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8. 定义:若一元二次方程有两个整数根,且其中一根是另一根的整数倍,则称该方程是“一元二次倍根方程”。例如 $x^2-3x+2=0$的两根为 $x_1=1,x_2=2$,因为 $x_2$ 是 $x_1$ 的 2 倍,所以 $x^2-3x+2=$0 是“一元二次倍根方程”。已知 $n$ 是正整数,若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-(n+4)x+3n+3=0$ 是“倍根方程”,且关于 $y$ 的一元二次方程 $y^2+5y+n=0$ 总有两个不相等的实数根,则 $n$ 的值为 …………………………………………………………（
A.2
B.2 或 5
C.4 或 6
D.2 或 6
B
）A.2
B.2 或 5
C.4 或 6
D.2 或 6
答案
B 解析:因为$y^2+5y+n=0$总有两个不相等的实数根,所以$\Delta=b^2-4ac=5^2-4×1×n＞0$,解得$n＜\frac{25}{4}$,因为n是正整数,所以n=1,2,3,4,5,6,方程$x^2-(n+4)x+3n+3=0$,所以$(x-3)[x-(n+1)]=0$,所以$x-3=0$或$x-(n+1)=0$,解得$x_1=3,x_2=n+1$,因为方程$x^2-(n+4)x+3n+3=0$是“倍根方程”,所以3能被n+1整除或n+1能被3整除,所以n=2或5。故选:B。
解析
【分析】
本题需分三步解题：第一步，根据关于y的一元二次方程总有两个不相等的实数根，利用根的判别式求出正整数n的取值范围；第二步，用因式分解法解关于x的一元二次方程，得到两个整数根；第三步，结合“一元二次倍根方程”的定义，判断两根的倍数关系，筛选出符合条件的n值。
【解析】
1. 处理关于y的方程：
对于方程$y^2 + 5y + n = 0$，因它总有两个不相等的实数根，故判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$（其中$a=1$，$b=5$，$c=n$），代入得：
$\Delta = 5^2 - 4×1×n = 25 - 4n ＞ 0$，解得$n ＜ \frac{25}{4} = 6.25$。
又n为正整数，故n的可能取值为：1，2，3，4，5，6。
2. 解关于x的方程：
对$x^2 - (n+4)x + 3n + 3 = 0$因式分解，常数项$3n+3 = 3(n+1)$，一次项系数$-(n+4) = -[3 + (n+1)]$，因此分解为：
$(x - 3)[x - (n + 1)] = 0$，
解得两根为$x_1 = 3$，$x_2 = n + 1$。
3. 根据“倍根方程”定义筛选n：
“一元二次倍根方程”要求两根中一根是另一根的整数倍，即3和$n+1$满足：要么$n+1$是3的整数倍，要么3是$n+1$的整数倍。
结合n的取值范围：
若$n+1$是3的整数倍：$n+1 = 3k$（k为正整数），则$n = 3k - 1$，代入$n ＜ 6.25$，得k=1时$n=2$，k=2时$n=5$，k≥3时n超出范围；
若3是$n+1$的整数倍：$n+1$是3的约数，即$n+1=1$（n=0，非正整数，舍去）或$n+1=3$（n=2，已在上述情况）。
综上，符合条件的n为2或5，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，新定义应用
【点评】
本题结合新定义“一元二次倍根方程”，综合考查一元二次方程的核心知识点，解题关键是准确理解新定义，先通过判别式确定n的范围，再求出方程的根，最后根据倍数关系筛选n，需具备一定的分析推理能力，属于中档题。
【难度系数】
0.5
本题需分三步解题：第一步，根据关于y的一元二次方程总有两个不相等的实数根，利用根的判别式求出正整数n的取值范围；第二步，用因式分解法解关于x的一元二次方程，得到两个整数根；第三步，结合“一元二次倍根方程”的定义，判断两根的倍数关系，筛选出符合条件的n值。
【解析】
1. 处理关于y的方程：
对于方程$y^2 + 5y + n = 0$，因它总有两个不相等的实数根，故判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$（其中$a=1$，$b=5$，$c=n$），代入得：
$\Delta = 5^2 - 4×1×n = 25 - 4n ＞ 0$，解得$n ＜ \frac{25}{4} = 6.25$。
又n为正整数，故n的可能取值为：1，2，3，4，5，6。
2. 解关于x的方程：
对$x^2 - (n+4)x + 3n + 3 = 0$因式分解，常数项$3n+3 = 3(n+1)$，一次项系数$-(n+4) = -[3 + (n+1)]$，因此分解为：
$(x - 3)[x - (n + 1)] = 0$，
解得两根为$x_1 = 3$，$x_2 = n + 1$。
3. 根据“倍根方程”定义筛选n：
“一元二次倍根方程”要求两根中一根是另一根的整数倍，即3和$n+1$满足：要么$n+1$是3的整数倍，要么3是$n+1$的整数倍。
结合n的取值范围：
若$n+1$是3的整数倍：$n+1 = 3k$（k为正整数），则$n = 3k - 1$，代入$n ＜ 6.25$，得k=1时$n=2$，k=2时$n=5$，k≥3时n超出范围；
若3是$n+1$的整数倍：$n+1$是3的约数，即$n+1=1$（n=0，非正整数，舍去）或$n+1=3$（n=2，已在上述情况）。
综上，符合条件的n为2或5，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，新定义应用
【点评】
本题结合新定义“一元二次倍根方程”，综合考查一元二次方程的核心知识点，解题关键是准确理解新定义，先通过判别式确定n的范围，再求出方程的根，最后根据倍数关系筛选n，需具备一定的分析推理能力，属于中档题。
【难度系数】
0.5
9.(真题·金华东阳)一元二次方程$x^2 - 5x + a = 0$的一个解为$x_1 = 1$，则另外一个解$x_2 =$
4
。答案
4
解析
【分析】本题要求一元二次方程的另一个解，可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）快速求解。对于一元二次方程$Ax^2 + Bx + C = 0$（$A≠0$），两根之和为$-\frac{B}{A}$。本题中方程为$x^2 -5x +a =0$，其中$A=1$，$B=-5$，因此两根之和等于5。已知一个根$x_1=1$，只需用两根之和减去已知根，即可得到另一个根$x_2$。
【解析】对于一元二次方程$x^2 -5x +a =0$，根据韦达定理，两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{-5}{1}=5$。将已知根$x_1=1$代入上式，得$1 + x_2 =5$，解得$x_2=4$。
【答案】4
【知识点】一元二次方程根与系数的关系
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的基础应用，属于基础题型，直接运用韦达定理即可快速得出结果，也可通过代入已知根求参数$a$后解方程验证，方法简单，适合巩固基础。
【难度系数】0.8
【解析】对于一元二次方程$x^2 -5x +a =0$，根据韦达定理，两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{-5}{1}=5$。将已知根$x_1=1$代入上式，得$1 + x_2 =5$，解得$x_2=4$。
【答案】4
【知识点】一元二次方程根与系数的关系
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的基础应用，属于基础题型，直接运用韦达定理即可快速得出结果，也可通过代入已知根求参数$a$后解方程验证，方法简单，适合巩固基础。
【难度系数】0.8
10.(真题·绍兴越城)一件原价为100元的衣服经过两次降价后的价格为81元，若设每次降价的百分率都是$ x $，则可列方程为________。
答案
$100(1-x)^2=81$
解析
【分析】
要列出方程，需先明确两次降价后价格的计算逻辑：原价为100元，每次降价百分率为x，第一次降价后的价格是原价乘以（1-降价率），即100(1-x)；第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行的，因此第二次降价后的价格为第一次降价后的价格再乘以（1-x），即100(1-x)²。结合两次降价后价格为81元的条件，即可列出对应方程。
【解析】
1. 第一次降价后的价格：原价×(1-降价百分率)=100(1-x)元；
2. 第二次降价后的价格：第一次降价后的价格×(1-降价百分率)=100(1-x)·(1-x)=100(1-x)²元；
3. 已知两次降价后价格为81元，因此可列方程：$100(1-x)^2=81$。
【答案】
$100(1-x)^2=81$
【知识点】
一元二次方程的应用、百分率问题
【点评】
本题考查一元二次方程在实际降价问题中的应用，核心是掌握两次连续降价的价格变化关系，属于基础题型，需明确降低率问题的基本计算逻辑。
【难度系数】
0.8
要列出方程，需先明确两次降价后价格的计算逻辑：原价为100元，每次降价百分率为x，第一次降价后的价格是原价乘以（1-降价率），即100(1-x)；第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行的，因此第二次降价后的价格为第一次降价后的价格再乘以（1-x），即100(1-x)²。结合两次降价后价格为81元的条件，即可列出对应方程。
【解析】
1. 第一次降价后的价格：原价×(1-降价百分率)=100(1-x)元；
2. 第二次降价后的价格：第一次降价后的价格×(1-降价百分率)=100(1-x)·(1-x)=100(1-x)²元；
3. 已知两次降价后价格为81元，因此可列方程：$100(1-x)^2=81$。
【答案】
$100(1-x)^2=81$
【知识点】
一元二次方程的应用、百分率问题
【点评】
本题考查一元二次方程在实际降价问题中的应用，核心是掌握两次连续降价的价格变化关系，属于基础题型，需明确降低率问题的基本计算逻辑。
【难度系数】
0.8
11.(真题·舟山定海)定义:对于任意实数$a,b,c,d$,有$[a,b]*[c,d]=ac-bd$,其中等式右边是通常的乘法和减法运算,如:$[3,2]*[5,1]=3×5-2×1=1$。已知关于$x$的方程$[x,m]*[x+5,5]=0$有两个不相等的实数根,则$m$的取值范围是
$m＞-\frac{5}{4}$
。答案
$m＞-\frac{5}{4}$
解析
【分析】首先明确题目给出的新运算规则，将方程中的新运算转化为常规代数表达式，得到关于x的一元二次方程；再根据一元二次方程有两个不相等实数根的条件（判别式Δ＞0），求解m的取值范围。
【解析】根据新定义运算：[a,b]*[c,d]=ac-bd，可得：
[x,m]*[x+5,5] = x·(x+5) - m·5 = x² +5x -5m
已知该式等于0，即方程为：x² +5x -5m =0
因为方程有两个不相等的实数根，所以该方程为一元二次方程，且判别式Δ＞0：
Δ = 5² -4×1×(-5m) =25 +20m
令Δ＞0，即25+20m＞0，解得：m＞ -5/4
【答案】m＞-5/4
【知识点】新定义运算、一元二次方程根的判别式
【点评】本题结合新定义运算考查一元二次方程根的判别式的应用，核心是准确转化新运算为代数方程，再利用判别式条件求解，属于基础题型，需掌握新定义的运算规则和判别式的使用方法。
【难度系数】0.6
【解析】根据新定义运算：[a,b]*[c,d]=ac-bd，可得：
[x,m]*[x+5,5] = x·(x+5) - m·5 = x² +5x -5m
已知该式等于0，即方程为：x² +5x -5m =0
因为方程有两个不相等的实数根，所以该方程为一元二次方程，且判别式Δ＞0：
Δ = 5² -4×1×(-5m) =25 +20m
令Δ＞0，即25+20m＞0，解得：m＞ -5/4
【答案】m＞-5/4
【知识点】新定义运算、一元二次方程根的判别式
【点评】本题结合新定义运算考查一元二次方程根的判别式的应用，核心是准确转化新运算为代数方程，再利用判别式条件求解，属于基础题型，需掌握新定义的运算规则和判别式的使用方法。
【难度系数】0.6
12.对于两个代数式,记$M=3x,N=1$,
①若$M^2 - N^2 - MN=11$,则$x=-1$或$x=\frac{4}{3}$;
②若关于$x$的方程$x^2 + M + N=0$的解为$p$和$q$,则$p^2 - q^2 - pq$的值为$\pm 3\sqrt{5} - 1$;
③若关于$x$的方程$\left| \frac{1}{9}M^2 - N - 2 \right| = x + m$有两个不相等的实数根,则$-\frac{13}{4} ＜ m ＜ \sqrt{3}$。
以上说法正确的是________。(填序号)
①若$M^2 - N^2 - MN=11$,则$x=-1$或$x=\frac{4}{3}$;
②若关于$x$的方程$x^2 + M + N=0$的解为$p$和$q$,则$p^2 - q^2 - pq$的值为$\pm 3\sqrt{5} - 1$;
③若关于$x$的方程$\left| \frac{1}{9}M^2 - N - 2 \right| = x + m$有两个不相等的实数根,则$-\frac{13}{4} ＜ m ＜ \sqrt{3}$。
以上说法正确的是________。(填序号)
答案
①② 解析:判断说法①:已知M=3x,N=1,将其代入$M^2-N^2-MN=11$,可得:$(3x)^2-1^2-3x×1=11$,即$9x^2-3x-1-11=0$,整理得$9x^2-3x-12=0$,解得$x=\frac{4}{3}$或$x=-1$,所以说法①正确。判断说法②:方程$x^2+M+N=0$即$x^2+3x+1=0$,因为p,q是方程$x^2+3x+1=0$的解,由韦达定理可知,则$p+q=-3$,$pq=1$。$p^2-q^2-pq=(p+q)(p-q)-pq$,先求$(p-q)^2=(p+q)^2-4pq=(-3)^2-4×1=9-4=5$,所以$p-q=±\sqrt{5}$。当$p-q=\sqrt{5}$时,$(p+q)(p-q)-pq=-3×\sqrt{5}-1=-3\sqrt{5}-1$,当$p-q=-\sqrt{5}$时,$(p+q)(p-q)-pq=-3×(-\sqrt{5})-1=3\sqrt{5}-1$,所以$p^2-q^2-pq$的值为$±3\sqrt{5}-1$,说法②正确。判断说法③:方程化为$\left| \frac{1}{9}×(3x)^2-1-2 \right|=x+m$,也就是$|x^2-3|=x+m$。当$x^2-3≥0$,即$x≥\sqrt{3}$或$x≤-\sqrt{3}$时,方程为$x^2-x-3-m=0$,因为方程有两个不相等的实数根,所以判别式$\Delta=(-1)^2-4×1×(-3-m)=1+12+4m=13+4m＞0$,解得$m＞-\frac{13}{4}$。当$x^2-3＜0$,即$-\sqrt{3}＜x＜\sqrt{3}$时,方程为$-x^2-x+3-m=0$,即$x^2+x-3+m=0$。因为方程有两个不相等的实数根,所以判别式$\Delta=1^2-4×1×(-3+m)=1+12-4m=13-4m＞0$,解得$m＜\frac{13}{4}$。综合起来,要使原方程有两个不相等的实数根,需两种情况各有一根且不相等,m的取值范围比较复杂,并非$-\frac{13}{4}＜m＜\sqrt{3}$,说法③错误。故答案为:①②。
解析
【分析】
要判断三个说法是否正确，需先将已知的M=3x、N=1代入每个说法中的代数式或方程，再结合一元二次方程的求解、韦达定理、绝对值方程的根的判别等知识，逐一验证每个说法的结论是否成立。
【解析】
判断说法①：将M=3x，N=1代入$M^2 - N^2 - MN=11$，可得：
$(3x)^2 - 1^2 - 3x×1 = 11$，整理得$9x^2 - 3x - 12 = 0$，化简为$3x^2 - x - 4 = 0$，因式分解得$(3x - 4)(x + 1)=0$，解得$x=\frac{4}{3}$或$x=-1$，故说法①正确。
判断说法②：方程$x^2 + M + N=0$即$x^2 + 3x + 1=0$，p、q是该方程的解，由韦达定理得$p+q=-3$，$pq=1$。
先计算$(p - q)^2=(p+q)^2 - 4pq=(-3)^2 - 4×1=5$，所以$p - q=±\sqrt{5}$。
则$p^2 - q^2 - pq=(p+q)(p - q) - pq$，代入得：
当$p - q=\sqrt{5}$时，$-3×\sqrt{5} -1=-3\sqrt{5}-1$；
当$p - q=-\sqrt{5}$时，$-3×(-\sqrt{5}) -1=3\sqrt{5}-1$；
故$p^2 - q^2 - pq$的值为$±3\sqrt{5}-1$，说法②正确。
判断说法③：原方程化为$\left| \frac{1}{9}(3x)^2 -1 -2 \right|=x+m$，即$|x^2 -3|=x+m$。
分两种情况：
1. 当$x^2 -3≥0$，即$x≥\sqrt{3}$或$x≤-\sqrt{3}$时，方程为$x^2 -x -3 -m=0$，判别式$\Delta=(-1)^2 -4×1×(-3 -m)=13 +4m＞0$，解得$m＞-\frac{13}{4}$；
2. 当$x^2 -3＜0$，即$-\sqrt{3}＜x＜\sqrt{3}$时，方程为$-x^2 -x +3 -m=0$，即$x^2 +x -3 +m=0$，判别式$\Delta=1^2 -4×1×(-3 +m)=13 -4m＞0$，解得$m＜\frac{13}{4}$；
但原方程有两个不相等的实数根，需结合根的范围分析，并非简单取两个不等式的交集，实际$m$的范围不是$-\frac{13}{4}＜m＜\sqrt{3}$，故说法③错误。
综上，正确的是①②。
【答案】
①②
【知识点】
一元二次方程的解法、韦达定理、绝对值方程的根的判别
【点评】
本题综合考查代数式求值、一元二次方程根的性质及绝对值方程的根的情况，需要学生熟练运用相关代数知识，分情况讨论分析，对逻辑推理能力有一定要求，需仔细验证每个结论避免出错。
【难度系数】
0.5
要判断三个说法是否正确，需先将已知的M=3x、N=1代入每个说法中的代数式或方程，再结合一元二次方程的求解、韦达定理、绝对值方程的根的判别等知识，逐一验证每个说法的结论是否成立。
【解析】
判断说法①：将M=3x，N=1代入$M^2 - N^2 - MN=11$，可得：
$(3x)^2 - 1^2 - 3x×1 = 11$，整理得$9x^2 - 3x - 12 = 0$，化简为$3x^2 - x - 4 = 0$，因式分解得$(3x - 4)(x + 1)=0$，解得$x=\frac{4}{3}$或$x=-1$，故说法①正确。
判断说法②：方程$x^2 + M + N=0$即$x^2 + 3x + 1=0$，p、q是该方程的解，由韦达定理得$p+q=-3$，$pq=1$。
先计算$(p - q)^2=(p+q)^2 - 4pq=(-3)^2 - 4×1=5$，所以$p - q=±\sqrt{5}$。
则$p^2 - q^2 - pq=(p+q)(p - q) - pq$，代入得：
当$p - q=\sqrt{5}$时，$-3×\sqrt{5} -1=-3\sqrt{5}-1$；
当$p - q=-\sqrt{5}$时，$-3×(-\sqrt{5}) -1=3\sqrt{5}-1$；
故$p^2 - q^2 - pq$的值为$±3\sqrt{5}-1$，说法②正确。
判断说法③：原方程化为$\left| \frac{1}{9}(3x)^2 -1 -2 \right|=x+m$，即$|x^2 -3|=x+m$。
分两种情况：
1. 当$x^2 -3≥0$，即$x≥\sqrt{3}$或$x≤-\sqrt{3}$时，方程为$x^2 -x -3 -m=0$，判别式$\Delta=(-1)^2 -4×1×(-3 -m)=13 +4m＞0$，解得$m＞-\frac{13}{4}$；
2. 当$x^2 -3＜0$，即$-\sqrt{3}＜x＜\sqrt{3}$时，方程为$-x^2 -x +3 -m=0$，即$x^2 +x -3 +m=0$，判别式$\Delta=1^2 -4×1×(-3 +m)=13 -4m＞0$，解得$m＜\frac{13}{4}$；
但原方程有两个不相等的实数根，需结合根的范围分析，并非简单取两个不等式的交集，实际$m$的范围不是$-\frac{13}{4}＜m＜\sqrt{3}$，故说法③错误。
综上，正确的是①②。
【答案】
①②
【知识点】
一元二次方程的解法、韦达定理、绝对值方程的根的判别
【点评】
本题综合考查代数式求值、一元二次方程根的性质及绝对值方程的根的情况，需要学生熟练运用相关代数知识，分情况讨论分析，对逻辑推理能力有一定要求，需仔细验证每个结论避免出错。
【难度系数】
0.5
三、解答题
13.(真题·金华永康)对于任意两个非零实数$a,b$，定义运算“◎”如下：
$a◎b=\begin{cases}\dfrac{a}{b}(a≥ b),\\ab(a＜ b)\end{cases}$ 如：$4◎3=\dfrac{4}{3}$，$2◎3=2×3=6$。
根据上述定义，解决下列问题：
(1)计算：$\sqrt{1000}◎\sqrt{10}=\_\_\_\_\_\_$，$\sqrt{2}◎(\sqrt{8}+1)=\_\_\_\_\_\_$。
(2)若$(x - 1)◎(x + 1)=2x + 2$，求$x$的值。
13.(真题·金华永康)对于任意两个非零实数$a,b$，定义运算“◎”如下：
$a◎b=\begin{cases}\dfrac{a}{b}(a≥ b),\\ab(a＜ b)\end{cases}$ 如：$4◎3=\dfrac{4}{3}$，$2◎3=2×3=6$。
根据上述定义，解决下列问题：
(1)计算：$\sqrt{1000}◎\sqrt{10}=\_\_\_\_\_\_$，$\sqrt{2}◎(\sqrt{8}+1)=\_\_\_\_\_\_$。
(2)若$(x - 1)◎(x + 1)=2x + 2$，求$x$的值。
答案
(1)10 $4+\sqrt{2}$ 解析:因为$1000＞10$,所以$\sqrt{1000}◎\sqrt{10}=\frac{\sqrt{1000}}{\sqrt{10}}=10$。因为$\sqrt{2}＜\sqrt{8}+1$,所以$\sqrt{2}◎(\sqrt{8}+1)=\sqrt{2}(\sqrt{8}+1)=4+\sqrt{2}$,故答案为:10;$4+\sqrt{2}$。
(2)因为$x-1＜x+1$,所以原式$=(x-1)(x+1)=2x+2$,所以$x^2-2x-3=0$,$x_1=3$,$x_2=-1$。
(2)因为$x-1＜x+1$,所以原式$=(x-1)(x+1)=2x+2$,所以$x^2-2x-3=0$,$x_1=3$,$x_2=-1$。
解析
【分析】
本题是定义新运算的题目，核心是先明确新运算“◎”的规则：对于非零实数a、b，当a≥b时，a◎b=a/b；当a＜b时，a◎b=a×b。解题时需先比较两个数（或式子）的大小，确定对应运算，再代入计算；第(2)问需先判断两个式子的大小关系，再转化为常规方程求解。
【解析】
(1) ① 比较√1000与√10：因为√1000=10√10，显然10√10＞√10，满足a≥b的条件，所以√1000◎√10=√1000/√10=√(1000/10)=√100=10；
② 比较√2与√8+1：√8=2√2≈2.828，故√8+1≈3.828，而√2≈1.414，显然√2＜√8+1，满足a＜b的条件，所以√2◎(√8+1)=√2×(√8+1)=√2×√8 + √2×1=√16 + √2=4+√2；
(2) 比较x-1与x+1：因为(x+1)-(x-1)=2＞0，所以x-1＜x+1，满足a＜b的条件，因此原式可转化为：(x-1)(x+1)=2x+2；
展开左边得：x² -1 = 2x +2；
移项整理为一元二次方程的标准形式：x² -2x -3=0；
因式分解得：(x-3)(x+1)=0；
解得：x=3或x=-1；
【答案】
(1) 10；4+√2；(2) x的值为3或-1；
【知识点】
定义新运算、二次根式运算、一元二次方程解法；
【点评】
本题属于基础的定义新运算题型，重点考查对新规则的理解与应用，需先判断两数（式）的大小关系再选择运算，计算过程涉及二次根式化简和一元二次方程求解，整体难度适中，适合初中学生巩固基础。
【难度系数】
0.6
本题是定义新运算的题目，核心是先明确新运算“◎”的规则：对于非零实数a、b，当a≥b时，a◎b=a/b；当a＜b时，a◎b=a×b。解题时需先比较两个数（或式子）的大小，确定对应运算，再代入计算；第(2)问需先判断两个式子的大小关系，再转化为常规方程求解。
【解析】
(1) ① 比较√1000与√10：因为√1000=10√10，显然10√10＞√10，满足a≥b的条件，所以√1000◎√10=√1000/√10=√(1000/10)=√100=10；
② 比较√2与√8+1：√8=2√2≈2.828，故√8+1≈3.828，而√2≈1.414，显然√2＜√8+1，满足a＜b的条件，所以√2◎(√8+1)=√2×(√8+1)=√2×√8 + √2×1=√16 + √2=4+√2；
(2) 比较x-1与x+1：因为(x+1)-(x-1)=2＞0，所以x-1＜x+1，满足a＜b的条件，因此原式可转化为：(x-1)(x+1)=2x+2；
展开左边得：x² -1 = 2x +2；
移项整理为一元二次方程的标准形式：x² -2x -3=0；
因式分解得：(x-3)(x+1)=0；
解得：x=3或x=-1；
【答案】
(1) 10；4+√2；(2) x的值为3或-1；
【知识点】
定义新运算、二次根式运算、一元二次方程解法；
【点评】
本题属于基础的定义新运算题型，重点考查对新规则的理解与应用，需先判断两数（式）的大小关系再选择运算，计算过程涉及二次根式化简和一元二次方程求解，整体难度适中，适合初中学生巩固基础。
【难度系数】
0.6
