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9. 如图,在一次数学实践活动课上,某同学将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠,折痕分别为AB,CD。若$CD// BE$,且$∠ABC=3∠EBC$,则$∠1$的度数为（
A.$108°$
B.$120°$
C.$130°$
D.$140°$
A
）A.$108°$
B.$120°$
C.$130°$
D.$140°$
答案
9.A 解析:如图
。设∠EBC=x°,则∠ABC=3x°,所以∠ABE=∠ABC-∠EBC=2x°,由折叠可得∠FBA=∠ABE=2x°。因为∠FBA+∠ABC=180°,所以2x°+3x°=180°,所以x=36,即∠EBC=36°。因为CD//BE,所以∠DCH=∠EBC=36°,由折叠可得∠GCH=2∠DCH=72°,所以∠1=180°-∠GCH=108°。解析
【分析】
要解决本题，需结合折叠的性质、平行线的性质及平角的定义推导角度关系。首先设∠EBC为未知数，根据已知∠ABC=3∠EBC表示∠ABC，利用折叠前后对应角相等，结合平角为180°求出∠EBC的度数；再通过CD//BE的平行线性质得到相关角，结合折叠性质求出对应角，最后根据平角定义计算∠1的度数。
【解析】
设∠EBC = x°，则∠ABC = 3x°。
由折叠性质得：∠FBA = ∠ABE，而∠ABE = ∠ABC - ∠EBC = 3x° - x° = 2x°，故∠FBA = 2x°。
因为F、B、C共线，∠FBA + ∠ABC = 180°（平角定义），所以2x° + 3x° = 180°，解得x=36，即∠EBC=36°。
已知CD//BE，根据平行线同位角相等，得∠DCH = ∠EBC = 36°。
由折叠性质得：∠GCH = 2∠DCH = 2×36° = 72°。
因为B、C、H共线，∠1 + ∠GCH = 180°（平角定义），所以∠1 = 180° - 72° = 108°。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质、折叠的性质、平角的定义
【点评】
本题是折叠与平行线性质的综合题，核心是利用折叠前后角相等的性质，结合平角、平行线的角关系建立方程求解，设未知数是处理此类角度问题的常用方法，需理清角之间的对应关系。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需结合折叠的性质、平行线的性质及平角的定义推导角度关系。首先设∠EBC为未知数，根据已知∠ABC=3∠EBC表示∠ABC，利用折叠前后对应角相等，结合平角为180°求出∠EBC的度数；再通过CD//BE的平行线性质得到相关角，结合折叠性质求出对应角，最后根据平角定义计算∠1的度数。
【解析】
设∠EBC = x°，则∠ABC = 3x°。
由折叠性质得：∠FBA = ∠ABE，而∠ABE = ∠ABC - ∠EBC = 3x° - x° = 2x°，故∠FBA = 2x°。
因为F、B、C共线，∠FBA + ∠ABC = 180°（平角定义），所以2x° + 3x° = 180°，解得x=36，即∠EBC=36°。
已知CD//BE，根据平行线同位角相等，得∠DCH = ∠EBC = 36°。
由折叠性质得：∠GCH = 2∠DCH = 2×36° = 72°。
因为B、C、H共线，∠1 + ∠GCH = 180°（平角定义），所以∠1 = 180° - 72° = 108°。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质、折叠的性质、平角的定义
【点评】
本题是折叠与平行线性质的综合题，核心是利用折叠前后角相等的性质，结合平角、平行线的角关系建立方程求解，设未知数是处理此类角度问题的常用方法，需理清角之间的对应关系。
【难度系数】
0.6
10. 如图,正方形ABCD,点E为CD延长线上一点,以CE为边向右作正方形CEFG,连结AE,AG,EG。若要求出三角形AEG的面积,只需知道
（
A.AB的长
B.AG的长
C.AE的长
D.CG的长
（
D
）A.AB的长
B.AG的长
C.AE的长
D.CG的长
答案
10.D 解析:如图
,延长BA交FE的延长线于点H。设正方形ABCD的边长为a,正方形CEFG的边长为b。由图易得S三角形AEG=S长方形HBGF-S三角形HAE-S三角形ABG-S三角形EFG=BG·FG-1/2AH·EH-1/2AB·BG-1/2EF·FG=(a+b)·b-1/2(b-a)·a-1/2a(a+b)-1/2b²=1/2b²,所以若要求出三角形AEG的面积,只需知道CG的长。解析
【分析】
要计算三角形AEG的面积，可采用割补法，通过设两个正方形的边长，将不规则三角形的面积转化为规则图形的面积差，推导得出面积的表达式，进而判断所需的线段长度。设正方形ABCD的边长为$a$，正方形CEFG的边长为$b$，利用图形的面积和差关系化简后，即可确定只需知道哪个线段的长度就能求出三角形AEG的面积。
【解析】
设正方形ABCD的边长为$a$，正方形CEFG的边长为$b$，则$CG = b$，$BG = BC + CG = a + b$，$EF = FG = b$，$AH = AB = a$，$EH = EF - AH = b - a$。
采用割补法计算三角形AEG的面积：
$\begin{aligned}S_{△ AEG}&=S_{长方形HBGF} - S_{△ HAE} - S_{△ ABG} - S_{△ EFG}\\&=BG · FG - \frac{1}{2} · AH · EH - \frac{1}{2} · AB · BG - \frac{1}{2} · EF · FG\\&=(a + b) · b - \frac{1}{2} · a · (b - a) - \frac{1}{2} · a · (a + b) - \frac{1}{2} · b^2\\&=ab + b^2 - \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b^2\\&=\frac{1}{2}b^2\end{aligned}$
由此可知，三角形AEG的面积仅与正方形CEFG的边长$b$有关，而$CG = b$，所以只需知道CG的长即可求出三角形AEG的面积。
【答案】
D
【知识点】
正方形面积、三角形面积、割补法
【点评】
本题通过割补法将不规则三角形的面积转化为规则图形的面积差，关键在于设出两个正方形的边长并化简表达式，最终发现面积仅与第二个正方形的边长相关，考查了学生对图形面积转化方法的掌握。
【难度系数】
0.5
要计算三角形AEG的面积，可采用割补法，通过设两个正方形的边长，将不规则三角形的面积转化为规则图形的面积差，推导得出面积的表达式，进而判断所需的线段长度。设正方形ABCD的边长为$a$，正方形CEFG的边长为$b$，利用图形的面积和差关系化简后，即可确定只需知道哪个线段的长度就能求出三角形AEG的面积。
【解析】
设正方形ABCD的边长为$a$，正方形CEFG的边长为$b$，则$CG = b$，$BG = BC + CG = a + b$，$EF = FG = b$，$AH = AB = a$，$EH = EF - AH = b - a$。
采用割补法计算三角形AEG的面积：
$\begin{aligned}S_{△ AEG}&=S_{长方形HBGF} - S_{△ HAE} - S_{△ ABG} - S_{△ EFG}\\&=BG · FG - \frac{1}{2} · AH · EH - \frac{1}{2} · AB · BG - \frac{1}{2} · EF · FG\\&=(a + b) · b - \frac{1}{2} · a · (b - a) - \frac{1}{2} · a · (a + b) - \frac{1}{2} · b^2\\&=ab + b^2 - \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b^2\\&=\frac{1}{2}b^2\end{aligned}$
由此可知，三角形AEG的面积仅与正方形CEFG的边长$b$有关，而$CG = b$，所以只需知道CG的长即可求出三角形AEG的面积。
【答案】
D
【知识点】
正方形面积、三角形面积、割补法
【点评】
本题通过割补法将不规则三角形的面积转化为规则图形的面积差，关键在于设出两个正方形的边长并化简表达式，最终发现面积仅与第二个正方形的边长相关，考查了学生对图形面积转化方法的掌握。
【难度系数】
0.5
11. 分式$\dfrac{3}{x-1}$有意义，则$x$的取值范围是________。
答案
11.$x≠1$
解析
【分析】
要确定分式有意义时x的取值范围，需依据分式有意义的核心条件：分式的分母不能为0。因此只需让该分式的分母不等于0，解对应的不等式就能得到x的取值范围。
【解析】
分式有意义的条件是分母不为0，对于分式$\dfrac{3}{x-1}$，其分母为$x-1$，令$x-1≠0$，解得$x≠1$。
【答案】
$x≠1$
【知识点】
分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式有意义的基本条件，属于基础题型，只需掌握“分式分母不为0”这一知识点即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.9
要确定分式有意义时x的取值范围，需依据分式有意义的核心条件：分式的分母不能为0。因此只需让该分式的分母不等于0，解对应的不等式就能得到x的取值范围。
【解析】
分式有意义的条件是分母不为0，对于分式$\dfrac{3}{x-1}$，其分母为$x-1$，令$x-1≠0$，解得$x≠1$。
【答案】
$x≠1$
【知识点】
分式有意义的条件
【点评】
本题考查分式有意义的基本条件，属于基础题型，只需掌握“分式分母不为0”这一知识点即可快速求解，难度较低。
【难度系数】
0.9
12.分解因式：$3a - a^2 =$
$a(3-a)$
。答案
12.$a(3-a)$
解析
【分析】观察多项式$3a - a^2$，各项均含有公因式$a$，分解因式的基础方法是提取公因式，因此先确定公因式，再将多项式转化为公因式与另一个因式乘积的形式。
【解析】解：对$3a - a^2$提取公因式$a$，可得：$3a - a^2 = a(3 - a)$。
【答案】$a(3 - a)$
【知识点】提公因式法分解因式
【点评】本题是因式分解的基础题型，核心考察提公因式法的基本应用，属于初中代数的基础考点。
【难度系数】0.9
【解析】解：对$3a - a^2$提取公因式$a$，可得：$3a - a^2 = a(3 - a)$。
【答案】$a(3 - a)$
【知识点】提公因式法分解因式
【点评】本题是因式分解的基础题型，核心考察提公因式法的基本应用，属于初中代数的基础考点。
【难度系数】0.9
13. 已知$\frac{a}{b}=\frac{4}{5}$，则$\frac{a}{a+b}=$
$\dfrac{4}{9}$
。答案
13.$\dfrac{4}{9}$
解析
【分析】
已知两个数的比值，求由这两个数组成的分式的值，可采用设参数法，将a、b用同一个参数表示，代入目标分式后消去参数即可求出结果，该方法能简化计算过程。
【解析】
解：由$\frac{a}{b}=\frac{4}{5}$，设$a=4k$（$k≠0$，保证分母不为0），则$b=5k$。
将$a=4k$，$b=5k$代入$\frac{a}{a+b}$得：
$\frac{a}{a+b}=\frac{4k}{4k+5k}=\frac{4k}{9k}=\frac{4}{9}$（$k≠0$，可约去参数$k$）。
【答案】
$\frac{4}{9}$
【知识点】
比例的应用、分式的化简求值
【点评】
本题是基础的比例求值题型，通过设参数的方法将未知量转化为同一参数，简化了分式的计算，思路清晰，属于分式运算中的基础题。
【难度系数】
0.8
已知两个数的比值，求由这两个数组成的分式的值，可采用设参数法，将a、b用同一个参数表示，代入目标分式后消去参数即可求出结果，该方法能简化计算过程。
【解析】
解：由$\frac{a}{b}=\frac{4}{5}$，设$a=4k$（$k≠0$，保证分母不为0），则$b=5k$。
将$a=4k$，$b=5k$代入$\frac{a}{a+b}$得：
$\frac{a}{a+b}=\frac{4k}{4k+5k}=\frac{4k}{9k}=\frac{4}{9}$（$k≠0$，可约去参数$k$）。
【答案】
$\frac{4}{9}$
【知识点】
比例的应用、分式的化简求值
【点评】
本题是基础的比例求值题型，通过设参数的方法将未知量转化为同一参数，简化了分式的计算，思路清晰，属于分式运算中的基础题。
【难度系数】
0.8
14. 如图1,为响应国家新能源建设,浙江某市公交站亭装上了太阳能电池板。当地某一季节的太阳光(平行光线)与水平线最大夹角为$62°$,如图2,电池板$AB$与最大夹角时刻的太阳光线相垂直。此时电池板$CD$与水平线夹角为$48°$,要使$AB// CD$,需将电池板$CD$逆时针旋转$α$度,则$α$为________。$(0＜α＜90)$
答案
14.20
解析
【分析】要解决本题，需先利用“AB与最大夹角时刻的太阳光线垂直”求出AB与水平线的夹角，再结合CD当前与水平线的夹角，根据AB//CD的条件计算旋转角α。首先，太阳光线与水平线最大夹角为62°，AB与该光线垂直，由此可算出AB和水平线的夹角；再对比CD当前与水平线的夹角，两者的差值即为需要旋转的角度α。
【解析】
1. 求AB与水平线的夹角：已知太阳光线与水平线最大夹角为62°，且AB与该光线垂直，根据垂直的性质，AB与水平线的夹角为 $90° - 62° = 28°$。
2. 计算旋转角α：当前CD与水平线的夹角为48°，要使AB//CD，需让CD与水平线的夹角调整为28°，因此CD逆时针旋转的角度α为 $48° - 28° = 20°$。
【答案】20
【知识点】垂直的性质、平行线的判定、角度计算
【点评】本题结合实际太阳能电池板的场景考查几何角度计算，核心是利用垂直关系推导直线与水平线的夹角，再通过平行线的条件确定旋转角度，难度适中，需理清各角度间的关系。
【难度系数】0.5
【解析】
1. 求AB与水平线的夹角：已知太阳光线与水平线最大夹角为62°，且AB与该光线垂直，根据垂直的性质，AB与水平线的夹角为 $90° - 62° = 28°$。
2. 计算旋转角α：当前CD与水平线的夹角为48°，要使AB//CD，需让CD与水平线的夹角调整为28°，因此CD逆时针旋转的角度α为 $48° - 28° = 20°$。
【答案】20
【知识点】垂直的性质、平行线的判定、角度计算
【点评】本题结合实际太阳能电池板的场景考查几何角度计算，核心是利用垂直关系推导直线与水平线的夹角，再通过平行线的条件确定旋转角度，难度适中，需理清各角度间的关系。
【难度系数】0.5
15.若$8^{x}· 2^{y}=16$，则$3x+y=$
$4$
。答案
15.4 解析:因为$8^x·2^y=(2^3)^x·2^y=2^{3x+y},16=2^4$,所以$3x+y=4$。
解析
【分析】
要解决这个问题，核心是利用幂的运算性质将等式两边的底数统一为相同底数，再通过指数相等求出目标式的值。观察到8、2、16均为以2为底的幂，因此先将等式左右两边转化为同底数幂，再根据指数的关系求解。
【解析】
1. 统一左边的底数：因为$8 = 2^3$，根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得$8^x=(2^3)^x=2^{3x}$；
2. 化简左边的乘积：根据同底数幂的乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$，则$8^x·2^y=2^{3x}·2^y=2^{3x+y}$；
3. 统一右边的底数：因为$16=2^4$；
4. 指数相等求解：等式变为$2^{3x+y}=2^4$，底数相同的幂相等时指数相等，因此$3x+y=4$。
【答案】
4
【知识点】
幂的乘方、同底数幂的乘法
【点评】
本题考查幂的基本运算性质的应用，属于基础题型，需要学生熟练掌握幂的乘方和同底数幂的乘法法则，通过统一底数建立指数关系即可快速求解。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，核心是利用幂的运算性质将等式两边的底数统一为相同底数，再通过指数相等求出目标式的值。观察到8、2、16均为以2为底的幂，因此先将等式左右两边转化为同底数幂，再根据指数的关系求解。
【解析】
1. 统一左边的底数：因为$8 = 2^3$，根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$，可得$8^x=(2^3)^x=2^{3x}$；
2. 化简左边的乘积：根据同底数幂的乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$，则$8^x·2^y=2^{3x}·2^y=2^{3x+y}$；
3. 统一右边的底数：因为$16=2^4$；
4. 指数相等求解：等式变为$2^{3x+y}=2^4$，底数相同的幂相等时指数相等，因此$3x+y=4$。
【答案】
4
【知识点】
幂的乘方、同底数幂的乘法
【点评】
本题考查幂的基本运算性质的应用，属于基础题型，需要学生熟练掌握幂的乘方和同底数幂的乘法法则，通过统一底数建立指数关系即可快速求解。
【难度系数】
0.5
16.“九宫图”又称“龟背图”。数学上的“九宫图”所体现的是一个$3×3$表格，每一行三个数、每一列三个数、斜对角三个数之和都相等，也称为三阶幻方。如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则$x$的值为________。
答案
16.2 解析:设第二行第二个方格中的数字为a,则第一行第二格的数字为2a-(-4)=2a+4,第二行第一格的数字为2a-8,第三行第三格的数字为2a-x。根据题意,得x+2a-8=-4+2a-x,解得x=2。知识补给:在解本题的过程中,运用了三阶幻方的一个常见性质:三阶幻方每行、每列和对角线的和均为幻方中心数的3倍。除此之外本题也可以用三阶幻方的另一性质解决:任何一个角上的数等于与这个数不在同一行、同一列且不在同一对角线上的两个数字之和的一半。
解析
【分析】要解决这个三阶幻方问题，需利用其核心性质：每行、每列、斜对角的三个数之和相等（即幻和）。可通过设中间方格的数为未知数，结合幻和的等量关系建立方程，或运用三阶幻方的角格性质（角上的数等于与它不相邻的两个边格数的平均数）求解。
【解析】设第二行中间方格的数字为$a$，根据三阶幻方的幻和为中心数的3倍，可知每行的和为$3a$。
1. 由第二行的和：$\mathrm{第二行第一格} + a +8=3a$，得$\mathrm{第二行第一格}=2a-8$；
2. 由第二列的和：$\mathrm{第一行第二格} +a +(-4)=3a$，得$\mathrm{第一行第二格}=2a+4$；
3. 再根据第一行的和：$x + (2a+4) + \mathrm{第一行第三格}=3a$，结合斜对角的和关系，或直接利用三阶幻方的角格性质：角上的数$x$等于与它不在同一行、同一列且不在同一对角线上的两个数（即8和-4）的平均数，因此$x=\frac{8+(-4)}{2}=2$。
【答案】2
【知识点】三阶幻方性质
【点评】本题属于基础的三阶幻方应用问题，核心是利用幻方的和相等性质，掌握幻方的相关性质可快速解题，适合学生巩固幻方知识点。
【难度系数】0.5
【解析】设第二行中间方格的数字为$a$，根据三阶幻方的幻和为中心数的3倍，可知每行的和为$3a$。
1. 由第二行的和：$\mathrm{第二行第一格} + a +8=3a$，得$\mathrm{第二行第一格}=2a-8$；
2. 由第二列的和：$\mathrm{第一行第二格} +a +(-4)=3a$，得$\mathrm{第一行第二格}=2a+4$；
3. 再根据第一行的和：$x + (2a+4) + \mathrm{第一行第三格}=3a$，结合斜对角的和关系，或直接利用三阶幻方的角格性质：角上的数$x$等于与它不在同一行、同一列且不在同一对角线上的两个数（即8和-4）的平均数，因此$x=\frac{8+(-4)}{2}=2$。
【答案】2
【知识点】三阶幻方性质
【点评】本题属于基础的三阶幻方应用问题，核心是利用幻方的和相等性质，掌握幻方的相关性质可快速解题，适合学生巩固幻方知识点。
【难度系数】0.5
三、解答题(本题有8小题,共72分)
17.(8分)计算:$(\dfrac{1}{2})^{-2}+(-1)^{3}-(π - 3.14)^{0}$。
17.(8分)计算:$(\dfrac{1}{2})^{-2}+(-1)^{3}-(π - 3.14)^{0}$。
答案
17.解:原式$=4+(-1)-1=2$。
解析
【分析】本题需先根据负整数指数幂、有理数的乘方、零指数幂的运算法则，分别计算算式中的每一项，再将各项结果进行加减运算，从而得出最终结果。
【解析】解：根据运算法则，$(\dfrac{1}{2})^{-2}=2^2=4$，$(-1)^3=-1$，$(π - 3.14)^0=1$（因$π-3.14≠0$），所以原式$=4 + (-1) - 1 = 2$。
【答案】2
【知识点】负整数指数幂、零指数幂、有理数的乘方
【点评】本题属于基础计算题，主要考查指数幂的基本运算规则，解题关键是牢记负指数、零指数和乘方的运算法则，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】0.8
【解析】解：根据运算法则，$(\dfrac{1}{2})^{-2}=2^2=4$，$(-1)^3=-1$，$(π - 3.14)^0=1$（因$π-3.14≠0$），所以原式$=4 + (-1) - 1 = 2$。
【答案】2
【知识点】负整数指数幂、零指数幂、有理数的乘方
【点评】本题属于基础计算题，主要考查指数幂的基本运算规则，解题关键是牢记负指数、零指数和乘方的运算法则，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】0.8
