1. 💻 |新定义（2025·福州期中）已知一次函数$y_1=kx+b$和$y_2=k(kx+b)+b$（$k,b$是常数，$k≠0$），我们称$y_2$是$y_1$的迭代函数.如函数$y=2x+3$的迭代函数是$y=2(2x+3)+3$，即$y=4x+9$；当$k≠1$时，函数$y=kx+b$的图象与它的迭代函数$y=k(kx+b)+b$的图象交于点$M$，我们称点$M$是这个函数的迭代点.
（1）填空：函数$y=-4x+5$的迭代函数是________，这个函数迭代点$M$的坐标为________.
（2）对于任意$y=kx+b$（$k,b$是常数，$k≠0$）的迭代函数，若$P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$是其迭代函数图象上两个不重合的点，求证：当$x_1＞x_2$时，总有$y_1＞y_2$.
（3）若点$M$的坐标为$(m,n)$，请写出$m,n$的数量关系，并证明.

1.(1) $y=16x-15$，$(1,1)$ 解析:由题意可得函数$y=-4x+5$的迭代函数为$y=-4(-4x+5)+5$,即$y=16x-15$,联立可得$\begin{cases} y=-4x+5,\\ y=16x-15, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=1,\\ y=1, \end{cases}$
∴这个函数迭代点$M$的坐标为$(1,1)$.
(2)由题意可得函数$y=kx+b$的迭代函数为$y=k(kx+b)+b$($k$,$b$是常数,$k≠0$),即$y=k^2x+kb+b$.
∵$k≠0$,
∴$k^2＞0$,
∴在函数$y=k^2x+kb+b$中,$y$随$x$的增大而增大,
∴若$P(x_1,y_1)$,$Q(x_2,y_2)$是其迭代函数图象上两个不重合的点,当$x_1＞x_2$时,总有$y_1＞y_2$.
(3)$m=n$.证明:由题意可得,函数$y=kx+b$的图象与它的迭代函数$y=k(kx+b)+b=k^2x+kb+b$的图象交于点$M$,联立可得$\begin{cases} y=kx+b,\\ y=k^2x+kb+b, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=\dfrac{b}{1-k},\\ y=\dfrac{b}{1-k}, \end{cases}$即点$M$的坐标为$(\dfrac{b}{1-k},\dfrac{b}{1-k})$,
∴若点$M$的坐标为$(m,n)$时,则$m$,$n$的数量关系为$m=n$.

2. $\boldsymbol{|\ \ \ \ }$新定义（2025·扬州期末）对于两个一次函数$y=k_1x+b_1(k_1≠0),y=k_2x+b_2(k_2≠0)$，我们称一次函数$y=|k_1-k_2|x+b_1b_2$为这两个函数的复合函数.
(1)一次函数$y=4x+1$与$y=-x-3$的复合函数为________.
(2)若一次函数$y=kx-1,y=-2x+b$的复合函数为$y=3x+4$，则$k=\_\_\_\_\_\_,b=\_\_\_\_\_\_$.
(3)已知一次函数$y=x+m+2$与$y=nx-1(n≠0)$的复合函数的图象经过第一、第三、第四象限，常数$m,n$满足的条件是$m\_\_\_\_\_\_,n\_\_\_\_\_\_$.
(4)若$m＜\dfrac{1}{2}$，一次函数$y=x+m+2$与$y=2mx-6$的复合函数的图象是否经过定点？如果是，求出其坐标；如果不是，请说明理由.

2.(1)$y=5x-3$ 解析:由题意得$y=|4-(-1)|x+1×(-3)=5x-3$.
(2)$1$或$-5$，$-4$ 解析:由题意得$y=|k-(-2)|x+(-1)×b=|k+2|x-b$,由$y=3x+4$得$|k+2|=3$,$-b=4$,解得$k=1$或$k=-5$,$b=-4$.
(3)$＞-2$，$≠1$且$≠0$ 解析:由题意得$y=|1-n|x+(m+2)×(-1)=|1-n|x-(m+2)$,
∵图象经过第一、第三、第四象限,
∴$\begin{cases} |1-n|≠0,\\ -(m+2)＜0, \end{cases}$解得$\begin{cases} n≠1,\\ m＞-2. \end{cases}$
∴$m＞-2$,$n≠1$且$n≠0$.
(4)复合函数图象经过定点.求解如下:由题意得$y=|1-2m|x+(m+2)×(-6)=|1-2m|x-6m-12$.
∵$m＜\dfrac{1}{2}$,
∴$1-2m＞0$,
∴$y=(1-2m)x-6m-12=x-2mx-6m-12=(-2x-6)m+x-12$,当$-2x-6=0$时,$x=-3$,$y=-3-12=-15$,即此复合函数的图象经过定点$(-3,-15)$.