【问题导入】如图①,在直线 $ l $ 上找一点 $ P $,如何使得 $ PA+PB $ 最小?

小华同学的思路:作点 $ A $ 关于直线 $ l $ 的对称点 $ A' $,连接 $ BA' $,与直线 $ l $ 交于点 $ P $.由对称可得 $ PA'=PA $,所以 $ PA+PB=PA'+PB ≥ A'B $,当 $ A',P,B $ 三点共线的时候, $ PA'+PB=A'B $,此时 $ PA+PB $ 最小.
如图②,在直线 $ l $ 上找一点 $ P $,如何使得 $ |PA-PB| $ 最大?
小明同学的思路:作点 $ A $ 关于直线 $ l $ 的对称点 $ A' $,连接 $ BA' $ 并延长交直线 $ l $ 于点 $ P $.由对称可得 $ PA'=PA $,所以 $ |PA-PB|=|PA'-PB| ≤ A'B $,当 $ A',P,B $ 三点共线的时候, $ |PA-PB|=A'B $,此时 $ |PA-PB| $ 最大.
可见,解此类问题的关键是将问题转化为“两点之间线段最短”来解决.
【理解运用】(1)如图③,直线 $ y=\frac{1}{2}x+b $ 上有点 $ A(4,a),B(-2,1) $,点 $ P $ 在 $ x $ 轴上运动,点 $ Q $ 在直线 $ AB $ 下方的 $ y $ 轴上运动.
①求 $ a,b $ 的值;
②当 $ PA+PB $ 最小时,求点 $ P $ 的坐标;
③令 $ t=QA-QB-PA-PB $,当 $ t $ 的值最大时,求点 $ Q $ 的坐标及 $ t $ 的最大值.
【深度探究】(2)在(1)的条件下,且满足 $ t=QA-QB-PA-PB $,当 $ t $ 的值最大时,若点 $ M,N $ 分别是线段 $ OP,OQ $ 上的动点,且 $ PM=ON $,连接 $ PN,MQ $,当 $ PN+MQ $ 最小时,求点 $ M $ 的坐标.

(1)①根据题意,得$\begin{cases} \dfrac{1}{2}×4+b=a, \\ \dfrac{1}{2}×(-2)+b=1, \end{cases}$ $\therefore \begin{cases} a=4, \\ b=2. \end{cases}$
②如图①,作点 B 关于 x 轴对称点 $B'(-2,-1)$,连接 $AB'$,交 x 轴于点 P,则此时 $PA+PB$ 最小,设直线 $AB'$ 的表达式为$y=kx+m$, $\therefore \begin{cases} 4k+m=4, \\ -2k+m=-1, \end{cases}$ $\therefore \begin{cases} k=\dfrac{5}{6}, \\ m=\dfrac{2}{3}, \end{cases}$ $\therefore y=\dfrac{5}{6}x+\dfrac{2}{3}$, 当 $y=0$ 时,$0=\dfrac{5}{6}x+\dfrac{2}{3}$,$\therefore x=-\dfrac{4}{5}$,$\therefore P(-\dfrac{4}{5},0)$.
③如图①,作点 B 关于 y 轴对称点 $B''(2,1)$,作直线 $AB''$,交 y 轴于点 Q,则此时 $t=QA-QB-PA-PB$ 最大,设直线 $AB''$ 的表达式为 $y=px+q$,$\therefore \begin{cases} 4p+q=4, \\ 2p+q=1, \end{cases}$ $\therefore \begin{cases} p=\dfrac{3}{2}, \\ q=-2, \end{cases}$ $\therefore y=\dfrac{3}{2}x-2$, 当 $x=0$ 时,$y=-2$, $\therefore Q(0,-2)$. $\because QA-QB = QA-QB'' = AB'' = \sqrt{(4-2)^2+(4-1)^2} = \sqrt{13}$, $PA + PB = PA + PB' = AB' = \sqrt{(4+2)^2+(4+1)^2} = \sqrt{61}$, $t_{\mathrm{最大}} = QA - QB - PA - PB = \sqrt{13}-\sqrt{61}$.
(2)如图②,作 $PG ⊥ x$ 轴,截取 $PG=OP$,$\because PM=ON, ∠ GPM=∠ PON= 90°$, $\therefore △ GPM ≌ △ PON\ (\mathrm{SAS})$, $\therefore PN = GM$, $\therefore PN+MQ=GM+MQ≥ GQ$,$\therefore$ 当 $G,M,Q$ 三点共线时,$PN+MQ$最小.由条件知 $G(-\dfrac{4}{5},\dfrac{4}{5})$,$Q(0,-2)$,$\therefore$ 直线 $GQ$ 的表达式为 $y=-\dfrac{7}{2}x-2$.当 $y=0$时,$-\dfrac{7}{2}x-2=0$,$\therefore x=-\dfrac{4}{7}$,$\therefore M(-\dfrac{4}{7},0)$.