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18.(8分)解方程(组):
(1)$\begin{cases}2x + y = 7,\\2x - 3y = 3;\end{cases}$
(2)$\dfrac{2}{x - 1} = \dfrac{x}{1 - x} - 1$。
(1)$\begin{cases}2x + y = 7,\\2x - 3y = 3;\end{cases}$
(2)$\dfrac{2}{x - 1} = \dfrac{x}{1 - x} - 1$。
答案
18.解:(1)$\begin{cases}2x+y=7,①\\2x-3y=3,②\end{cases}$ ①$-$②,得$4y=4$,解得$y=1$。把$y=1$代入①,得$2x+1=7$,解得$x=3$。所以原方程组的解为$\begin{cases}x=3,\\y=1。\end{cases}$ (2)去分母,得$2=-x-(x-1)$,去括号,得$2=-x-x+1$,移项,合并同类项,得$2x=-1$,解得$x=-\dfrac{1}{2}$。经检验,$x=-\dfrac{1}{2}$是原分式方程的根。
解析
【分析】
本题需分别求解二元一次方程组与分式方程。对于二元一次方程组，观察到两方程中x的系数相同，可采用加减消元法消去x，先求y的值，再代入原方程求x；对于分式方程，需先转化为整式方程求解，且必须检验解是否使原分式方程有意义，避免增根。
【解析】
(1) 解二元一次方程组 $\begin{cases}2x + y = 7,①\\2x - 3y = 3,②\end{cases}$
① - ②，得：$(2x + y) - (2x - 3y) = 7 - 3$，化简得 $4y = 4$，解得 $y = 1$。
将 $y = 1$ 代入①式，得 $2x + 1 = 7$，解得 $x = 3$。
所以原方程组的解为 $\begin{cases}x = 3\\y = 1\end{cases}$。
(2) 解分式方程 $\dfrac{2}{x - 1} = \dfrac{x}{1 - x} - 1$
最简公分母为 $x - 1$，两边同乘 $x - 1$（$x≠1$）去分母得：
$2 = -x - (x - 1)$
去括号得：$2 = -x - x + 1$
移项、合并同类项得：$2x = -1$，解得 $x = -\dfrac{1}{2}$。
检验：当 $x = -\dfrac{1}{2}$ 时，$x - 1 = -\dfrac{3}{2} ≠ 0$，故 $x = -\dfrac{1}{2}$ 是原分式方程的根。
【答案】
(1) $\begin{cases}x = 3\\y = 1\end{cases}$；(2) $x = -\dfrac{1}{2}$
【知识点】
二元一次方程组解法、分式方程解法
【点评】
本题为基础题，分别考察加减消元法解二元一次方程组和分式方程的求解，需注意分式方程求解后必须检验解的合理性，避免增根。
【难度系数】
0.6
本题需分别求解二元一次方程组与分式方程。对于二元一次方程组，观察到两方程中x的系数相同，可采用加减消元法消去x，先求y的值，再代入原方程求x；对于分式方程，需先转化为整式方程求解，且必须检验解是否使原分式方程有意义，避免增根。
【解析】
(1) 解二元一次方程组 $\begin{cases}2x + y = 7,①\\2x - 3y = 3,②\end{cases}$
① - ②，得：$(2x + y) - (2x - 3y) = 7 - 3$，化简得 $4y = 4$，解得 $y = 1$。
将 $y = 1$ 代入①式，得 $2x + 1 = 7$，解得 $x = 3$。
所以原方程组的解为 $\begin{cases}x = 3\\y = 1\end{cases}$。
(2) 解分式方程 $\dfrac{2}{x - 1} = \dfrac{x}{1 - x} - 1$
最简公分母为 $x - 1$，两边同乘 $x - 1$（$x≠1$）去分母得：
$2 = -x - (x - 1)$
去括号得：$2 = -x - x + 1$
移项、合并同类项得：$2x = -1$，解得 $x = -\dfrac{1}{2}$。
检验：当 $x = -\dfrac{1}{2}$ 时，$x - 1 = -\dfrac{3}{2} ≠ 0$，故 $x = -\dfrac{1}{2}$ 是原分式方程的根。
【答案】
(1) $\begin{cases}x = 3\\y = 1\end{cases}$；(2) $x = -\dfrac{1}{2}$
【知识点】
二元一次方程组解法、分式方程解法
【点评】
本题为基础题，分别考察加减消元法解二元一次方程组和分式方程的求解，需注意分式方程求解后必须检验解的合理性，避免增根。
【难度系数】
0.6
19.(8分)某小区有一块长为$(x+2y)$米、宽为$(2x+y)$米的长方形空地,现要美化这块空地,在上面修建如图所示的“T”型花圃(阴影部分),在花圃内种花草。
(1)求“T”型花圃的面积;(用含$x,y$的式子表示)
(2)当$x=3,y=8$时,求“T”型花圃的面积。
(1)求“T”型花圃的面积;(用含$x,y$的式子表示)
(2)当$x=3,y=8$时,求“T”型花圃的面积。
答案
19.解:(1)“T”型花圃的面积为$(2x+y)(x+2y)-2y^2=2x^2+4xy+xy+2y^2-2y^2=2x^2+5xy$。(2)当$x=3,y=8$时,“T”型花圃的面积为$2×3^2+5×3×8=18+120=138$。
解析
【分析】
要计算“T”型花圃的面积，采用“整体减空白”的思路：先求出整个长方形空地的面积，再减去两个空白正方形的面积，即可得到阴影部分（花圃）的面积。计算时需利用多项式乘多项式法则展开大长方形面积，化简后代入数值求解第二问。
【解析】
(1) 长方形空地的长为$(x+2y)$米，宽为$(2x+y)$米，根据长方形面积公式，其面积为：
$(2x+y)(x+2y) = 2x· x + 2x· 2y + y· x + y· 2y = 2x^2 + 4xy + xy + 2y^2 = 2x^2 + 5xy + 2y^2$（平方米）。
观察图形可知，空白部分是两个边长为$y$的正方形，两个空白正方形的面积和为：$2× y× y = 2y^2$（平方米）。
因此“T”型花圃的面积为：
$(2x^2 + 5xy + 2y^2) - 2y^2 = 2x^2 + 5xy$（平方米）。
(2) 当$x=3$，$y=8$时，代入(1)的式子计算：
$2x^2 + 5xy = 2× 3^2 + 5× 3× 8 = 18 + 120 = 138$（平方米）。
【答案】
(1) $2x^2 + 5xy$；(2) $138$
【知识点】
整式乘法、代数式求值、面积计算
【点评】
本题是整式运算在实际面积问题中的应用，核心是通过“整体减空白”转化阴影面积计算，需掌握多项式乘多项式法则，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6
要计算“T”型花圃的面积，采用“整体减空白”的思路：先求出整个长方形空地的面积，再减去两个空白正方形的面积，即可得到阴影部分（花圃）的面积。计算时需利用多项式乘多项式法则展开大长方形面积，化简后代入数值求解第二问。
【解析】
(1) 长方形空地的长为$(x+2y)$米，宽为$(2x+y)$米，根据长方形面积公式，其面积为：
$(2x+y)(x+2y) = 2x· x + 2x· 2y + y· x + y· 2y = 2x^2 + 4xy + xy + 2y^2 = 2x^2 + 5xy + 2y^2$（平方米）。
观察图形可知，空白部分是两个边长为$y$的正方形，两个空白正方形的面积和为：$2× y× y = 2y^2$（平方米）。
因此“T”型花圃的面积为：
$(2x^2 + 5xy + 2y^2) - 2y^2 = 2x^2 + 5xy$（平方米）。
(2) 当$x=3$，$y=8$时，代入(1)的式子计算：
$2x^2 + 5xy = 2× 3^2 + 5× 3× 8 = 18 + 120 = 138$（平方米）。
【答案】
(1) $2x^2 + 5xy$；(2) $138$
【知识点】
整式乘法、代数式求值、面积计算
【点评】
本题是整式运算在实际面积问题中的应用，核心是通过“整体减空白”转化阴影面积计算，需掌握多项式乘多项式法则，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6
20.(8分)先化简:$(\dfrac{3}{a+2}+a-2)÷\dfrac{a^2-2a+1}{a+2}$,再从$-2,1,3$三个数中选取一个合适的数值作为$a$的值代入求值。
答案
20.解:原式$=(\dfrac{3}{a+2}+\dfrac{a^2-4}{a+2})·\dfrac{a+2}{(a-1)^2}=\dfrac{a^2-1}{(a-1)^2}·\dfrac{a+2}{a+2}=\dfrac{a+1}{a-1}$,因为$a+2≠0$且$a-1≠0$,所以$a≠-2$且$a≠1$,所以$a=3$,所以当$a=3$时,原式$=\dfrac{3+1}{3-1}=2$。 易错提示:本题考查了分式的化简求值问题,解答时需注意分式要有意义,则分母不能为0,此为本题易错点。
解析
【分析】
解题思路：先对括号内的式子通分，将整式转化为同分母分式后合并；再把除法转化为乘法，对分子分母的多项式因式分解；通过约分得到最简分式；最后根据分式有意义的条件（分母不为0），从给定的数中选合适的$a$值代入最简式求值。
【解析】
原式$=(\dfrac{3}{a+2}+\dfrac{a^2 - 4}{a+2})÷\dfrac{(a - 1)^2}{a+2}$
$=\dfrac{a^2 - 1}{a+2}·\dfrac{a+2}{(a - 1)^2}$
$=\dfrac{(a + 1)(a - 1)}{a+2}·\dfrac{a+2}{(a - 1)^2}$
$=\dfrac{a + 1}{a - 1}$
因为分式有意义，所以$a + 2≠0$且$a - 1≠0$，即$a≠-2$且$a≠1$，故选取$a = 3$代入。
当$a = 3$时，原式$=\dfrac{3 + 1}{3 - 1}=2$。
【答案】
2
【知识点】
分式的化简求值、分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式的化简求值，重点考查通分、因式分解、约分等分式运算技能，需注意分式有意义的隐含条件（分母不为0），这是本题的易错点，解题时需仔细判断取值范围。
【难度系数】
0.6
解题思路：先对括号内的式子通分，将整式转化为同分母分式后合并；再把除法转化为乘法，对分子分母的多项式因式分解；通过约分得到最简分式；最后根据分式有意义的条件（分母不为0），从给定的数中选合适的$a$值代入最简式求值。
【解析】
原式$=(\dfrac{3}{a+2}+\dfrac{a^2 - 4}{a+2})÷\dfrac{(a - 1)^2}{a+2}$
$=\dfrac{a^2 - 1}{a+2}·\dfrac{a+2}{(a - 1)^2}$
$=\dfrac{(a + 1)(a - 1)}{a+2}·\dfrac{a+2}{(a - 1)^2}$
$=\dfrac{a + 1}{a - 1}$
因为分式有意义，所以$a + 2≠0$且$a - 1≠0$，即$a≠-2$且$a≠1$，故选取$a = 3$代入。
当$a = 3$时，原式$=\dfrac{3 + 1}{3 - 1}=2$。
【答案】
2
【知识点】
分式的化简求值、分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式的化简求值，重点考查通分、因式分解、约分等分式运算技能，需注意分式有意义的隐含条件（分母不为0），这是本题的易错点，解题时需仔细判断取值范围。
【难度系数】
0.6
