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26.(真题·衢州江山、开化)在一节数学课中,3名同学准备测量1颗钢珠的体积。(π取3.14)
测量步骤如下:
第一步:奇思准备了一个圆柱形玻璃杯,从里面测量出它的底面直径是8cm,高是20cm;
第二步:如图①,妙想往玻璃杯里注入一些水,并测得水的高度与水面离杯口的距离之比是3:2;
第三步:如图②,淘气把20颗同样大小的钢珠完全浸没在水中,并测得此时水的高度与水面离杯口的距离之比是3:1。
根据上面的信息:
(1)求出图①水的高度。(6分)
(2)计算出每颗钢珠的体积。(6分)
测量步骤如下:
第一步:奇思准备了一个圆柱形玻璃杯,从里面测量出它的底面直径是8cm,高是20cm;
第二步:如图①,妙想往玻璃杯里注入一些水,并测得水的高度与水面离杯口的距离之比是3:2;
第三步:如图②,淘气把20颗同样大小的钢珠完全浸没在水中,并测得此时水的高度与水面离杯口的距离之比是3:1。
根据上面的信息:
(1)求出图①水的高度。(6分)
(2)计算出每颗钢珠的体积。(6分)
答案
26. (1)$20×\frac{3}{3+2}=12(\mathrm{cm})$ 答:图①水的高度为12cm。
(2)$20×\frac{3}{3+1}=15(\mathrm{cm})$ $3.14×(8÷2)^2×(15-12)÷20=7.536(\mathrm{cm}^3)$ 答:每颗钢珠的体积是$7.536\mathrm{cm}^3$。
解析:根据两次水的高度与水面离杯口的距离之比分别求出放入钢珠前水面的高度和放入钢珠后水面的高度,钢珠的体积等于上升的水的体积,即容器底面积乘上升的水的高度,要求每颗钢珠的体积,用钢珠总体积除以20。
(2)$20×\frac{3}{3+1}=15(\mathrm{cm})$ $3.14×(8÷2)^2×(15-12)÷20=7.536(\mathrm{cm}^3)$ 答:每颗钢珠的体积是$7.536\mathrm{cm}^3$。
解析:根据两次水的高度与水面离杯口的距离之比分别求出放入钢珠前水面的高度和放入钢珠后水面的高度,钢珠的体积等于上升的水的体积,即容器底面积乘上升的水的高度,要求每颗钢珠的体积,用钢珠总体积除以20。
解析
【分析】
要解决这道题，首先利用比例关系求出图①中水的高度，再通过两次水的高度比例求出放入钢珠后的总高度，进而算出水面上升的高度，利用圆柱体积公式求出20颗钢珠的总体积，最后除以20得到每颗钢珠的体积。具体步骤：1. 根据图①中“水的高度与水面离杯口的距离之比是3:2”，结合玻璃杯总高20cm，求出水的高度；2. 根据图②中“水的高度与水面离杯口的距离之比是3:1”，求出放入钢珠后水和钢珠的总高度，计算水面上升的高度；3. 利用圆柱体积公式计算上升的水的体积（即20颗钢珠的总体积），再除以20得到每颗钢珠的体积。
【解析】
(1) 已知圆柱形玻璃杯的总高为20cm，图①中水的高度与水面离杯口的距离之比是3:2，总份数为$3+2=5$，因此图①水的高度为：
$20×\frac{3}{3+2}=12(\mathrm{cm})$
(2) 图②中放入20颗钢珠后，水的高度与水面离杯口的距离之比是3:1，总份数为$3+1=4$，此时水和钢珠的总高度为：
$20×\frac{3}{3+1}=15(\mathrm{cm})$
水面上升的高度为：$15-12=3(\mathrm{cm})$
圆柱玻璃杯的底面半径为$8÷2=4(\mathrm{cm})$，底面积为：
$3.14×4^2=50.24(\mathrm{cm}^2)$
20颗钢珠的总体积等于上升的水的体积，即：
$50.24×3=150.72(\mathrm{cm}^3)$
因此每颗钢珠的体积为：
$150.72÷20=7.536(\mathrm{cm}^3)$
【答案】
(1) 图①水的高度为12cm；(2) 每颗钢珠的体积是$7.536\mathrm{cm}^3$。
【知识点】
圆柱体积计算、比例应用
【点评】
本题结合圆柱体积与比例知识，考查排水法求不规则物体体积的应用，解题关键是利用比例求出相关高度，再结合圆柱体积公式计算，步骤清晰，注重对基础知识点的综合运用。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，首先利用比例关系求出图①中水的高度，再通过两次水的高度比例求出放入钢珠后的总高度，进而算出水面上升的高度，利用圆柱体积公式求出20颗钢珠的总体积，最后除以20得到每颗钢珠的体积。具体步骤：1. 根据图①中“水的高度与水面离杯口的距离之比是3:2”，结合玻璃杯总高20cm，求出水的高度；2. 根据图②中“水的高度与水面离杯口的距离之比是3:1”，求出放入钢珠后水和钢珠的总高度，计算水面上升的高度；3. 利用圆柱体积公式计算上升的水的体积（即20颗钢珠的总体积），再除以20得到每颗钢珠的体积。
【解析】
(1) 已知圆柱形玻璃杯的总高为20cm，图①中水的高度与水面离杯口的距离之比是3:2，总份数为$3+2=5$，因此图①水的高度为：
$20×\frac{3}{3+2}=12(\mathrm{cm})$
(2) 图②中放入20颗钢珠后，水的高度与水面离杯口的距离之比是3:1，总份数为$3+1=4$，此时水和钢珠的总高度为：
$20×\frac{3}{3+1}=15(\mathrm{cm})$
水面上升的高度为：$15-12=3(\mathrm{cm})$
圆柱玻璃杯的底面半径为$8÷2=4(\mathrm{cm})$，底面积为：
$3.14×4^2=50.24(\mathrm{cm}^2)$
20颗钢珠的总体积等于上升的水的体积，即：
$50.24×3=150.72(\mathrm{cm}^3)$
因此每颗钢珠的体积为：
$150.72÷20=7.536(\mathrm{cm}^3)$
【答案】
(1) 图①水的高度为12cm；(2) 每颗钢珠的体积是$7.536\mathrm{cm}^3$。
【知识点】
圆柱体积计算、比例应用
【点评】
本题结合圆柱体积与比例知识，考查排水法求不规则物体体积的应用，解题关键是利用比例求出相关高度，再结合圆柱体积公式计算，步骤清晰，注重对基础知识点的综合运用。
【难度系数】
0.5
如图,这是一块长方形铁皮,利用图中的阴影部分,刚好能做成两个同样大小的油桶(接头处不计),求每个油桶的表面积。(10分)
答案
每个油桶的底面直径:$20.56÷(3.14+1+1)=4(\mathrm{dm})$
每个油桶的表面积:$3.14×4×4+3.14×(4÷2)^2×2=75.36(\mathrm{dm}^2)$ 答:每个油桶的表面积是$75.36\mathrm{dm}^2$。
每个油桶的表面积:$3.14×4×4+3.14×(4÷2)^2×2=75.36(\mathrm{dm}^2)$ 答:每个油桶的表面积是$75.36\mathrm{dm}^2$。
解析
【分析】
要计算每个油桶的表面积，需先求出油桶的底面直径和高。观察图形可知，大长方形的长20.56dm由油桶底面的周长和2个底面直径组成，据此可先算出底面直径；再结合图形得出油桶的高，最后根据圆柱表面积公式（侧面积+2个底面积）计算即可。
【解析】
1. 求油桶的底面直径：
大长方形的长 = 油桶底面周长 + 2×底面直径，即：
20.56 = πd + 2d = d(π+2)
代入π=3.14，解得：
d = 20.56 ÷ (3.14 + 2) = 20.56 ÷5.14 = 4(dm)
2. 确定油桶的高：
由图形可知，油桶的高等于底面直径，即h=4dm。
3. 计算油桶的表面积：
圆柱侧面积 = 底面周长×高 = 3.14×4×4 = 50.24(dm²)
圆柱底面积 = π×(d÷2)² = 3.14×(4÷2)² = 12.56(dm²)，两个底面积为12.56×2=25.12(dm²)
油桶表面积 = 侧面积 + 两个底面积 =50.24 +25.12=75.36(dm²)
【答案】
75.36dm²
【知识点】
圆柱的表面积、圆的周长
【点评】
本题结合图形考查圆柱表面积的计算，关键是理清大长方形的长与油桶各部分长度的关系，先求出底面直径，再代入公式计算，属于圆柱表面积应用的基础题型，需学生具备一定的图形分析能力。
【难度系数】
0.5
要计算每个油桶的表面积，需先求出油桶的底面直径和高。观察图形可知，大长方形的长20.56dm由油桶底面的周长和2个底面直径组成，据此可先算出底面直径；再结合图形得出油桶的高，最后根据圆柱表面积公式（侧面积+2个底面积）计算即可。
【解析】
1. 求油桶的底面直径：
大长方形的长 = 油桶底面周长 + 2×底面直径，即：
20.56 = πd + 2d = d(π+2)
代入π=3.14，解得：
d = 20.56 ÷ (3.14 + 2) = 20.56 ÷5.14 = 4(dm)
2. 确定油桶的高：
由图形可知，油桶的高等于底面直径，即h=4dm。
3. 计算油桶的表面积：
圆柱侧面积 = 底面周长×高 = 3.14×4×4 = 50.24(dm²)
圆柱底面积 = π×(d÷2)² = 3.14×(4÷2)² = 12.56(dm²)，两个底面积为12.56×2=25.12(dm²)
油桶表面积 = 侧面积 + 两个底面积 =50.24 +25.12=75.36(dm²)
【答案】
75.36dm²
【知识点】
圆柱的表面积、圆的周长
【点评】
本题结合图形考查圆柱表面积的计算，关键是理清大长方形的长与油桶各部分长度的关系，先求出底面直径，再代入公式计算，属于圆柱表面积应用的基础题型，需学生具备一定的图形分析能力。
【难度系数】
0.5
