7 已知一个三角形的三边长分别为 5,7,8,则其内切圆的半径为
（）

A.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
B.$\dfrac{3}{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{3}$

7. C 【解析】令 $AB=5,BC=7,AC=8$. 过点 C 作 $CD⊥ AB$，垂足为 D. 设$△ ABC$的内切圆的半径为 r，$AD=x$，则 $BD=5-x$. 由勾股定理，得 $CD^{2}=AC^{2}-AD^{2},CD^{2}=BC^{2}-BD^{2},\therefore 8^{2}-x^{2}=7^{2}-$ $(5-x)^{2}$，解得 $x=4.\therefore CD=\sqrt {AC^{2}-AD^{2}}=4\sqrt {3}.\because S_{△ ABC}=$ $\frac {1}{2}AB· CD=\frac {1}{2}(AB+BC+AC)· r,\therefore \frac {1}{2}×5×4\sqrt {3}=\frac {1}{2}×(5+$ $7+8)r,\therefore r=\sqrt {3}.$

8 如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成,点A,B,C在平面直角坐标系中的坐标分别为$(3,6),(-3,3),(7,-2)$,则$△ ABC$的内心的坐标为.

8. $(2,3)$

9 已知$△ ABC$的周长为$l$,其内切圆的面积为$π r^{2}$,则$△ ABC$的面积为.

9. $\frac {1}{2}rl$

10 如图,四边形$ABCD$内接于$\odot O$,点$I$是$△ ABC$的内心,$∠ AIC=124°$,点$E$在$AD$的延长线上,连接$AC$,则$∠ CDE$的度数为.

10. $68°$

11 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90^{ \circ }$,$∠ BAC$,$∠ ABC$的平分线交于点$D$,$DE ⊥ BC$于点$E$,$DF ⊥ AC$于点$F$.
(1)求证:四边形$CFDE$是正方形;
(2)若$AC=6$,$BC=8$,求$△ ABC$的内切圆的周长.

11. (1) 如图，过点 D 作 $DN⊥ AB$ 于点 N. $\because ∠ C=90^{\circ },DE⊥ BC,$ $DF⊥ AC,\therefore ∠ C=∠ DEC=∠ DFC=90^{\circ },\therefore$ 四边形 CFDE 是矩形. $\because ∠ BAC,∠ ABC$ 的平分线交于点 D，$DE⊥ BC,DF⊥ AC,$ $DN⊥ AB,\therefore DE=DN,DN=DF,\therefore DF=DE,\therefore$ 四边形 CFDE 是正方形 (2) 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中，$AC=6,BC=8$，根据勾股定理，得 $AB=\sqrt {AC^{2}+BC^{2}}=10$. 设$△ ABC$的内切圆的半径为 r. $\because S_{△ ABC}=\frac {1}{2}AC· BC=\frac {1}{2}r· (AC+BC+AB),\therefore \frac {1}{2}×6×8=$ $\frac {1}{2}r· (6+8+10)$，解得 $r=2.\therefore △ ABC$ 的内切圆的周长为 $2π×$ $2=4π$

12 [2024 烟台]如图,AB 是$\odot O$的直径,$△ ABC$内接于$\odot O$,点 I 为$△ ABC$的内心,连接 CI 并延长,交$\odot O$于点 D,E 是$\overset{\frown}{BC}$上任意一点,连接 AD,BD,BE,CE.
(1) 若$∠ ABC=25°$,求$∠ CEB$的度数;
(2) 找出图中所有与 DI 相等的线段,并说明理由.

12. (1) $\because AB$ 是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ ACB=90^{\circ }.\because ∠ ABC=25^{\circ },$ $\therefore ∠ CAB=90^{\circ }-25^{\circ }=65^{\circ }.\because$ 四边形 ABEC 是$\odot O$的内接四边形，$\therefore ∠ CEB+∠ CAB=180^{\circ },\therefore ∠ CEB=180^{\circ }-∠ CAB=115^{\circ }$
(2) $DI=AD=BD$ 理由: 连接 AI. $\because$ 点 I 为$△ ABC$的内心，$\therefore ∠ CAI=∠ BAI,∠ ACI=∠ BCI,\therefore \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD},\therefore ∠ DAB=$ $∠ DCB=∠ ACI,AD=BD.\because ∠ DAI=∠ DAB+∠ BAI,∠ DIA=$ $∠ ACI+∠ CAI,\therefore ∠ DAI=∠ DIA,\therefore DI=AD,\therefore DI=AD=BD.$