1. 下列方程中,一定是关于x的一元二次方程是…………()

A.$2ax^2 + x + 1 = 0$
B.$\frac{1}{x} + x = 0$
C.$xy + x = 0$
D.$x^2 + x = 0$

D

【分析】要判断一个方程是否为关于x的一元二次方程，需紧扣其定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，需满足三个条件：①是整式方程（分母不含未知数）；②只含一个未知数；③未知数的最高次数为2。接下来逐一分析各选项是否满足这三个条件，排除不符合的选项即可。
【解析】根据一元二次方程的定义，逐一分析选项：
1. 选项A：方程$2ax^2 + x + 1 = 0$，当$a=0$时，二次项系数为0，方程变为$x + 1 = 0$，是一元一次方程，不满足“未知数最高次数为2”的条件，故A不一定是一元二次方程；
2. 选项B：方程$\frac{1}{x} + x = 0$，分母含有未知数$x$，属于分式方程，不满足“整式方程”的条件，故B不是一元二次方程；
3. 选项C：方程$xy + x = 0$，含有两个未知数$x$和$y$，不满足“只含一个未知数”的条件，故C不是一元二次方程；
4. 选项D：方程$x^2 + x = 0$，只含未知数$x$，未知数最高次数为2，且是整式方程，完全符合一元二次方程的定义，故D正确。
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义
【点评】本题考查一元二次方程的定义，属于基础题，解题关键是准确把握定义的三个核心条件，通过逐一排查选项即可得出正确答案，难度较低。
【难度系数】0.8

2.(真题·绍兴上虞)若一元二次方程$x^2 - 3x + a = 0$有一个根为1,则$a$的值为 ………………………………………………………………（）

A.4
B.$-4$
C.2
D.$-2$

C

【分析】首先明确一元二次方程根的定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是该方程的根。已知方程的一个根为1，因此将x=1代入原方程，可得到关于a的一元一次方程，解此方程就能求出a的值。
【解析】将$x=1$代入一元二次方程$x^2 - 3x + a = 0$，得：
$1^2 - 3×1 + a = 0$
计算化简得：$1 - 3 + a = 0$，即$-2 + a = 0$
解得：$a = 2$
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；解一元一次方程
【点评】本题考查一元二次方程根的基础概念，属于简单题型，直接代入求解即可，主要考查对方程根定义的理解，适合巩固基础知识点。
【难度系数】0.9

3.(真题·金华永康)用直接开平方法解下列一元二次方程,其中无解的方程为 ……………………………………………………（）

A.$x^2 = 0$
B.$x^2 - 2 = 0$
C.$-x^2 + 2 = 0$
D.$x^2 + 2 = 0$

D

【分析】本题考查用直接开平方法判断一元二次方程是否有解，核心是利用平方的非负性：任何实数的平方都为非负数。解题思路是将每个选项的方程整理为$x^2 = a$的形式，根据$a$的符号判断方程是否有解：当$a＞0$时，方程有两个不等实根；当$a=0$时，方程有一个实根；当$a＜0$时，方程无解。
【解析】对各选项逐一分析：
选项A：$x^2 = 0$，整理为$x^2 = 0$，其中$a=0$，方程的解为$x_1=x_2=0$，有解；
选项B：$x^2 - 2 = 0$，移项得$x^2 = 2$，其中$a=2＞0$，方程的解为$x=\pm\sqrt{2}$，有解；
选项C：$-x^2 + 2 = 0$，移项得$x^2 = 2$，其中$a=2＞0$，方程的解为$x=\pm\sqrt{2}$，有解；
选项D：$x^2 + 2 = 0$，移项得$x^2 = -2$，其中$a=-2＜0$，因为任何实数的平方都不可能为负数，所以该方程无解。
综上，无解的方程是选项D。
【答案】D
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；平方的非负性
【点评】本题属于基础题，主要考查直接开平方法解一元二次方程的核心条件，需学生熟练掌握平方的非负性，能准确将方程变形为$x^2=a$的形式并判断$a$的符号。
【难度系数】0.7

4.(真题·绍兴新昌)关于$x$的一元二次方程$ax^2 - ax + c = 0(a≠0)$没有实数根,则系数$a,c$可能满足 ……………………（）

A.$a＜0,a-4c＜0$
B.$a＜0,a+4c＜0$
C.$a＞0,a+4c＜0$
D.$a＞0,a-4c＜0$

D

【分析】
要解决本题，需利用一元二次方程根的判别式：对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0(A≠0)$，没有实数根等价于判别式$\Delta=B^2-4AC＜0$。先确定本题方程的系数，代入判别式得到不等式，再结合选项分析系数的符号关系即可。
【解析】
对于方程$ax^2 - ax + c = 0(a≠0)$，其判别式为：
$\Delta = (-a)^2 - 4 · a · c = a^2 - 4ac$
因为方程没有实数根，所以$\Delta ＜ 0$，即：
$a^2 - 4ac ＜ 0$
将不等式左边因式分解得：$a(a - 4c) ＜ 0$
逐一分析选项：
选项A：$a＜0$，$a-4c＜0$，则$a(a-4c) ＞ 0$，即$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合；
选项B：$a＜0$，$a+4c＜0$，无法确定$a(a-4c)$的符号，不能保证$\Delta＜0$，不符合；
选项C：$a＞0$，$a+4c＜0$，可得$4c ＜ -a$，两边乘$-a(a＞0)$得$-4ac ＞ a^2$，故$a^2 -4ac ＞ a^2 +a^2=2a^2＞0$，即$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根，不符合；
选项D：$a＞0$，$a-4c＜0$，则$a(a-4c) ＜0$，即$\Delta＜0$，方程没有实数根，符合条件。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，核心是掌握判别式与根的对应关系，结合不等式性质分析系数符号，属于基础题型。
【难度系数】
0.5

5.(真题·绍兴柯桥)已知一元二次方程$x^2 - 4x + m = 0$可配成$(x - n)^2 = 1$，则$m + n$的值为 ……………………………（）

A.1
B.$-1$
C.$5$
D.$-5$

C

【分析】要解决这道题，需利用一元二次方程的配方法，将原方程配方后与题目给出的形式对比，求出$m$和$n$的值，进而计算$m+n$。首先对原方程移项，再加上一次项系数一半的平方完成配方，得到配方后的式子，再与已知的$(x-n)^2=1$对应，即可求出$n$和$m$，最后求和。
【解析】解：对一元二次方程$x^2 - 4x + m = 0$进行配方：
1. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 - 4x = -m$；
2. 配方：在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数为$-4$，其一半的平方为$(\frac{-4}{2})^2 = 4$，因此等式变为：
$x^2 - 4x + 4 = -m + 4$；
3. 整理为完全平方形式：左边可写成$(x - 2)^2$，即$(x - 2)^2 = 4 - m$。
已知该方程可配成$(x - n)^2 = 1$，因此对应相等可得：$n = 2$，且$4 - m = 1$，解得$m = 3$。
因此$m + n = 3 + 2 = 5$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】一元二次方程配方法
【点评】本题考查一元二次方程的配方法，核心是掌握配方法的操作规则，将配方后的结果与题目给出的形式对应求解，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.7

6.(真题·杭州滨江)某店销售一款每个进价为60元的电子产品，若按每个90元出售，每月可销售200个。经调查发现，该电子产品售价每下降2元，其销售量就增加8个。当每个电子产品下降多少元时，该店每月销售这款电子产品的利润为8000元？设每个电子产品降价$ x $元，可列出方程为………………（）

A.$(90 - x)(200 - 4x) = 8000$
B.$(90 - x)(200 + 8x) = 8000$
C.$(90 - 60 - 2x)(200 + 8x) = 8000$
D.$(90 - 60 - x)(200 + 4x) = 8000$

D

【分析】
要解决这道题，需利用利润问题的核心等量关系：总利润=单件利润×销售量。首先明确各量随降价金额$x$的变化：单件利润=单件售价 - 单件进价，售价降价$x$元后，单件售价为$(90 - x)$元，进价为60元，因此单件利润为$(90 - x - 60)$元；再分析销售量：售价每下降2元，销售量增加8个，那么降价$x$元时，销售量增加的数量为$\frac{x}{2}×8=4x$个，原销售量为200个，故降价后的销售量为$(200 + 4x)$个。最后根据总利润为8000元，即可列出对应方程，选出正确选项。
【解析】
根据利润问题的等量关系：总利润=单件利润×销售量。
设每个电子产品降价$x$元：
1. 计算单件利润：降价后单件售价为$(90 - x)$元，单件进价为60元，因此单件利润为$(90 - x - 60)=(30 - x)$元；
2. 计算销售量：售价每下降2元，销售量增加8个，降价$x$元时，销售量增加$\frac{x}{2}×8=4x$个，原销售量为200个，故降价后销售量为$(200 + 4x)$个；
3. 总利润为8000元，因此可列方程：$(90 - 60 - x)(200 + 4x)=8000$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用（利润问题）
【点评】
本题是典型的利润应用题，重点考查学生对利润公式的掌握及各量变化关系的分析能力，尤其是销售量随降价金额的变化计算是易错点，需注意“每下降2元销量增加8个”的对应关系，避免直接用$x$乘8导致错误，整体难度不大，属于基础题型。
【难度系数】
0.6

7.已知关于 $ x $ 的方程 $ x^2 - (2m - 1)x + m^2 = 0 $ 的两个实数根分别为 $ x_1, x_2 $。若 $ (x_1 + 1)(x_2 + 1) = 3 $，则 $ m $ 的值为 ………（）

A.$-3$
B.$-1$
C.$-3$ 或 $1$
D.$-1$ 或 $3$

A

【分析】
要解决这道题，需分三步思考：1. 利用一元二次方程根的判别式，确定方程有两个实根时m的取值范围；2. 根据韦达定理（根与系数的关系），将已知条件转化为关于m的方程；3. 解方程得到m的可能值，再结合判别式的取值范围筛选出正确的m值，最终对应选项。
【解析】
解：对于一元二次方程$x^2 - (2m - 1)x + m^2 = 0$，
因为方程有两个实数根，所以判别式$\Delta ≥ 0$，
$\Delta = [-(2m - 1)]^2 - 4 × 1 × m^2 = 4m^2 - 4m + 1 - 4m^2 = -4m + 1$，
令$-4m + 1 ≥ 0$，解得$m ≤ \frac{1}{4}$。
根据韦达定理，方程的两根$x_1, x_2$满足：
$x_1 + x_2 = 2m - 1$，$x_1x_2 = m^2$。
已知$(x_1 + 1)(x_2 + 1) = 3$，展开得：
$x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1 = 3$，
代入韦达定理结果：
$m^2 + (2m - 1) + 1 = 3$，
化简得：$m^2 + 2m - 3 = 0$，
因式分解得：$(m + 3)(m - 1) = 0$，
解得$m = -3$或$m = 1$。
结合$m ≤ \frac{1}{4}$，舍去$m = 1$，故$m = -3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式，韦达定理，一元二次方程的解法
【点评】
本题综合考查一元二次方程的根的判别式与韦达定理的应用，易错点是忽略“方程有两个实数根”的前提条件，未用判别式筛选解，导致误选C选项，需注意解题时先确定参数的取值范围。
【难度系数】
0.4