25. (10分)先阅读,然后解决问题.
若$m^2 + 2m + n^2 - 6n + 10 = 0$,求$m$和$n$的值.
解:等式可变形为$m^2 + 2m + 1 + n^2 - 6n + 9 = 0$,
即$(m+1)^2 + (n-3)^2 = 0$.
$\because (m+1)^2 ≥ 0, (n-3)^2 ≥ 0$,
$\therefore m + 1 = 0, n - 3 = 0$,
即$m = -1, n = 3$.
像这样将代数式进行恒等变形,使代数式中出现完全平方式的方法叫作“配方法”. 请利用配方法,解决下列问题.
(1)若$△ ABC$的三边长$a,b,c$都是正整数,且满足$a^2 + 2b^2 - 2a - 16b + 33 = 0, |a - b| ＜ c ＜ a + b$,则$△ ABC$的周长是________;
(2)求代数式$a^2 + 4b^2 + 4ab - 4a - 8b + 7$的最小值,并指出此时$a,b$满足的数量关系;
(3)试比较多项式$3x^2 + 3x - 6$与$2x^2 + 5x - 3$的大小.
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【点拨】本题考查配方法的应用,非负数的性质以及三角形三边关系,熟练掌握完全平方公式是解题的关键.
【解析】(1)$a^2 + b^2 -2a -16b +33=0$整理,得$(a^2-2a+1)+2(b^2-8b+16)=0$,
即$(a-1)^2 +2(b-4)^2=0$,
$\therefore a-1=0$,$b-4=0$,
解得$a=1$,$b=4$.
$\because △ ABC$的三边长$a,b,c$都是正整数,且$|a-b|＜c＜a+b$,
$\therefore 3＜c＜5$,即$c=4$,
则$△ ABC$周长为$1+4+4=9$.
故答案为9.
(2) $a^2 +4b^2 +4ab -4a -8b +7$
$=(a^2 +4b^2 +4ab)-4(a+2b)+7$
$=(a+2b)^2 -4(a+2b)+4+3$
$=(a+2b-2)^2 +3$.
$\because (a+2b-2)^2≥0$,$\therefore (a+2b-2)^2 +3≥3$.
当$a+2b-2=0$时,原式有最小值为3.
(3)$3x^2+3x-6-(2x^2+5x-3)$
$=3x^2+3x-6-2x^2-5x+3$
$=x^2-2x-3$
$=x^2-2x+1-4$
$=(x-1)^2 -4$.
当$x=3$,或$x=-1$时,原式$=0$,
$\therefore$ 当$x＞3$或$x＜-1$时,$(x-1)^2 -4＞0$,
则$3x^2+3x-6＞2x^2+5x-3$;
当$x=3$或$x=-1$时,$(x-1)^2 -4=0$,
则$3x^2+3x-6=2x^2+5x-3$;
当$-1＜x＜3$时,$(x-1)^2 -4＜0$,
则$3x^2+3x-6＜2x^2+5x-3$.