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16 如图,给出下列条件:①$∠ 1=∠ 2$;②$∠ 3=∠ 4$;③$AB// CE$,且$∠ ADC=∠ B$;④$AB// CE$且$∠ BCD=∠ BAD$.其中能推出$BC// AD$的条件为(
A.①②
B.②④
C.②③
D.②③④
D
).A.①②
B.②④
C.②③
D.②③④
答案
16.D
17 命题“如果$x^2≥1$，那么$x≥1$”是
假
（填“真”或“假”）命题。答案
17.假
18 如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点B落在点$B'$处，若$EB'$恰好与BC平行，且$∠B=80°$，则$∠CDE=$
130
$°$。答案
18.130
19 已知命题“若 n 是自然数,则代数式$(3n+1)(3n+2)$的值是3的倍数”.
(1)写出命题的条件和结论；
(2)判断这个命题是真命题还是假命题,并说明理由.
(1)写出命题的条件和结论；
(2)判断这个命题是真命题还是假命题,并说明理由.
答案
19.(1)命题的条件是n是自然数，命题的结论是代数式$(3n+1)(3n+2)$的值是3的倍数.
(2)是假命题.理由如下：
∵$(3n+1)(3n+2)=9n^2+6n+3n+2=9n^2+9n+3-1=3(3n^2+3n+1)-1$,n为自然数，
∴$3(3n^2+3n+1)-1$不为3的倍数，
∴这个命题是假命题.
(2)是假命题.理由如下：
∵$(3n+1)(3n+2)=9n^2+6n+3n+2=9n^2+9n+3-1=3(3n^2+3n+1)-1$,n为自然数，
∴$3(3n^2+3n+1)-1$不为3的倍数，
∴这个命题是假命题.
20（2025·江苏连云港海州区期末）如图，直线$l_1// l_2$，把一块含$30°$角的三角板按如图位置摆放，直角边BC与直线$l_2$重合，斜边与直线$l_1$和直线$l_2$交于点A，B。点P，Q分别是直线$l_1$和直线$l_2$上两点。连接PQ，作射线BP。
(1)若$∠ BAP=∠ BQP$，判断AB与PQ是否平行，并说明理由；
(2)若射线BP平分$∠ ABQ$，求$∠ 1$的度数。
(1)若$∠ BAP=∠ BQP$，判断AB与PQ是否平行，并说明理由；
(2)若射线BP平分$∠ ABQ$，求$∠ 1$的度数。
答案
20.(1)$AB//PQ$.理由如下：因为$l_1//l_2$,所以$∠PAB=∠ABC$.又$∠PAB=∠BQP$,所以$∠ABC=∠BQP$,所以$AB//PQ$.
(2)由题意,得$∠ABC=60°$,所以$∠ABQ=180°-60°=120°$.因为BP平分$∠ABQ$,所以$∠PBQ=\frac{1}{2}∠ABQ=60°$.因为$l_1//l_2$,所以$∠1=∠PBQ=60°$.
(2)由题意,得$∠ABC=60°$,所以$∠ABQ=180°-60°=120°$.因为BP平分$∠ABQ$,所以$∠PBQ=\frac{1}{2}∠ABQ=60°$.因为$l_1//l_2$,所以$∠1=∠PBQ=60°$.
21 分类讨论思想 如图，在$△ ABC$中，$∠ A=60°$，$∠ B=40°$，$DE// BC$。
(1)求$∠ AED$的度数；
(2)点F在直线AB上，连接EF，若$△ AEF$为直角三角形，求$∠ DEF$的度数。
（第21题）
(1)求$∠ AED$的度数；
(2)点F在直线AB上，连接EF，若$△ AEF$为直角三角形，求$∠ DEF$的度数。
（第21题）答案
21.(1)
∵$∠A=60°,∠B=40°$,
∴$∠C=180°-60°-40°=80°$.
∵DE//BC,
∴$∠AED=∠C=80°$.
(2)分两种情况：
由$△AEF$为直角三角形，结合$∠A=60°$判断出分两种情况
①如图(1),当$∠AEF=90°$时,
∴$∠DEF=90°-80°=10°$；
②如图(2),当$∠AFE=90°$时,
∵$∠A=60°$,
∴$∠AEF=30°$,
∴$∠DEF=80°-30°=50°$.综上所述,$∠DEF$的度数为$10°$或$50°$.
22 (2025·江苏宿迁沭阳期末)如图,长方形ABCD中,AD//BC,E为边BC上一点,将长方形沿AE折叠(AE为折痕),使点B与点F重合,EG平分∠CEF交CD于点G,过点G作HG⊥EG交AD于点H.
(1)求证:HG//AE;
(2)若∠CEG=20°,求∠DHG的度数.
(1)求证:HG//AE;
(2)若∠CEG=20°,求∠DHG的度数.
答案
22.(1)由折叠,得$∠AEB=∠AEF$.
∵EG平分$∠CEF$交CD于点G,
∴$∠FEG=∠CEG$.
∵$∠AEB+∠AEF+∠FEG+∠CEG=180°$,
∴$∠AEG=∠AEF+∠FEG=90°$,
∴AE⊥EG.
∵HG⊥EG,
∴HG//AE.
(2)
∵$∠CEG=20°$,
∴$∠AEB=70°$.
∵在长方形ABCD中,AD//BC,
∴$∠DAE=∠AEB=70°$.
∵HG//AE,
∴$∠DHG=∠DAE=70°$.
∵EG平分$∠CEF$交CD于点G,
∴$∠FEG=∠CEG$.
∵$∠AEB+∠AEF+∠FEG+∠CEG=180°$,
∴$∠AEG=∠AEF+∠FEG=90°$,
∴AE⊥EG.
∵HG⊥EG,
∴HG//AE.
(2)
∵$∠CEG=20°$,
∴$∠AEB=70°$.
∵在长方形ABCD中,AD//BC,
∴$∠DAE=∠AEB=70°$.
∵HG//AE,
∴$∠DHG=∠DAE=70°$.
