3. 如图,直线$y=kx+b$与$x$轴、$y$轴分别交于点$A$和点$B$,点$C$在线段$AO$上,将$△ ABC$沿$BC$所在直线翻折后,点$A$恰好落在$y$轴上的点$D$处,已知$OA=4,OB=3$.
(1)求直线$AB$的表达式.
(2)求$S_{△ ABC}: S_{△ OCD}$的值.
(3)直线$CD$上是否存在点$P$使得$∠ PBC=45°$? 若存在,请求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.

3.(1)
∵OA=4,OB=3,
∴A(-4,0),B(0,-3),
∴设直线AB的表达式为y=kx-3,把点A(-4,0)的坐标代入,得k=-3/4,
∴y=-3/4 x -3.
(2)
∵OA=4,OB=3,
∴AB=√(3²+4²)=5.
∵将△ABC沿BC所在直线翻折后,点A恰好落在y轴上的点D处,
∴BD=AB=5,CD=CA,
∴OD=BD-OB=2.设OC=a,则AC=4-a,
∴CD=CA=4-a.在Rt△OCD中,OC²+OD²=CD²,
∴a²+2²=(4-a)²,
∴a=3/2,
∴AC=OA-OC=5/2,
∴S△ABC=1/2 AC · OB=1/2 ×5/2 ×3=15/4,S△OCD=1/2 OC · OD=1/2 ×3/2 ×2=3/2,
∴S△ABC:S△OCD=15/4 : 3/2=5:2.
(3)存在,求解如下:如图①,当点P在第三象限内时,过点C作CM⊥PB于点M,过点M分别作ME⊥x轴于点E,MF⊥y轴于点F,则CM=MB,∠MEC=∠MFB=90°,又
∵∠EMF=∠CMB=90°,
∴∠EMC=∠FMB,
∴△MCE≌△MBF(AAS),
∴ME=MF,CE=BF.
∵ME⊥x轴,MF⊥y轴,
∴四边形EMFO为正方形,
∴OE=OF=(OC+OB)/2=(3/2 +3)/2=9/4,
∴M(-9/4,-9/4),
∴直线BM的表达式为y=-1/3 x -3.
∵C(-3/2,0),D(0,2),
∴直线CD的表达式为y=4/3 x +2,联立方程组,解得{x=-3, y=-2,
∴P(-3,-2).

如图②,当点P在第一象限内时,过C作CM⊥PB于点M,过点M分别作ME⊥x轴于点E,MF⊥y轴于点F,则CM=MB,∠MEC=∠MFB=90°,又
∵∠EMF=∠CMB=90°,
∴∠EMC=∠FMB,
∴△MCE≌△MBF(AAS),
∴ME=MF,CE=BF.
∵ME⊥x轴,MF⊥y轴,
∴四边形EMFO是正方形,
∴OE=OF=(OB-OC)/2=(3 - 3/2)/2=3/4,
∴M(3/4,-3/4),
∴直线BM的表达式为y=3x-3.
∵C(-3/2,0),D(0,2),
∴直线CD的表达式为y=4/3 x +2,联立方程组,解得{x=3, y=6,
∴P(3,6).

综上所述,P(-3,-2)或P(3,6).

4. |分类讨论思想 (1)基本图形的认识:如图①,在四边形ABCD中,∠ABC=∠DCB=90°,点E是边BC上一点,AB=EC,BE=CD,连接AE,DE,则△AED是三角形(填形状);
(2)基本图形的构造:如图②,在平面直角坐标系中,A(2,0),B(0,3),连接AB,过点A在第一象限内作AB的垂线,并在垂线上截取AC=AB,求点C的坐标;
(3)基本图形的应用:一次函数$y=-2x+2$的图象与y轴交于点A,与x轴交于点B,直线AC交x轴于点D,且∠CAB=45°,求点D的坐标.

4.(1)等腰直角 解析:在△ABE和△ECD中,
∵{AB=EC,
∠ABE=∠ECD=90°,
BE=CD,
∴△ABE≌△ECD(SAS),
∴AE=DE,∠AEB=∠EDC.
∵∠C=90°,
∴∠EDC+∠DEC=90°,
∴∠AEB+∠DEC=90°,
∴∠AED=90°.又AE=ED,
∴△AED是等腰直角三角形.
(2)过点C作CH⊥x轴于点H,如图①,则∠AHC=90°,
∴∠AOB=∠BAC=∠AHC=90°,
∴∠OAB+∠HAC=90°,∠HAC+∠HCA=90°,
∴∠OAB=∠HCA.在△AOB和△CHA中,
∵{∠AOB=∠CHA,
∠OAB=∠HCA,
AB=CA,
∴△AOB≌△CHA(AAS),
∴AO=CH,OB=HA.
∵A(2,0),B(0,3),
∴AO=2,OB=3,
∴AO=CH=2,OB=HA=3,
∴OH=OA+AH=5,
∴点C的坐标为(5,2).

(3)如图②,当点D在点B的右侧时,过点B作BE⊥AB,交直线AD于点E,过点E作EF⊥OD,交OD于点F,把x=0代入y=-2x+2中,得y=2,
∴点A的坐标为(0,2),
∴OA=2.把y=0代入y=-2x+2中,得-2x+2=0,解得x=1,
∴点B的坐标为(1,0),
∴OB=1.
∵AO⊥OB,EF⊥BD,
∴∠AOB=∠BFE=90°.
∵AB⊥BE,
∴∠ABE=90°.
∵∠BAE=45°,
∴AB=BE.
∵∠ABO+∠EBF=90°,∠ABO+∠OAB=90°,
∴∠OAB=∠EBF.在△AOB和△BFE中,{∠OAB=∠EBF,
∠AOB=∠BFE,
AB=BE,
∴△AOB≌△BFE(AAS),
∴BF=OA=2,EF=OB=1,
∴OF=3,
∴点E的坐标为(3,1).设直线AC的表达式为y=kx+b,把A(0,2),E(3,1)代入得{3k+b=1, b=2,解得{k=-1/3, b=2,
∴直线AC的表达式为y=-1/3 x +2.令y=0,解得x=6,
∴D(6,0).如图③,当点D在点B的左侧时,过点B作EB⊥AB,交AC于点E,过点E作EF⊥x轴于点F,则∠ABE=∠EFB=∠AOB=90°,
∴∠ABO+∠EBF=∠EBF+∠FEB=90°,
∴∠ABO=∠FEB.
∵∠CAB=45°,∠ABE=90°,
∴△ABE为等腰直角三角形,
∴AB=BE,
∴△ABO≌△BEF(AAS),
∴EF=BO=1,BF=AO=2,
∴OF=2-1=1,
∴点E的坐标为(-1,-1).设直线AE的表达式为y=k'x+2,把(-1,-1)代入得-1=-k'+2,解得k'=3,
∴直线AE的表达式为y=3x+2,把y=0代入y=3x+2得0=3x+2,解得x=-2/3,
∴点D的坐标为(-2/3,0).综上可知,点D的坐标为(6,0)或(-2/3,0).