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1. 2023年我国低空经济规模为0.5万亿元，2025年我国低空经济规模达到1.5万亿元。
如果设这两年低空经济规模年平均增长率为$x$，那么根据题意可列方程为(
A.$0.5(1+x^2)=1.5$
B.$0.5(1+2x)=1.5$
C.$0.5(1-x)^2=1.5$
D.$0.5(1+x)^2=1.5$
如果设这两年低空经济规模年平均增长率为$x$，那么根据题意可列方程为(
D
)。A.$0.5(1+x^2)=1.5$
B.$0.5(1+2x)=1.5$
C.$0.5(1-x)^2=1.5$
D.$0.5(1+x)^2=1.5$
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查平均增长率类的一元二次方程应用问题，解题思路如下：第一步先确定初始量、增长周期数和最终量：本题初始量是2023年的0.5万亿元，从2023年到2025年间隔2年，即增长次数为2，最终量是2025年的1.5万亿元；第二步回忆平均增长率的基本公式：若初始量为a，年平均增长率为x，经过n年后的总量为$a(1+x)^n$；第三步逐一排除错误选项：选项B是线性增长（即每年固定增长相同数值）的列式，不符合平均增长率的复利计算逻辑；选项A错误地将增长率直接平方，不符合公式；选项C是下降率的公式，和本题增长的情境不符，最终对应正确公式即可选出答案。
【解析】
已知2023年低空经济规模为初始量0.5万亿元，年平均增长率为x：
1. 2024年的经济规模 = 2023年规模×(1+增长率) = $0.5(1+x)$ 万亿元；
2. 2025年的经济规模 = 2024年规模×(1+增长率) = $0.5(1+x) × (1+x) = 0.5(1+x)^2$ 万亿元；
3. 结合2025年规模为1.5万亿元，可列方程：$0.5(1+x)^2=1.5$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 平均增长率计算
2. 一元二次方程实际应用
【点评】
本题是增长率问题的常规基础题，核心是掌握平均增长率的复利计算模型，做题时要注意准确数清增长的年数，同时不要混淆平均增长率和固定数值增长的列式逻辑，避免错选B选项。
【难度系数】
0.8
本题考查平均增长率类的一元二次方程应用问题，解题思路如下：第一步先确定初始量、增长周期数和最终量：本题初始量是2023年的0.5万亿元，从2023年到2025年间隔2年，即增长次数为2，最终量是2025年的1.5万亿元；第二步回忆平均增长率的基本公式：若初始量为a，年平均增长率为x，经过n年后的总量为$a(1+x)^n$；第三步逐一排除错误选项：选项B是线性增长（即每年固定增长相同数值）的列式，不符合平均增长率的复利计算逻辑；选项A错误地将增长率直接平方，不符合公式；选项C是下降率的公式，和本题增长的情境不符，最终对应正确公式即可选出答案。
【解析】
已知2023年低空经济规模为初始量0.5万亿元，年平均增长率为x：
1. 2024年的经济规模 = 2023年规模×(1+增长率) = $0.5(1+x)$ 万亿元；
2. 2025年的经济规模 = 2024年规模×(1+增长率) = $0.5(1+x) × (1+x) = 0.5(1+x)^2$ 万亿元；
3. 结合2025年规模为1.5万亿元，可列方程：$0.5(1+x)^2=1.5$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 平均增长率计算
2. 一元二次方程实际应用
【点评】
本题是增长率问题的常规基础题，核心是掌握平均增长率的复利计算模型，做题时要注意准确数清增长的年数，同时不要混淆平均增长率和固定数值增长的列式逻辑，避免错选B选项。
【难度系数】
0.8
2. 立身以立学为先，立学以读书为本。为鼓励师生阅读，某校图书馆开展阅读活动。自活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆180人次，前三个月累计进馆1260人次。若进馆人次的月增长率相同，设为$ x $，依题意可列方程为（
A.$ 180(1+x)^2 = 1260 $
B.$ 180(1+x) + 180(1+x)^2 = 1260 $
C.$ 180 + 180x + 180x^2 = 1260 $
D.$ 180 + 180(1+x) + 180(1+x)^2 = 1260 $
D
）。A.$ 180(1+x)^2 = 1260 $
B.$ 180(1+x) + 180(1+x)^2 = 1260 $
C.$ 180 + 180x + 180x^2 = 1260 $
D.$ 180 + 180(1+x) + 180(1+x)^2 = 1260 $
答案
2.D
解析
【分析】
本题属于平均增长率类的一元二次方程应用题，解题思路如下：首先明确已知条件：第一个月进馆180人次，月增长率为x，前三个月累计进馆1260人次。第一步先推导每个月的进馆人次：根据增长率公式，增长后量=增长前量×(1+增长率)，第二个月进馆人次是第一个月的(1+x)倍，第三个月进馆人次是第二个月的(1+x)倍。第二步注意“前三个月累计”是指三个月进馆人次的总和，将三个月的人次相加等于1260即可列出方程，解题时要注意区分“第三个月人次”和“前三个月总人次”的差异，避免漏加第一个月的量或写错增长率表达式。
【解析】
已知第一个月进馆人次为180，月增长率为x：
1. 第二个月进馆人次：$180(1+x)$
2. 第三个月进馆人次：$180(1+x) × (1+x) = 180(1+x)^2$
3. 前三个月累计进馆人次为三个月之和，等于1260，因此列方程为：
$180 + 180(1+x) + 180(1+x)^2 = 1260$
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 平均增长率问题
2. 一元二次方程实际应用
【点评】
本题是增长率问题的基础题型，解题核心是准确推导每个周期的对应量，重点关注题干中“累计”等关键词，避免因误读题干要求（如把累计和当成第三个月的量）选错选项。
【难度系数】
0.8
本题属于平均增长率类的一元二次方程应用题，解题思路如下：首先明确已知条件：第一个月进馆180人次，月增长率为x，前三个月累计进馆1260人次。第一步先推导每个月的进馆人次：根据增长率公式，增长后量=增长前量×(1+增长率)，第二个月进馆人次是第一个月的(1+x)倍，第三个月进馆人次是第二个月的(1+x)倍。第二步注意“前三个月累计”是指三个月进馆人次的总和，将三个月的人次相加等于1260即可列出方程，解题时要注意区分“第三个月人次”和“前三个月总人次”的差异，避免漏加第一个月的量或写错增长率表达式。
【解析】
已知第一个月进馆人次为180，月增长率为x：
1. 第二个月进馆人次：$180(1+x)$
2. 第三个月进馆人次：$180(1+x) × (1+x) = 180(1+x)^2$
3. 前三个月累计进馆人次为三个月之和，等于1260，因此列方程为：
$180 + 180(1+x) + 180(1+x)^2 = 1260$
对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
1. 平均增长率问题
2. 一元二次方程实际应用
【点评】
本题是增长率问题的基础题型，解题核心是准确推导每个周期的对应量，重点关注题干中“累计”等关键词，避免因误读题干要求（如把累计和当成第三个月的量）选错选项。
【难度系数】
0.8
3. 某种花卉每束的盈利与每束的株数有一定的关系。每束有3株时，平均每株盈利4元，若每束增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每束的盈利达到12元，每束应增加多少株？设每束增加$ x $株，则可以列出的方程是（
A.$(3+x)(4-0.5x)=12$
B.$(3+x)(4+0.5x)=12$
C.$(x+4)(3-0.5x)=12$
D.$(x+1)(4-0.5x)=12$
A
）。A.$(3+x)(4-0.5x)=12$
B.$(3+x)(4+0.5x)=12$
C.$(x+4)(3-0.5x)=12$
D.$(x+1)(4-0.5x)=12$
答案
3.A
解析
【分析】
要解决这道列方程的应用题，首先明确利润问题的核心等量关系：总盈利=每株盈利×每束总株数。我们需要结合题目条件，分别用含x的式子表示出每束总株数和平均每株的盈利，再代入等量关系即可列出方程。首先，设每束增加x株，那么每束总株数就是原来的3株加上增加的x株；其次，每增加1株平均每株盈利减少0.5元，增加x株后平均每株盈利就要在原来4元的基础上减去0.5x元；最后将两个式子相乘等于总盈利12元，即可得到所求方程。
【解析】
解：设每束增加x株。
① 计算增加x株后每束的总株数：原来每束3株，增加x株后，总株数为$\boldsymbol{3+x}$株；
② 计算增加x株后平均每株的盈利：每增加1株每株盈利减少0.5元，增加x株后每株盈利减少$0.5x$元，因此平均每株盈利为$\boldsymbol{4-0.5x}$元；
③ 根据“总盈利=每株盈利×总株数”，总盈利要达到12元，可列方程：
$(3+x)(4-0.5x)=12$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 利润问题等量关系
【点评】
本题是典型的利润类列方程基础题，解题关键是准确梳理题目中的数量变化关系，牢记总利润的计算公式，分别表示出单份利润和总数量后代入等量关系即可求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道列方程的应用题，首先明确利润问题的核心等量关系：总盈利=每株盈利×每束总株数。我们需要结合题目条件，分别用含x的式子表示出每束总株数和平均每株的盈利，再代入等量关系即可列出方程。首先，设每束增加x株，那么每束总株数就是原来的3株加上增加的x株；其次，每增加1株平均每株盈利减少0.5元，增加x株后平均每株盈利就要在原来4元的基础上减去0.5x元；最后将两个式子相乘等于总盈利12元，即可得到所求方程。
【解析】
解：设每束增加x株。
① 计算增加x株后每束的总株数：原来每束3株，增加x株后，总株数为$\boldsymbol{3+x}$株；
② 计算增加x株后平均每株的盈利：每增加1株每株盈利减少0.5元，增加x株后每株盈利减少$0.5x$元，因此平均每株盈利为$\boldsymbol{4-0.5x}$元；
③ 根据“总盈利=每株盈利×总株数”，总盈利要达到12元，可列方程：
$(3+x)(4-0.5x)=12$
对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 利润问题等量关系
【点评】
本题是典型的利润类列方程基础题，解题关键是准确梳理题目中的数量变化关系，牢记总利润的计算公式，分别表示出单份利润和总数量后代入等量关系即可求解。
【难度系数】
0.8
4. 某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两个队之间都赛一场），赛程计划安排7天，每天安排4场比赛。设比赛组织者应邀请$x$个队参赛，则$x$满足的关系式为（
A.$\frac{1}{2}x(x-1)=28$
B.$\frac{1}{2}x(x+1)=28$
C.$x(x-1)=28$
D.$x(x+1)=28$
A
）。A.$\frac{1}{2}x(x-1)=28$
B.$\frac{1}{2}x(x+1)=28$
C.$x(x-1)=28$
D.$x(x+1)=28$
答案
4.A
解析
【分析】
解题时先分两步走：第一步先算出本次赛程的总比赛场数，第二步根据单循环赛制的规则推导x个队的总比赛场次，最后让两者相等就能列出关系式。首先算总场数：已知赛程共7天，每天安排4场，总场数就是7乘4的结果；其次回忆单循环赛制的计数逻辑：x个队参赛，每个队要和除自己之外的(x-1)个队各赛1场，但每场比赛会被两个队各统计1次，属于重复计数，所以实际总场次需要除以2，也就是$\frac{1}{2}x(x-1)$；最后将两个总场次表达式联立即可得到方程。
【解析】
首先计算本次比赛的总场数：$7×4=28$场。
已知赛制为单循环，x个队参赛时，每两个队之间仅赛1场：每个队需要和其余$(x-1)$个队各赛1场，x个队累计计算的场次为$x(x-1)$场，但每场比赛被重复统计了2次，因此实际总场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$。
联立总场次相等，可列关系式：$\frac{1}{2}x(x-1)=28$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
单循环场次计算，列一元二次方程
【点评】
本题属于实际应用类基础题，解题的核心是理解单循环赛制的计数规则，注意不要漏除以2来避免重复计数，掌握单循环场次的计算方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先分两步走：第一步先算出本次赛程的总比赛场数，第二步根据单循环赛制的规则推导x个队的总比赛场次，最后让两者相等就能列出关系式。首先算总场数：已知赛程共7天，每天安排4场，总场数就是7乘4的结果；其次回忆单循环赛制的计数逻辑：x个队参赛，每个队要和除自己之外的(x-1)个队各赛1场，但每场比赛会被两个队各统计1次，属于重复计数，所以实际总场次需要除以2，也就是$\frac{1}{2}x(x-1)$；最后将两个总场次表达式联立即可得到方程。
【解析】
首先计算本次比赛的总场数：$7×4=28$场。
已知赛制为单循环，x个队参赛时，每两个队之间仅赛1场：每个队需要和其余$(x-1)$个队各赛1场，x个队累计计算的场次为$x(x-1)$场，但每场比赛被重复统计了2次，因此实际总场次为$\frac{1}{2}x(x-1)$。
联立总场次相等，可列关系式：$\frac{1}{2}x(x-1)=28$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
单循环场次计算，列一元二次方程
【点评】
本题属于实际应用类基础题，解题的核心是理解单循环赛制的计数规则，注意不要漏除以2来避免重复计数，掌握单循环场次的计算方法即可快速解题。
【难度系数】
0.8
5. 用一元二次方程解有关增长率的问题。若原来的数量为$a$，平均增长率为$x$，则增长一次后的数量为
$a(1+x)$
，增长两次后的数量是$a(1+x)^2$
。答案
5. 增长一次后的数量为$a(1+x)$，增长两次后的数量是$a(1+x)^2$
解析
【分析】
解题时首先明确增长率问题的核心：每次增长的基数是增长前的当期数量。第一步求增长1次后的数量：原有数量为a，增长x意味着新增的数量是原有数量a乘增长率x，将原有数量和新增数量相加，化简即可得到结果；第二步求增长2次后的数量：此时增长的基数变为第一次增长后的总数量，按照同样的逻辑，用第一次增长后的数量乘(1+x)，即可得到增长两次后的结果。
【解析】
1. 计算增长一次后的数量：
原有数量为a，平均增长率为x，那么第一次增长的新增数量为$a· x$，因此增长一次后的总数量为：
$a + a· x = a(1+x)$
2. 计算增长两次后的数量：
第二次增长的基数是第一次增长后的总数量$a(1+x)$，因此第二次增长的新增数量为$a(1+x)· x$，增长两次后的总数量为：
$a(1+x) + a(1+x)· x = a(1+x)(1+x) = a(1+x)^2$
【答案】
增长一次后的数量为$a(1+x)$，增长两次后的数量是$a(1+x)^2$
【知识点】
1. 增长率计算
2. 列代数式
【点评】
本题是增长率类问题的基础题型，核心是明确每次增长的基数为前一次的最终数量，推导得出的两个公式是解决增长率相关实际应用问题的核心基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确增长率问题的核心：每次增长的基数是增长前的当期数量。第一步求增长1次后的数量：原有数量为a，增长x意味着新增的数量是原有数量a乘增长率x，将原有数量和新增数量相加，化简即可得到结果；第二步求增长2次后的数量：此时增长的基数变为第一次增长后的总数量，按照同样的逻辑，用第一次增长后的数量乘(1+x)，即可得到增长两次后的结果。
【解析】
1. 计算增长一次后的数量：
原有数量为a，平均增长率为x，那么第一次增长的新增数量为$a· x$，因此增长一次后的总数量为：
$a + a· x = a(1+x)$
2. 计算增长两次后的数量：
第二次增长的基数是第一次增长后的总数量$a(1+x)$，因此第二次增长的新增数量为$a(1+x)· x$，增长两次后的总数量为：
$a(1+x) + a(1+x)· x = a(1+x)(1+x) = a(1+x)^2$
【答案】
增长一次后的数量为$a(1+x)$，增长两次后的数量是$a(1+x)^2$
【知识点】
1. 增长率计算
2. 列代数式
【点评】
本题是增长率类问题的基础题型，核心是明确每次增长的基数为前一次的最终数量，推导得出的两个公式是解决增长率相关实际应用问题的核心基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
6. 化学科代表在老师的培训下学会了“实验室用高锰酸钾制取氧气”的实验操作，回到班上后第一节课手把手教会了若干名同学。第二节课会做该实验的每名同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了，那么1人每次能手把手教会
6
名同学。答案
6.6
解析
【分析】
这是传播类的一元二次方程应用题，解题思路为：首先设1人每次教会x名同学，先推导每轮结束后会做实验的总人数：第一轮只有科代表1人会，教会x人后，总共有(1+x)人会做实验；第二轮时，已会的(1+x)人每人再教会x人，新增x(1+x)人会做，两轮后总人数恰好为49，根据这个等量关系列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的根即可得到结果。
【解析】
设1人每次能手把手教会$ x $名同学。
第一轮结束后，会做实验的总人数为：$ 1 + x $（包含原来的科代表和他教会的$ x $名同学）
第二轮结束后，新增会做实验的人数为$ x(1+x) $，因此两轮后总人数满足：
$1 + x + x(1+x) = 49$
整理方程得：
$(1+x)^2 = 49$
开平方得：$ 1+x = 7 $ 或 $ 1+x = -7 $
由于教会的人数不能为负数，因此舍去$ 1+x=-7 $的情况，解得：
$ x = 7 - 1 = 6 $
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程应用，传播类问题建模
【点评】
本题是经典的实际应用类问题，解题核心是理清每轮传播后总人数的数量关系，列方程时要注意包含已经掌握技能的人数，求解方程后要结合实际情况舍去不合逻辑的根。
【难度系数】
0.7
这是传播类的一元二次方程应用题，解题思路为：首先设1人每次教会x名同学，先推导每轮结束后会做实验的总人数：第一轮只有科代表1人会，教会x人后，总共有(1+x)人会做实验；第二轮时，已会的(1+x)人每人再教会x人，新增x(1+x)人会做，两轮后总人数恰好为49，根据这个等量关系列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的根即可得到结果。
【解析】
设1人每次能手把手教会$ x $名同学。
第一轮结束后，会做实验的总人数为：$ 1 + x $（包含原来的科代表和他教会的$ x $名同学）
第二轮结束后，新增会做实验的人数为$ x(1+x) $，因此两轮后总人数满足：
$1 + x + x(1+x) = 49$
整理方程得：
$(1+x)^2 = 49$
开平方得：$ 1+x = 7 $ 或 $ 1+x = -7 $
由于教会的人数不能为负数，因此舍去$ 1+x=-7 $的情况，解得：
$ x = 7 - 1 = 6 $
【答案】
6
【知识点】
一元二次方程应用，传播类问题建模
【点评】
本题是经典的实际应用类问题，解题核心是理清每轮传播后总人数的数量关系，列方程时要注意包含已经掌握技能的人数，求解方程后要结合实际情况舍去不合逻辑的根。
【难度系数】
0.7
7. 乐乐的妈妈经营了一家童装专卖店，她在销售中发现，一款童装每件进价为120元，售价为280元时，平均每天可售出3件。为了迎接“元旦”，专卖店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存。经市场调查发现，若这款童装每件降价10元，则平均可多售出1件。设这款童装每件降价10x元。
(1)每天可销售
(2)求每件降价多少元时，销售这款童装平均每天可盈利840元。
(1)每天可销售
$(3+x)$
件，每件盈利$(160-10x)$
元；(用含x的代数式表示)(2)求每件降价多少元时，销售这款童装平均每天可盈利840元。
答案
7. 解:(1)$(3+x)$ $(160-10x)$
(2)根据题意得$(160-10x)(3+x)=840$,
整理得$x^2-13x+36=0$,解得$x_1=4,x_2=9$。
又
∵要尽快减少库存,
∴$x=9$。
$10×9=90$(元)。
故每件降价90元时,销售这款童装平均每天可盈利840元。
(2)根据题意得$(160-10x)(3+x)=840$,
整理得$x^2-13x+36=0$,解得$x_1=4,x_2=9$。
又
∵要尽快减少库存,
∴$x=9$。
$10×9=90$(元)。
故每件降价90元时,销售这款童装平均每天可盈利840元。
解析
【分析】
（1）第一问先梳理数量变化关系：原日均销量为3件，每降价10元多售出1件，现降价10x元，对应多售出x件，总销量为原销量加新增销量；单件盈利原本为售价减进价，即280-120=160元，降价10x元后单件盈利对应减少10x元，用原单件盈利减去降价金额即可得到结果。
（2）第二问根据“总盈利=单件盈利×销售总量”的核心等量关系列一元二次方程，求解后结合“尽快减少库存”的要求，选择对应销量更大的x值，最终换算为降价总金额即可。
【解析】
(1) 日均销量：原销量3件加上降价后多售出的x件，即$\boldsymbol{3+x}$件；
单件盈利：原利润160元减去降价的10x元，即$\boldsymbol{160-10x}$元。
(2) 根据总盈利为840元列方程：
$(160-10x)(3+x)=840$
展开整理得：
$x^2-13x+36=0$
解得$x_1=4$，$x_2=9$。
由于要尽快减少库存，需选择销量更高的方案，即x取更大的数值，因此取$x=9$，对应降价金额为$10×9=90$元。
【答案】
(1) $(3+x)$；$(160-10x)$
(2) 90元
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；销售利润计算
【点评】
本题是销售利润类的典型应用题，解题关键是找准总利润、单件利润、销售量三者的等量关系，需注意题干中“尽快减少库存”的限制条件，对方程的解进行合理取舍，避免漏看要求出错。
【难度系数】
0.7
（1）第一问先梳理数量变化关系：原日均销量为3件，每降价10元多售出1件，现降价10x元，对应多售出x件，总销量为原销量加新增销量；单件盈利原本为售价减进价，即280-120=160元，降价10x元后单件盈利对应减少10x元，用原单件盈利减去降价金额即可得到结果。
（2）第二问根据“总盈利=单件盈利×销售总量”的核心等量关系列一元二次方程，求解后结合“尽快减少库存”的要求，选择对应销量更大的x值，最终换算为降价总金额即可。
【解析】
(1) 日均销量：原销量3件加上降价后多售出的x件，即$\boldsymbol{3+x}$件；
单件盈利：原利润160元减去降价的10x元，即$\boldsymbol{160-10x}$元。
(2) 根据总盈利为840元列方程：
$(160-10x)(3+x)=840$
展开整理得：
$x^2-13x+36=0$
解得$x_1=4$，$x_2=9$。
由于要尽快减少库存，需选择销量更高的方案，即x取更大的数值，因此取$x=9$，对应降价金额为$10×9=90$元。
【答案】
(1) $(3+x)$；$(160-10x)$
(2) 90元
【知识点】
列代数式；一元二次方程的应用；销售利润计算
【点评】
本题是销售利润类的典型应用题，解题关键是找准总利润、单件利润、销售量三者的等量关系，需注意题干中“尽快减少库存”的限制条件，对方程的解进行合理取舍，避免漏看要求出错。
【难度系数】
0.7
