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14.已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - (2m+1)x + m^2 + m = 0 $。
(1)求证:无论 $ m $ 取何值时,方程都有两个不相等的实数根。
(2)设该方程的两个实数根为 $ x_1, x_2 $。
①求代数式: $ x_1^2 + x_2^2 - 4x_1x_2 $ 的最大值；
②若方程的一个根是 $ 6, x_1 $ 和 $ x_2 $ 是一个等腰三角形的两条边,求等腰三角形的周长。
(1)求证:无论 $ m $ 取何值时,方程都有两个不相等的实数根。
(2)设该方程的两个实数根为 $ x_1, x_2 $。
①求代数式: $ x_1^2 + x_2^2 - 4x_1x_2 $ 的最大值；
②若方程的一个根是 $ 6, x_1 $ 和 $ x_2 $ 是一个等腰三角形的两条边,求等腰三角形的周长。
答案
(1)证明:因为$\Delta=[-(2m+1)]^2-4(m^2+m)=4m^2+4m+1-4m^2-4m=1＞0$,所以无论m取何值时,方程都有两个不相等的实数根。
(2)①因为该方程的两个实数根为$x_1,x_2$,所以$x_1+x_2=2m+1$,$x_1x_2=m^2+m$,所以$x_1^2+x_2^2-4x_1x_2=(x_1+x_2)^2-6x_1x_2=(2m+1)^2-6(m^2+m)=-2m^2-2m+1=-2(m+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{2}$,因为$-2(m+\frac{1}{2})^2≤0$,所以$-2(m+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{2}≤\frac{3}{2}$,所以代数式$x_1^2+x_2^2-4x_1x_2$的最大值为$\frac{3}{2}$。
②把x=6代入方程$x^2-(2m+1)x+m^2+m=0$,得$36-(2m+1)×6+m^2+m=0$,解得$m_1=5$,$m_2=6$,把m=5代入方程得:$x^2-11x+30=0$,所以$x_1=5$,$x_2=6$,所以等腰三角形的边长为5,5,6或6,6,5,所以此等腰三角形的周长为16或17,把m=6代入方程得:$x^2-13x+42=0$,所以$x_1=6$,$x_2=7$,所以等腰三角形的边长为6,6,7或7,7,6,所以此等腰三角形的周长为19或20,综上,等腰三角形的周长为16或17或19或20。
(2)①因为该方程的两个实数根为$x_1,x_2$,所以$x_1+x_2=2m+1$,$x_1x_2=m^2+m$,所以$x_1^2+x_2^2-4x_1x_2=(x_1+x_2)^2-6x_1x_2=(2m+1)^2-6(m^2+m)=-2m^2-2m+1=-2(m+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{2}$,因为$-2(m+\frac{1}{2})^2≤0$,所以$-2(m+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{2}≤\frac{3}{2}$,所以代数式$x_1^2+x_2^2-4x_1x_2$的最大值为$\frac{3}{2}$。
②把x=6代入方程$x^2-(2m+1)x+m^2+m=0$,得$36-(2m+1)×6+m^2+m=0$,解得$m_1=5$,$m_2=6$,把m=5代入方程得:$x^2-11x+30=0$,所以$x_1=5$,$x_2=6$,所以等腰三角形的边长为5,5,6或6,6,5,所以此等腰三角形的周长为16或17,把m=6代入方程得:$x^2-13x+42=0$,所以$x_1=6$,$x_2=7$,所以等腰三角形的边长为6,6,7或7,7,6,所以此等腰三角形的周长为19或20,综上,等腰三角形的周长为16或17或19或20。
解析
【分析】
要解决这道题，需分步骤处理：(1)对于一元二次方程根的情况，利用判别式Δ判断，计算Δ的值，若Δ＞0则有两个不等实根；(2)①求代数式最大值时，先利用韦达定理得到两根和与积，将代数式转化为含m的二次式，再通过配方求最大值；②已知方程一个根为6，代入方程求m，再解方程得两根，结合等腰三角形两边为根，分情况讨论边长，验证三边关系后计算周长。
【解析】
(1)证明：对于一元二次方程$x^2 - (2m+1)x + m^2 + m = 0$，其判别式$\Delta = [-(2m+1)]^2 - 4×1×(m^2 + m)$，计算得：
$\Delta = 4m^2 + 4m + 1 - 4m^2 - 4m = 1 ＞ 0$，因此无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根。
(2)①由韦达定理，方程两根$x_1, x_2$满足：$x_1 + x_2 = 2m + 1$，$x_1x_2 = m^2 + m$。
代数式$x_1^2 + x_2^2 - 4x_1x_2$可变形为：
$(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 - 4x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 6x_1x_2$，代入韦达定理结果：
$(2m + 1)^2 - 6(m^2 + m) = 4m^2 + 4m + 1 - 6m^2 - 6m = -2m^2 - 2m + 1$，配方得：
$-2(m + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{2}$，因为$-2(m + \frac{1}{2})^2 ≤ 0$，所以该式最大值为$\frac{3}{2}$，即代数式的最大值为$\frac{3}{2}$。
②把$x=6$代入方程$x^2 - (2m+1)x + m^2 + m = 0$，得：
$36 - 6(2m + 1) + m^2 + m = 0$，整理为$m^2 - 11m + 30 = 0$，解得$m=5$或$m=6$。
当$m=5$时，方程为$x^2 - 11x + 30 = 0$，解得两根$x_1=5$，$x_2=6$。等腰三角形两边为5和6，分情况：
腰为5，底为6：三边5,5,6，满足5+5＞6，周长为5+5+6=16；
腰为6，底为5：三边6,6,5，满足6+5＞6，周长为6+6+5=17。
当$m=6$时，方程为$x^2 -13x +42=0$，解得两根$x_1=6$，$x_2=7$。等腰三角形两边为6和7，分情况：
腰为6，底为7：三边6,6,7，满足6+6＞7，周长为6+6+7=19；
腰为7，底为6：三边7,7,6，满足7+6＞7，周长为7+7+6=20。
综上，等腰三角形的周长为16或17或19或20。
【答案】
(1)证明成立；(2)①最大值为$\frac{3}{2}$；②周长为16或17或19或20。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，韦达定理，等腰三角形的性质，二次函数的最值。
【点评】
本题综合考查一元二次方程的相关知识与等腰三角形的分类讨论，需熟练掌握根的判别式、韦达定理的应用，分类讨论时要注意验证三角形三边关系，避免漏解或错解，是中等难度的综合题。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，需分步骤处理：(1)对于一元二次方程根的情况，利用判别式Δ判断，计算Δ的值，若Δ＞0则有两个不等实根；(2)①求代数式最大值时，先利用韦达定理得到两根和与积，将代数式转化为含m的二次式，再通过配方求最大值；②已知方程一个根为6，代入方程求m，再解方程得两根，结合等腰三角形两边为根，分情况讨论边长，验证三边关系后计算周长。
【解析】
(1)证明：对于一元二次方程$x^2 - (2m+1)x + m^2 + m = 0$，其判别式$\Delta = [-(2m+1)]^2 - 4×1×(m^2 + m)$，计算得：
$\Delta = 4m^2 + 4m + 1 - 4m^2 - 4m = 1 ＞ 0$，因此无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根。
(2)①由韦达定理，方程两根$x_1, x_2$满足：$x_1 + x_2 = 2m + 1$，$x_1x_2 = m^2 + m$。
代数式$x_1^2 + x_2^2 - 4x_1x_2$可变形为：
$(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 - 4x_1x_2 = (x_1 + x_2)^2 - 6x_1x_2$，代入韦达定理结果：
$(2m + 1)^2 - 6(m^2 + m) = 4m^2 + 4m + 1 - 6m^2 - 6m = -2m^2 - 2m + 1$，配方得：
$-2(m + \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{2}$，因为$-2(m + \frac{1}{2})^2 ≤ 0$，所以该式最大值为$\frac{3}{2}$，即代数式的最大值为$\frac{3}{2}$。
②把$x=6$代入方程$x^2 - (2m+1)x + m^2 + m = 0$，得：
$36 - 6(2m + 1) + m^2 + m = 0$，整理为$m^2 - 11m + 30 = 0$，解得$m=5$或$m=6$。
当$m=5$时，方程为$x^2 - 11x + 30 = 0$，解得两根$x_1=5$，$x_2=6$。等腰三角形两边为5和6，分情况：
腰为5，底为6：三边5,5,6，满足5+5＞6，周长为5+5+6=16；
腰为6，底为5：三边6,6,5，满足6+5＞6，周长为6+6+5=17。
当$m=6$时，方程为$x^2 -13x +42=0$，解得两根$x_1=6$，$x_2=7$。等腰三角形两边为6和7，分情况：
腰为6，底为7：三边6,6,7，满足6+6＞7，周长为6+6+7=19；
腰为7，底为6：三边7,7,6，满足7+6＞7，周长为7+7+6=20。
综上，等腰三角形的周长为16或17或19或20。
【答案】
(1)证明成立；(2)①最大值为$\frac{3}{2}$；②周长为16或17或19或20。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，韦达定理，等腰三角形的性质，二次函数的最值。
【点评】
本题综合考查一元二次方程的相关知识与等腰三角形的分类讨论，需熟练掌握根的判别式、韦达定理的应用，分类讨论时要注意验证三角形三边关系，避免漏解或错解，是中等难度的综合题。
【难度系数】
0.5
