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1 如图,$△ ABC$是$\odot O$的内接三角形,$∠ C=30°$,$\odot O$的半径为5.若$P$是$\odot O$上的一点,在$△ ABP$中,$PB=AB$,则$PA$的长为（
A.5
B.$\dfrac{5}{2}\sqrt{3}$
C.$5\sqrt{2}$
D.$5\sqrt{3}$
D
）A.5
B.$\dfrac{5}{2}\sqrt{3}$
C.$5\sqrt{2}$
D.$5\sqrt{3}$
答案
1. D
2 [2024 菏泽] 如图，$△ ABC$ 是 $\odot O$ 的内接三角形. 如果 $OA // CB$，$∠ ACB=25°$，那么 $∠ CAB=$
40
$°$.答案
2. 40
3 [2024 海南]如图,AD 是半圆 O 的直径,点 B,C 在半圆上,且$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$,点 P 在$\overset{\frown}{CD}$上.若$∠ PCB=130°$,求$∠ PBA$的度数.
答案
3. 如图,连接 OB,OC,OP. $\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD},∠ AOD=180°,$
$\therefore ∠ AOB=∠ BOC=∠ COD=\frac{1}{3}∠ AOD=60°.\because OA=OB=OC,$
$\therefore △ AOB,△ BOC$ 均是等边三角形, $\therefore ∠ ABO=∠ CBO=$
$∠ BCO=60°,\therefore ∠ ABC=∠ ABO+∠ CBO=120°.\because ∠ PCB=$
$130°,\therefore ∠ OCP=∠ PCB-∠ BCO=130°-60°=70°.\because OC=OP,$
$\therefore ∠ OPC=∠ OCP=70°,\therefore$ 在 $△ OCP$ 中, $∠ COP=180°-$
$∠ OPC-∠ OCP=180°-70°-70°=40°.\because \overset{\frown}{CP}=\overset{\frown}{CP},\therefore ∠ PBC=$
$\frac{1}{2}∠ COP=20°,\therefore ∠ PBA=∠ ABC-∠ PBC=120°-20°=100°$
4 [2025 广安]如图,四边形$ABCD$是$\odot O$的内接四边形,$∠ BCD=120°$,$\odot O$的半径为6,则$BD$的长为
$6\sqrt{3}$
。答案
4. $6\sqrt{3}$ 【解析】连接 OB,OD,过点 O 作 $OH⊥ BD$,垂足为 H.
$\because$ 四边形 ABCD 是 $\odot O$ 的内接四边形, $\therefore ∠ A+∠ BCD=180°.$
$\because ∠ BCD=120°,\therefore ∠ A=60°.\because \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BD},\therefore ∠ BOD=2∠ A=$
$120°.\because OB=OD,\therefore ∠ OBD=∠ ODB=30°.\because OH⊥ BD,$
$\therefore BH=DH,∠ OHB=90°,\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ OHB$ 中, $OH=\frac{1}{2}OB=3,$
$\therefore BH=\sqrt{OB^2-OH^2}=3\sqrt{3},\therefore BD=2BH=6\sqrt{3}.$
$\because$ 四边形 ABCD 是 $\odot O$ 的内接四边形, $\therefore ∠ A+∠ BCD=180°.$
$\because ∠ BCD=120°,\therefore ∠ A=60°.\because \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BD},\therefore ∠ BOD=2∠ A=$
$120°.\because OB=OD,\therefore ∠ OBD=∠ ODB=30°.\because OH⊥ BD,$
$\therefore BH=DH,∠ OHB=90°,\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ OHB$ 中, $OH=\frac{1}{2}OB=3,$
$\therefore BH=\sqrt{OB^2-OH^2}=3\sqrt{3},\therefore BD=2BH=6\sqrt{3}.$
5 [2024 包头]如图,AB 是$\odot O$的直径,BC,BD 是$\odot O$的两条弦,点 C 与点 D 在 AB 的两侧,E 是OB 上一点$(OE＞BE)$,连接 OC,CE. 若$∠ BOC=2∠ BCE$,且$BD=2OE$,求证:$BD// OC$.
答案
5. 如图,过点 O 分别作 $OH⊥ BC,OK⊥ BD$,垂足依次为 H,K.
$\because OK⊥ BD,OK$ 经过圆心, $\therefore ∠ OKB=90°,BD=2BK.\because BD=$
$2OE,\therefore OE=BK.\because OB=OC,OH⊥ BC,\therefore ∠ BOC=2∠ BOH,$
$∠ OHB=90°,\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ OHB$ 中, $∠ BOH+∠ OBH=90°.$
$\because ∠ BOC=2∠ BCE,\therefore ∠ BOH=∠ BCE,\therefore ∠ BCE+∠ OBH=$
$90°,\therefore ∠ OEC=∠ BCE+∠ OBH=90°.$ 在 $\mathrm{Rt}△ OEC$ 和 $\mathrm{Rt}△ BKO$
中, $\begin{cases} OC=BO,\\ OE=BK, \end{cases}\therefore \mathrm{Rt}△ OEC≌\mathrm{Rt}△ BKO\ (\mathrm{HL}),\therefore ∠ COE=$
$∠ OBK,\therefore BD// OC$
