1. 如图,已知直线$l_{1}:y=-2x+3$与$x$轴、$y$轴分别交于$A,B$两点,过点$A$的直线$l_{2}$与$y$轴负半轴交于点$C$,且$OA:OC=1:3$.
(1)求直线$l_{2}$的函数表达式.
(2)直线$l_{3}:y=kx+k$与$y$轴正半轴交于点$F$,与直线$l_{2}$交于点$P$,若$∠ FPA=45°$,求$k$的值.

1.(1)对于y=-2x+3,当x=0时,y=3,当y=0时,x=3/2,
∴A(3/2,0),B(0,3).
∵OA:OC=1:3,
∴CO=9/2,即点C(0,-9/2).设直线l₂的函数表达式为y=k₁x-9/2,将点A的坐标代入上式得0=3/2 k₁ -9/2,则k₁=3,则直线l₂的函数表达式为y=3x-9/2.
(2)设点P(n,3n-4.5),设直线PF交x轴于点T(-1,0),过点T作TM⊥PF交直线AC于点M,则△PMT为等腰直角三角形,则TP=TM,设M(m,3m-4.5),过点T作GN//y轴,交过点P和x轴平行的直线于点G,交过点M和x轴平行的直线于点N.
∵∠GTP+∠MTN=90°,∠MTN+∠TMN=90°,
∴∠GTP=∠TMN,
∴△GTP≌△NMT(AAS),
∴GP=TN,GT=MN,则n+1=4.5-3m,且m+1=3n-4.5,解得n=2,则点P(2,1.5),将点P的坐标代入y=kx+k得1.5=2k+k,解得k=0.5.

2. 如图,直线$y=mx-3m$($m$为常数,$m≠0$)与$x$轴正半轴交于点$B$,与$y$轴正半轴交于点$A$,且$AO=2BO$.
(1)求$m$的值.
(2)动点$P,Q$分别从点$A$,点$B$出发,均以1个单位长度/秒的速度同时沿$x$轴正方向运动,设运动时间为$t$秒($0＜t＜6$).
①如图①,连接$OP$,当$t$为何值时,$△ OPQ$是以$OP$为腰的等腰三角形?
②如图②,点$C$与点$O$关于直线$PQ$对称,连接$OC,CQ$,若$∠ POC=45°$,补全图形,并求$△ OCQ$的面积.

2.(1)
∵直线y=mx-3m(m为常数,m≠0)与x轴正半轴交于点B,
∴mx-3m=m(x-3)=0,
∴x=3,即B(3,0),
∴BO=3.
∵AO=2BO,直线y=mx-3m与y轴正半轴交于点A,
∴AO=6,即A(0,6),将点A(0,6)的坐标代入表达式得-3m=6,解得m=-2.
(2)①由题意可知,AP=t,BQ=t,则P(t,6),Q(3+t,0),
∴OP=√(t²+6²),OQ=3+t,PQ=√(3²+6²)=√45.
∵△OPQ是以OP为腰的等腰三角形,若OP=PQ,则√(t²+6²)=√45,解得t=3(负值已舍去);若OP=OQ,则√(t²+6²)=3+t,解得t=9/2.综上可知,当t的值为3或9/2时,△OPQ是以OP为腰的等腰三角形.
②补全图形如下:

过点C作直线l//y轴,延长AP交直线l于点D,连接CP,由轴对称的性质可知,OP=CP,OQ=CQ,
∴∠PCO=∠POC=45°,
∴∠CPO=90°,
∴∠APO+∠CPD=90°.
∵∠APO+∠AOP=90°,
∴∠AOP=∠CPD. 在△AOP和△DPC中,
{∠OAP=∠PDC=90°,
∠AOP=∠DPC,
OP=PC,
∴△AOP≌△DPC(AAS),
∴OA=PD=6,AP=CD=t,
∴C(6+t,6-t).
∵O(0,0),Q(3+t,0),
∴OQ=3+t,CQ=√(3²+(6-t)²).
∵OQ=CQ,
∴3+t=√(3²+(6-t)²),解得t=2,此时OQ=5,C(8,4),
∴△OCQ的面积=1/2 OQ · y_C=1/2 ×5×4=10.