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10. 已知直角三角形的周长为$4+\sqrt{26}$，斜边为4，求该直角三角形的面积.
答案
10. 解:设三角形的两条直角边分别为a,b,由题意可得:$a+b+4=4+\sqrt{26}$,
化简得$a+b=\sqrt{26}$,由勾股定理得:$a^2+b^2=16$,所以$2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)=26-16=10$,即面积$S=\frac{1}{2}ab=\frac{5}{2}$.
化简得$a+b=\sqrt{26}$,由勾股定理得:$a^2+b^2=16$,所以$2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)=26-16=10$,即面积$S=\frac{1}{2}ab=\frac{5}{2}$.
解析
【分析】
本题要求直角三角形的面积，直角三角形面积为$\frac{1}{2}ab$（a、b为两条直角边），因此不需要单独求出a、b的具体数值，只需要算出$ab$的值即可。解题思路如下：第一步根据周长减去斜边长度得到两条直角边的和；第二步根据勾股定理得到两条直角边的平方和；第三步利用完全平方公式的变形求出$ab$的值，最后代入面积公式计算结果即可。
【解析】
设该直角三角形的两条直角边分别为$a$、$b$。
根据周长的定义可得：$a+b+4=4+\sqrt{26}$，
化简得：$a+b=\sqrt{26}$。
根据勾股定理可得：$a^2+b^2=4^2=16$。
由完全平方公式变形得$2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)$，代入已知数值计算：
$2ab=(\sqrt{26})^2-16=26-16=10$，
所以$ab=5$，
则直角三角形面积$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×5=\frac{5}{2}$。
【答案】
$\frac{5}{2}$
【知识点】
勾股定理；完全平方公式；直角三角形面积计算
【点评】
本题运用整体代换的思想，不需要求解两条直角边的具体值，通过完全平方公式的变形直接求出两条直角边的乘积，简化了计算过程，是解决直角三角形周长、边长、面积混合题型的常用技巧。
【难度系数】
0.7
本题要求直角三角形的面积，直角三角形面积为$\frac{1}{2}ab$（a、b为两条直角边），因此不需要单独求出a、b的具体数值，只需要算出$ab$的值即可。解题思路如下：第一步根据周长减去斜边长度得到两条直角边的和；第二步根据勾股定理得到两条直角边的平方和；第三步利用完全平方公式的变形求出$ab$的值，最后代入面积公式计算结果即可。
【解析】
设该直角三角形的两条直角边分别为$a$、$b$。
根据周长的定义可得：$a+b+4=4+\sqrt{26}$，
化简得：$a+b=\sqrt{26}$。
根据勾股定理可得：$a^2+b^2=4^2=16$。
由完全平方公式变形得$2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)$，代入已知数值计算：
$2ab=(\sqrt{26})^2-16=26-16=10$，
所以$ab=5$，
则直角三角形面积$S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×5=\frac{5}{2}$。
【答案】
$\frac{5}{2}$
【知识点】
勾股定理；完全平方公式；直角三角形面积计算
【点评】
本题运用整体代换的思想，不需要求解两条直角边的具体值，通过完全平方公式的变形直接求出两条直角边的乘积，简化了计算过程，是解决直角三角形周长、边长、面积混合题型的常用技巧。
【难度系数】
0.7
