3. 代数式代入求值
【点评】
本题是典型的规律探究类题目,解题核心是将单项式拆分后分模块找对应规律,再整合得到通式,能够有效锻炼学生的观察能力与归纳推理能力。
【难度系数】
0.7