6 [2025 山西] 如图，$AB$ 为 $\odot O$ 的直径，点 $C$，$D$ 是 $\odot O$ 上位于 $AB$ 异侧的两点，连接$AD$，$CD$. 若 $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，则 $∠ D$ 的度数为（）

A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$

6. B

7 一题多解 [2025 辽宁] 如图,在$△ ABC$中,$AC=BC$,以$AB$为直径作$\odot O$,与$AC$相交于点$D$,连接$OC$,与$\odot O$相交于点$E$,连接$DE$.求$∠ ADE$的度数.

7. 解法一:连接 BD. $\because AB$ 为 $\odot O$ 的直径, $\therefore ∠ ADB=90°.$
$\because AC=BC,OA=OB,\therefore CO⊥ AB,\therefore ∠ BOC=90°.\because \overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BE},$
$\therefore ∠ BDE=\frac{1}{2}∠ BOC=45°,\therefore ∠ ADE=∠ ADB+∠ BDE=90°+$$45°=135°$
解法二:连接 OD. $\because AC=BC,OA=OB,\therefore CO⊥ AB,\therefore ∠ AOC=$
$90°.$ 设 $∠ OAD=x,∠ ODE=y.\because OA=OD=OE,\therefore ∠ OAD=$
$∠ ODA=x,∠ ODE=∠ OED=y.\because$ 四边形 OADE 的内角和为
$360°,\therefore x+x+y+y+90°=360°,$ 解得 $x+y=135°,\therefore ∠ ADE=$
$∠ ADO+∠ ODE=x+y=135°$

8 [2025 福建]如图,PA 与$\odot O$相切于点A,PO 的延长线交$\odot O$于点C,$AB// PC$,交$\odot O$于点B.若$∠ P=30°$,则$∠ BCP$的度数为（）


A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$

8. C

9 如图, A B 是 $\odot O$ 的直径, F D 为 $\odot O$ 的切线, 弦 C D 与 A B 相交于点 $E,D F// A B$, 交 C A 的延长线于点 F, $C F=C D$, 则 $∠ F$ 的度数为.

9. $67.5°$

10 [2024 武汉改编]如图,$△ ABC$ 为等腰三角形,$O$ 是底边 $BC$ 的中点,腰 $AC$ 与半圆 $O$ 相切于点$D$,底边 $BC$ 与半圆 $O$ 交于 $E,F$ 两点.
(1) 求证:$AB$ 与半圆 $O$ 相切;
(2) 若 $CD=4,CF=2$,求 $EF$ 的长.

10. (1) 如图,连接 OD,OA,过点 O 作 $OH⊥ AB$ 于点 H. $\because △ ABC$
为等腰三角形,O 是底边 BC 的中点, $\therefore AO⊥ BC,AO$ 平分 $∠ BAC.$
$\because AC$ 与半圆 O 相切于点 D, $\therefore OD⊥ AC.\because OH⊥ AB,\therefore OH=$
$OD,\therefore AB$ 与半圆 O 相切 (2) 设半圆 O 的半径为 r,则 $OD=$
$OF=r.$ 由(1)知, $OD⊥ AC,\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ OCD$ 中,由勾股定理,得
$OD^2+CD^2=OC^2$,即 $r^2+4^2=(r+2)^2$,解得 $r=3,\therefore EF=2r=6$