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1. 如图3-3-1，已知直线$AB// CD// EF$，$BD=2$，$DF=4$，则$\frac{AC}{AE}$的值为（
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{2}{3}$
D.1
图3-3-1
图3-3-2
A
）。A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{2}{3}$
D.1
图3-3-1
图3-3-2
答案
1.A
解析
【分析】
遇到三条平行线截两条直线的问题，首先回忆平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。首先找到与已知线段BD、DF对应的线段是AC、CE，先求出AC与CE的比值，再结合AE=AC+CE，就能推导出AC与AE的比值。
【解析】
解：$\because AB// CD// EF$，
根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AC}{CE}=\frac{BD}{DF}$，
已知$BD=2$，$DF=4$，代入得$\frac{AC}{CE}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
$\therefore CE=2AC$，
又$\because AE=AC+CE=AC+2AC=3AC$，
$\therefore \frac{AC}{AE}=\frac{AC}{3AC}=\frac{1}{3}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
平行线分线段成比例，比例运算
【点评】
本题属于基础题，主要考查平行线分线段成比例定理的应用，解题时注意不要混淆对应线段的比例关系，结合线段的和差关系计算即可。
【难度系数】
0.85
遇到三条平行线截两条直线的问题，首先回忆平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。首先找到与已知线段BD、DF对应的线段是AC、CE，先求出AC与CE的比值，再结合AE=AC+CE，就能推导出AC与AE的比值。
【解析】
解：$\because AB// CD// EF$，
根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{AC}{CE}=\frac{BD}{DF}$，
已知$BD=2$，$DF=4$，代入得$\frac{AC}{CE}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
$\therefore CE=2AC$，
又$\because AE=AC+CE=AC+2AC=3AC$，
$\therefore \frac{AC}{AE}=\frac{AC}{3AC}=\frac{1}{3}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
平行线分线段成比例，比例运算
【点评】
本题属于基础题，主要考查平行线分线段成比例定理的应用，解题时注意不要混淆对应线段的比例关系，结合线段的和差关系计算即可。
【难度系数】
0.85
2. 如图 3-3-2，在 $△ ABC$ 中，$DE // BC$，$GF // AC$，下列式子错误的是（
A.$\dfrac{AG}{BG}=\dfrac{CF}{BF}$
B.$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$
C.$\dfrac{GM}{MF}=\dfrac{AE}{EC}$
D.$\dfrac{FC}{DM}=\dfrac{AG}{DG}$
C
）。A.$\dfrac{AG}{BG}=\dfrac{CF}{BF}$
B.$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$
C.$\dfrac{GM}{MF}=\dfrac{AE}{EC}$
D.$\dfrac{FC}{DM}=\dfrac{AG}{DG}$
答案
2.C
解析
【分析】
本题需要结合平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质以及平行四边形的性质，逐一验证四个选项中的比例式是否成立，最终选出错误的选项。解题时首先明确：平行于三角形一边的直线截另外两边，所得的对应线段成比例；两组对边分别平行的四边形是平行四边形，对边相等，可用于线段的等量替换。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项B：已知$DE// BC$，根据平行线分线段成比例定理，平行于$△ ABC$一边$BC$的直线$DE$截两边$AB$、$AC$，对应线段成比例，可得$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，该式成立，不符合题意。
2. 选项A：已知$GF// AC$，同理，平行于$△ ABC$一边$AC$的直线$GF$截两边$AB$、$BC$，对应线段成比例，可得$\frac{AG}{BG}=\frac{CF}{BF}$，该式成立，不符合题意。
3. 选项D：由$DE// BC$、$GF// AC$，可得四边形$MECF$的两组对边分别平行，即四边形$MECF$是平行四边形，故$FC=ME$；同时在$△ ADE$中，$GM// AE$，根据平行线分线段成比例可得$\frac{AG}{DG}=\frac{ME}{DM}$，将$ME=FC$代入可得$\frac{AG}{DG}=\frac{FC}{DM}$，即$\frac{FC}{DM}=\frac{AG}{DG}$，该式成立，不符合题意。
4. 选项C：由四边形$MECF$是平行四边形可得$MF=EC$；在$△ ADE$中，$GM// AE$，可得$\frac{GM}{AE}=\frac{DG}{AD}$，即$GM=\frac{DG}{AD}· AE$，因此$\frac{GM}{MF}=\frac{\frac{DG}{AD}· AE}{EC}$，只有当$\frac{DG}{AD}=1$时该式等于$\frac{AE}{EC}$，显然不成立，故该式错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例；平行四边形的性质；相似三角形的性质
【点评】
本题重点考查平行线分线段成比例定理的实际应用，解题时需要准确识别图形中的平行关系与对应线段，必要时借助平行四边形的性质做线段等量替换，注意避免混淆比例的对应项。
【难度系数】
0.65
本题需要结合平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质以及平行四边形的性质，逐一验证四个选项中的比例式是否成立，最终选出错误的选项。解题时首先明确：平行于三角形一边的直线截另外两边，所得的对应线段成比例；两组对边分别平行的四边形是平行四边形，对边相等，可用于线段的等量替换。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项B：已知$DE// BC$，根据平行线分线段成比例定理，平行于$△ ABC$一边$BC$的直线$DE$截两边$AB$、$AC$，对应线段成比例，可得$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$，该式成立，不符合题意。
2. 选项A：已知$GF// AC$，同理，平行于$△ ABC$一边$AC$的直线$GF$截两边$AB$、$BC$，对应线段成比例，可得$\frac{AG}{BG}=\frac{CF}{BF}$，该式成立，不符合题意。
3. 选项D：由$DE// BC$、$GF// AC$，可得四边形$MECF$的两组对边分别平行，即四边形$MECF$是平行四边形，故$FC=ME$；同时在$△ ADE$中，$GM// AE$，根据平行线分线段成比例可得$\frac{AG}{DG}=\frac{ME}{DM}$，将$ME=FC$代入可得$\frac{AG}{DG}=\frac{FC}{DM}$，即$\frac{FC}{DM}=\frac{AG}{DG}$，该式成立，不符合题意。
4. 选项C：由四边形$MECF$是平行四边形可得$MF=EC$；在$△ ADE$中，$GM// AE$，可得$\frac{GM}{AE}=\frac{DG}{AD}$，即$GM=\frac{DG}{AD}· AE$，因此$\frac{GM}{MF}=\frac{\frac{DG}{AD}· AE}{EC}$，只有当$\frac{DG}{AD}=1$时该式等于$\frac{AE}{EC}$，显然不成立，故该式错误，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例；平行四边形的性质；相似三角形的性质
【点评】
本题重点考查平行线分线段成比例定理的实际应用，解题时需要准确识别图形中的平行关系与对应线段，必要时借助平行四边形的性质做线段等量替换，注意避免混淆比例的对应项。
【难度系数】
0.65
3. 图3-3-3为某建筑结构施工图，其中直线a，b，c，d，e为一组平行线，每相邻两条平行线之间的距离如图所示，线段AC分别交直线a，b，e于点A，B，C，则$\frac{AB}{BC}$的值为（
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{4}{9}$
D.$\frac{24}{77}$
图3-3-3 图3-3-4
C
）。A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{4}{9}$
D.$\frac{24}{77}$
图3-3-3 图3-3-4
答案
3.C
解析
【分析】
解题时首先观察题干特征：一组平行线截线段AC，可联想到运用平行线分线段成比例定理求解。该定理指出：一组平行线截两条直线，所得的对应线段的比等于平行线之间对应垂直距离的比。接下来只需分别确定线段AB对应的直线a、b间的垂直距离总和，线段BC对应的直线b、e间的垂直距离总和，再将两个距离作比，即可得到$\frac{AB}{BC}$的值。
【解析】
根据平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段的比等于对应平行线间的垂直距离之比。
由题图可知，直线a到直线b的垂直距离之和为$1+3=4$，直线b到直线e的垂直距离之和为$2+3+4=9$，因此：
$\frac{AB}{BC}=\frac{直线a、b间的垂直距离}{直线b、e间的垂直距离}=\frac{4}{9}$
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例定理，比例计算
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心考查平行线分线段成比例定理的直接运用，解题的关键是找准截得线段对应的平行线间距范围，计算间距总和时避免漏算即可正确求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察题干特征：一组平行线截线段AC，可联想到运用平行线分线段成比例定理求解。该定理指出：一组平行线截两条直线，所得的对应线段的比等于平行线之间对应垂直距离的比。接下来只需分别确定线段AB对应的直线a、b间的垂直距离总和，线段BC对应的直线b、e间的垂直距离总和，再将两个距离作比，即可得到$\frac{AB}{BC}$的值。
【解析】
根据平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段的比等于对应平行线间的垂直距离之比。
由题图可知，直线a到直线b的垂直距离之和为$1+3=4$，直线b到直线e的垂直距离之和为$2+3+4=9$，因此：
$\frac{AB}{BC}=\frac{直线a、b间的垂直距离}{直线b、e间的垂直距离}=\frac{4}{9}$
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例定理，比例计算
【点评】
本题属于基础应用类题目，核心考查平行线分线段成比例定理的直接运用，解题的关键是找准截得线段对应的平行线间距范围，计算间距总和时避免漏算即可正确求解。
【难度系数】
0.7
4. 如图3-3-4，AB//CD//EF，AF与BE相交于点G，AG=2，GD=1，DF=5，则BC：CE=
$\frac{3}{5}$
。答案
4.$\frac{3}{5}$
解析
【分析】
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题思路如下：首先观察到题中有三条互相平行的直线AB、CD、EF，它们分别截两条直线AF和BE，根据平行线分线段成比例定理，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，因此BC与CE的比值等于对应线段AD与DF的比值；接下来先计算AD的长度，再代入比例式即可求出结果。
【解析】
解：
∵AB//CD//EF
∴根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{BC}{CE}=\frac{AD}{DF}$
又
∵AD = AG + GD = 2 + 1 = 3，DF = 5
∴$\frac{BC}{CE}=\frac{3}{5}$，即BC:CE=$\frac{3}{5}$
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
平行线分线段成比例定理、线段和差计算
【点评】
本题是基础应用类题目，解题的关键是准确识别平行线所截的两条直线，找准成比例的对应线段，避免因对应线段找错导致计算错误。
【难度系数】
0.8
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题思路如下：首先观察到题中有三条互相平行的直线AB、CD、EF，它们分别截两条直线AF和BE，根据平行线分线段成比例定理，两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，因此BC与CE的比值等于对应线段AD与DF的比值；接下来先计算AD的长度，再代入比例式即可求出结果。
【解析】
解：
∵AB//CD//EF
∴根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{BC}{CE}=\frac{AD}{DF}$
又
∵AD = AG + GD = 2 + 1 = 3，DF = 5
∴$\frac{BC}{CE}=\frac{3}{5}$，即BC:CE=$\frac{3}{5}$
【答案】
$\frac{3}{5}$
【知识点】
平行线分线段成比例定理、线段和差计算
【点评】
本题是基础应用类题目，解题的关键是准确识别平行线所截的两条直线，找准成比例的对应线段，避免因对应线段找错导致计算错误。
【难度系数】
0.8
5. 如图3-3-5，AB与CD相交于点E，点F在线段BC上，且AC//EF//DB。若BE=5，BF=3，AE=BC，则$\frac{BD}{AC}$的值为
图3-3-5
图3-3-6
$\frac{2}{3}$
。图3-3-5
图3-3-6
答案
5.$\frac{2}{3}$
解析
【分析】
题中给出多组平行线，可结合相似三角形的判定与性质求解。首先设AE=BC=y，利用EF//AC得到△BEF与△BAC相似，根据相似三角形对应边成比例列方程求出y的值；再利用AC//DB得到△AEC与△BED相似，根据相似三角形对应边的比值等于相似比，即可求出$\frac{BD}{AC}$的值。
【解析】
解：设$AE=BC=y$，则$AB=AE+BE=y+5$。
∵$EF// AC$，
∴$△ BEF ∽ △ BAC$，
∴$\frac{BE}{BA}=\frac{BF}{BC}$。
将$BE=5$，$BF=3$，$BA=y+5$，$BC=y$代入得：
$\frac{5}{y+5}=\frac{3}{y}$，
交叉相乘得：$5y=3(y+5)$，
解得$y=\frac{15}{2}$，即$AE=\frac{15}{2}$。
∵$AC// DB$，
∴$∠ A=∠ B$，$∠ C=∠ D$，
∴$△ AEC ∽ △ BED$，
∴$\frac{BD}{AC}=\frac{BE}{AE}=\frac{5}{\frac{15}{2}}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；平行线分线段成比例
【点评】
本题是相似三角形的常规应用题型，解题关键是通过平行线找到对应相似三角形，结合比例关系列方程求解未知线段，再代入所求比例式得到结果。
【难度系数】
0.6
题中给出多组平行线，可结合相似三角形的判定与性质求解。首先设AE=BC=y，利用EF//AC得到△BEF与△BAC相似，根据相似三角形对应边成比例列方程求出y的值；再利用AC//DB得到△AEC与△BED相似，根据相似三角形对应边的比值等于相似比，即可求出$\frac{BD}{AC}$的值。
【解析】
解：设$AE=BC=y$，则$AB=AE+BE=y+5$。
∵$EF// AC$，
∴$△ BEF ∽ △ BAC$，
∴$\frac{BE}{BA}=\frac{BF}{BC}$。
将$BE=5$，$BF=3$，$BA=y+5$，$BC=y$代入得：
$\frac{5}{y+5}=\frac{3}{y}$，
交叉相乘得：$5y=3(y+5)$，
解得$y=\frac{15}{2}$，即$AE=\frac{15}{2}$。
∵$AC// DB$，
∴$∠ A=∠ B$，$∠ C=∠ D$，
∴$△ AEC ∽ △ BED$，
∴$\frac{BD}{AC}=\frac{BE}{AE}=\frac{5}{\frac{15}{2}}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；平行线分线段成比例
【点评】
本题是相似三角形的常规应用题型，解题关键是通过平行线找到对应相似三角形，结合比例关系列方程求解未知线段，再代入所求比例式得到结果。
【难度系数】
0.6
6. 如图3-3-6,在$△ ABC$中,$DE// BC$,DE与边AB相交于点D,与边AC相交于点E,如果$AD=3,BD=4,AE=2$,那么$AC=$
$\frac{14}{3}$
。答案
6.$\frac{14}{3}$
解析
【分析】
看到题目中给出$DE// BC$，首先联想到平行线分线段成比例定理（或相似三角形判定的预备定理）：平行于三角形一边的直线截另外两边，所得对应线段成比例。我们可以先求出$AB$的总长度，再根据对应线段的比例关系列等式，代入已知数值即可求解$AC$的长度。
【解析】
解：$\because DE// BC$
$\therefore$由平行线分线段成比例定理可得：$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$
$\because AB=AD+BD=3+4=7$，且$AD=3$，$AE=2$
将已知数值代入比例式得：$\frac{3}{7}=\frac{2}{AC}$
交叉相乘得：$3AC=14$
解得：$AC=\frac{14}{3}$
【答案】
$\frac{14}{3}$
【知识点】
平行线分线段成比例；比例式计算
【点评】
本题是相似章节的基础题型，重点考查平行线截三角形所得线段比例关系的应用，解题关键是找准对应线段，正确列出比例式，计算难度较低，属于必须掌握的基础得分题。
【难度系数】
0.8
看到题目中给出$DE// BC$，首先联想到平行线分线段成比例定理（或相似三角形判定的预备定理）：平行于三角形一边的直线截另外两边，所得对应线段成比例。我们可以先求出$AB$的总长度，再根据对应线段的比例关系列等式，代入已知数值即可求解$AC$的长度。
【解析】
解：$\because DE// BC$
$\therefore$由平行线分线段成比例定理可得：$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$
$\because AB=AD+BD=3+4=7$，且$AD=3$，$AE=2$
将已知数值代入比例式得：$\frac{3}{7}=\frac{2}{AC}$
交叉相乘得：$3AC=14$
解得：$AC=\frac{14}{3}$
【答案】
$\frac{14}{3}$
【知识点】
平行线分线段成比例；比例式计算
【点评】
本题是相似章节的基础题型，重点考查平行线截三角形所得线段比例关系的应用，解题关键是找准对应线段，正确列出比例式，计算难度较低，属于必须掌握的基础得分题。
【难度系数】
0.8
7. 我们把练习本上的横线看作平行且等距的格线。如图3-3-7，嘉淇画出△ABC，AB，AC与中间的两条横线交于D，F，E，G四点，连接CD交FG于点H。若HG=2，则BC的长为
12
。答案
7.12
解析
【分析】
解题首先利用“平行且等距的格线”这一条件，得到线段AB、AC上各分点的比例关系：AD=DF=FB，AE=EG=GC；接下来先后两次利用平行线判定相似三角形，分别求出FG、FH与BC的比例关系；最后结合FG-FH=HG=2的数量关系，建立方程求解BC的长度。
【解析】
解：
∵ 练习本横线平行且等距，
∴ 点D、F是AB的三等分点，点E、G是AC的三等分点，即$AD=DF=FB$，$AE=EG=GC$，
∴ $\frac{AF}{AB}=\frac{2}{3}$，$\frac{DF}{DB}=\frac{1}{2}$。
∵ $FG// BC$，
∴ $△ AFG ∽ △ ABC$，
∴ $\frac{FG}{BC}=\frac{AF}{AB}=\frac{2}{3}$，即$FG=\frac{2}{3}BC$ ①。
又
∵ $FG// BC$，
∴ $△ DFH ∽ △ DBC$，
∴ $\frac{FH}{BC}=\frac{DF}{DB}=\frac{1}{2}$，即$FH=\frac{1}{2}BC$ ②。
∵ $FG=FH+HG$，且$HG=2$，
将①②代入等式得：$\frac{2}{3}BC - \frac{1}{2}BC=2$，
通分化简得：$\frac{1}{6}BC=2$，
解得$BC=12$。
【答案】
12
【知识点】
平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题结合生活情境考查相似三角形的应用，解题的关键是根据等距平行线推导线段的比例关系，再结合相似三角形的对应边成比例建立等式求解，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.6
解题首先利用“平行且等距的格线”这一条件，得到线段AB、AC上各分点的比例关系：AD=DF=FB，AE=EG=GC；接下来先后两次利用平行线判定相似三角形，分别求出FG、FH与BC的比例关系；最后结合FG-FH=HG=2的数量关系，建立方程求解BC的长度。
【解析】
解：
∵ 练习本横线平行且等距，
∴ 点D、F是AB的三等分点，点E、G是AC的三等分点，即$AD=DF=FB$，$AE=EG=GC$，
∴ $\frac{AF}{AB}=\frac{2}{3}$，$\frac{DF}{DB}=\frac{1}{2}$。
∵ $FG// BC$，
∴ $△ AFG ∽ △ ABC$，
∴ $\frac{FG}{BC}=\frac{AF}{AB}=\frac{2}{3}$，即$FG=\frac{2}{3}BC$ ①。
又
∵ $FG// BC$，
∴ $△ DFH ∽ △ DBC$，
∴ $\frac{FH}{BC}=\frac{DF}{DB}=\frac{1}{2}$，即$FH=\frac{1}{2}BC$ ②。
∵ $FG=FH+HG$，且$HG=2$，
将①②代入等式得：$\frac{2}{3}BC - \frac{1}{2}BC=2$，
通分化简得：$\frac{1}{6}BC=2$，
解得$BC=12$。
【答案】
12
【知识点】
平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题结合生活情境考查相似三角形的应用，解题的关键是根据等距平行线推导线段的比例关系，再结合相似三角形的对应边成比例建立等式求解，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.6
8. 如图 3-3-8,已知 $AC// FE// BD$,求证:$\frac{AE}{AD}+\frac{BE}{BC}=1$。
答案
8. 证明:$\because AC//EF,\therefore \frac{BE}{BC}=\frac{BF}{BA}$。①
$\because FE//BD,\therefore \frac{AE}{AD}=\frac{AF}{AB}$。②
①+②,得$\frac{BE}{BC}+\frac{AE}{AD}=\frac{BF}{AB}+\frac{AF}{AB}=\frac{AB}{AB}=1$,
即$\frac{AE}{AD}+\frac{BE}{BC}=1$。
$\because FE//BD,\therefore \frac{AE}{AD}=\frac{AF}{AB}$。②
①+②,得$\frac{BE}{BC}+\frac{AE}{AD}=\frac{BF}{AB}+\frac{AF}{AB}=\frac{AB}{AB}=1$,
即$\frac{AE}{AD}+\frac{BE}{BC}=1$。
解析
【分析】
要证明两个分式的和为1，可将两个分式转化为同分母形式，使分子相加的和等于分母即可。结合已知的三组平行线，可利用平行线分线段成比例定理推导比例关系：首先由$FE// BD$，在$△ ABD$中可推出$\frac{AE}{AD}=\frac{AF}{AB}$；再由$AC// EF$，在$△ ABC$中可推出$\frac{BE}{BC}=\frac{BF}{AB}$，最后将两个比例式相加，结合$AF+BF=AB$即可完成证明。
【解析】
证明：
$\because AC// EF$，根据平行线分线段成比例定理，得$\frac{BE}{BC}=\frac{BF}{BA}$ ①
$\because FE// BD$，同理得$\frac{AE}{AD}=\frac{AF}{AB}$ ②
将①②两式左右分别相加，得：
$\frac{BE}{BC}+\frac{AE}{AD}=\frac{BF}{AB}+\frac{AF}{AB}=\frac{AF+BF}{AB}$
又$\because AF+BF=AB$，
$\therefore \frac{BE}{BC}+\frac{AE}{AD}=\frac{AB}{AB}=1$
即$\frac{AE}{AD}+\frac{BE}{BC}=1$，得证。
【答案】
证明:$\because AC//EF,\therefore \frac{BE}{BC}=\frac{BF}{BA}$。①
$\because FE//BD,\therefore \frac{AE}{AD}=\frac{AF}{AB}$。②
①+②,得$\frac{BE}{BC}+\frac{AE}{AD}=\frac{BF}{AB}+\frac{AF}{AB}=\frac{AB}{AB}=1$,
即$\frac{AE}{AD}+\frac{BE}{BC}=1$。
【知识点】
平行线分线段成比例、分式加法运算、等式性质
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础应用题型，解题核心是通过平行线将待证比例式转化为同分母的线段比，结合线段和的关系化简得到结论，解题时需注意比例的对应线段不要混淆。
【难度系数】
0.8
要证明两个分式的和为1，可将两个分式转化为同分母形式，使分子相加的和等于分母即可。结合已知的三组平行线，可利用平行线分线段成比例定理推导比例关系：首先由$FE// BD$，在$△ ABD$中可推出$\frac{AE}{AD}=\frac{AF}{AB}$；再由$AC// EF$，在$△ ABC$中可推出$\frac{BE}{BC}=\frac{BF}{AB}$，最后将两个比例式相加，结合$AF+BF=AB$即可完成证明。
【解析】
证明：
$\because AC// EF$，根据平行线分线段成比例定理，得$\frac{BE}{BC}=\frac{BF}{BA}$ ①
$\because FE// BD$，同理得$\frac{AE}{AD}=\frac{AF}{AB}$ ②
将①②两式左右分别相加，得：
$\frac{BE}{BC}+\frac{AE}{AD}=\frac{BF}{AB}+\frac{AF}{AB}=\frac{AF+BF}{AB}$
又$\because AF+BF=AB$，
$\therefore \frac{BE}{BC}+\frac{AE}{AD}=\frac{AB}{AB}=1$
即$\frac{AE}{AD}+\frac{BE}{BC}=1$，得证。
【答案】
证明:$\because AC//EF,\therefore \frac{BE}{BC}=\frac{BF}{BA}$。①
$\because FE//BD,\therefore \frac{AE}{AD}=\frac{AF}{AB}$。②
①+②,得$\frac{BE}{BC}+\frac{AE}{AD}=\frac{BF}{AB}+\frac{AF}{AB}=\frac{AB}{AB}=1$,
即$\frac{AE}{AD}+\frac{BE}{BC}=1$。
【知识点】
平行线分线段成比例、分式加法运算、等式性质
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础应用题型，解题核心是通过平行线将待证比例式转化为同分母的线段比，结合线段和的关系化简得到结论，解题时需注意比例的对应线段不要混淆。
【难度系数】
0.8
