1.(杭州市)多项式$x^2-1$与$(x-1)^2$的公因式为 ()

A.$x-1$
B.$x+1$
C.$x^2-1$
D.$(x-1)^2$

A

【分析】要确定两个多项式的公因式，需先对每个多项式进行因式分解，再找出它们共有的因式。首先利用平方差公式分解多项式$x^2 -1$，再写出$(x-1)^2$的因式形式，对比后即可得到公因式。
【解析】1. 对多项式$x^2 -1$因式分解：根据平方差公式$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$，可得$x^2 -1=(x-1)(x+1)$；2. 对多项式$(x-1)^2$，其本身已是因式乘积形式，即$(x-1)^2=(x-1)(x-1)$；3. 对比两个因式分解后的结果，公共的因式为$x-1$，因此公因式是$x-1$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】公因式、因式分解（平方差公式）
【点评】本题考查公因式的确定，核心是掌握多项式的因式分解方法，尤其是平方差公式的应用，属于代数基础题型，难度较低，适合巩固因式分解的知识点。
【难度系数】0.8

2.(杭州市拱墅区)下列式子中,能直接运用完全平方公式进行因式分解的是 ()

A.$16a^{2}+8a+1$
B.$a^{2}-3a+9$
C.$4a^{2}+4a-1$
D.$a^{2}-8a-16$

A

【分析】要判断能否用完全平方公式因式分解，需先明确完全平方公式因式分解的结构特征：多项式为三项式，其中两项是正的平方项，第三项是这两个平方项底数乘积的±2倍。据此逐一分析选项即可。
【解析】根据完全平方公式因式分解的条件：
选项A：$16a^2=(4a)^2$，$1=1^2$，中间项$8a=2×4a×1$，符号为正，符合完全平方公式，可分解为$(4a+1)^2$，符合要求；
选项B：$a^2=a^2$，$9=3^2$，但中间项为$-3a≠±2×a×3=±6a$，不符合；
选项C：$4a^2=(2a)^2$，但常数项为$-1$，不是正的平方项，不符合；
选项D：$a^2=a^2$，常数项为$-16$，不是正的平方项，不符合。
综上，答案为A。
【答案】A
【知识点】因式分解-完全平方公式
【点评】本题考查完全平方公式因式分解的结构识别，核心是牢记公式的结构特征，需注意平方项的符号和中间项的系数要求，属于基础题型。
【难度系数】0.5

3.(龙泉市)下列各式中,分解因式正确的是 ()

A.$a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}$
B.$a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$
C.$x^{2}+x^{3}=x^{3}(\dfrac{1}{x}+1)$
D.$xy+xz+x=x(y+z)$

B

【分析】本题是判断因式分解的正确性，需依据因式分解的定义（将多项式化为几个整式的乘积形式，结果为整式且分解彻底），结合完全平方公式、提公因式法逐一分析各选项，找出正确的分解式。
【解析】逐一分析选项：
选项A：$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，与原式$a^2 + b^2$不相等，分解错误；
选项B：$a^2 - 2ab + b^2$符合完全平方公式，分解为$(a - b)^2$，分解正确；
选项C：分解结果中出现分式$\frac{1}{x}$，因式分解的结果必须是整式，因此分解错误；
选项D：$xy + xz + x$提公因式$x$后应为$x(y + z + 1)$，原式漏了常数项1，分解错误。
【答案】B
【知识点】因式分解的定义、完全平方公式、提公因式法
【点评】本题考查基础的因式分解正误判断，核心是掌握因式分解的定义和基本方法，避免常见的公式误用、漏项、出现分式等错误，属于因式分解的基础题型。
【难度系数】0.6

4.(绍兴市)代数式$15ax^2 - 15a$与$10x^2 + 20x + 10$的公因式为 ()

A.$5(x+1)$
B.$5a(x+1)$
C.$5a(x-1)$
D.$5(x-1)$

A

【分析】要确定两个代数式的公因式，需先分别对两个代数式因式分解，再提取它们都含有的公共因式。具体步骤为：先对每个代数式提取公因式，再用公式法进一步分解，最后对比分解结果找出公共部分。
【解析】解：先对两个代数式分别因式分解：
1. 分解$15ax^2 - 15a$：
$15ax^2 - 15a = 15a(x^2 - 1) = 15a(x + 1)(x - 1)$；
2. 分解$10x^2 + 20x + 10$：
$10x^2 + 20x + 10 = 10(x^2 + 2x + 1) = 10(x + 1)^2$；
对比两个分解结果，公共因式为系数的最大公约数5和相同因式$(x + 1)$，因此公因式为$5(x + 1)$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】因式分解（提公因式法、公式法），公因式
【点评】本题考查公因式的确定，属于基础题，核心是掌握因式分解的基本方法，分解两个多项式后找公共部分即可快速解题。
【难度系数】0.7

5.(温州市)在一次数学活动课中,小林用如图所示的4张A型小正方形纸片,9张B型大正方形纸片和若干张C型长方形纸片恰好拼成一个新的正方形(将纸片进行无空隙、无重叠的拼接),则小林共用长方形纸片

()

A.6张
B.12张
C.24张
D.36张

B

【分析】要解决这个问题，首先明确三种图形的面积：A型正方形面积为$a^2$，B型正方形面积为$b^2$，C型长方形面积为$ab$。拼成的新正方形的总面积等于4张A型、9张B型和若干张C型的面积之和，且这个总面积必须是完全平方形式（因拼接后为正方形），需通过完全平方公式确定C型长方形的数量。
【解析】
1. 各图形面积：A型面积$S_A=a^2$，B型面积$S_B=b^2$，C型面积$S_C=ab$。
2. 设新正方形边长为$x$，则总面积$x^2 = 4S_A +9S_B +nS_C =4a^2 +9b^2 +nab$（$n$为C型数量）。
3. 因$4a^2=(2a)^2$、$9b^2=(3b)^2$，根据完全平方公式$(m+n)^2=m^2+2mn+n^2$，总面积需为$(2a+3b)^2$，展开得：$(2a+3b)^2=4a^2 +12ab +9b^2$。
4. 对比总面积表达式，$nab=12ab$，故$n=12$，即C型长方形用了12张。
【答案】B
【知识点】完全平方公式、整式乘法
【点评】本题结合几何拼接考查完全平方公式的应用，将代数与几何结合，需理解完全平方的结构特征，找到对应项系数，难度适中。
【难度系数】0.5

6.(杭州市西湖区)已知多项式$2x^3 - x^2 + m$分解因式后有一个因式为$x+1$,则$m$的值为 ()

A.$3$
B.$-3$
C.$1$
D.$-1$

A
【解析】当$x+1=0,x=-1$时,多项式$2x^{3}-x^{2}+m=0$,即$-2-1+m=0$,解得$m=3$。

【分析】本题考查多项式的因式分解，利用因式定理求解。思路：若多项式$f(x)$含有因式$x+1$，则当$x=-1$时，$f(x)=0$，将$x=-1$代入多项式，得到关于$m$的方程，解方程即可求出$m$的值。
【解析】根据因式定理，若多项式$2x^3 - x^2 + m$有因式$x+1$，则当$x+1=0$即$x=-1$时，多项式的值为0。将$x=-1$代入多项式得：$2×(-1)^3 - (-1)^2 + m = 0$，计算得$-2 -1 + m = 0$，解得$m=3$。
【答案】A
【知识点】因式定理、多项式因式分解
【点评】本题是因式分解的基础题型，核心是运用因式定理建立方程求解，难度较低，适合巩固基础。
【难度系数】0.8

7.(杭州市滨江区)设$ a=7^{3} × 1412 $，$ b=932^{2} - 480^{2} $，$ c=515^{2} - 191^{2} $，则$ a,b,c $的大小关系是 ()

A.$ a ＜ b ＜ c $
B.$ b ＜ a ＜ c $
C.$ c ＜ b ＜ a $
D.$ c ＜ a ＜ b $

D
【解析】$a=7^{3}×1412=343×1412$;$b=932^{2}-480^{2}=(932+480)×(932-480)=1412×452$;$c=515^{2}-191^{2}=(515+191)×(515-191)=706×324=1412×162$。因为$162＜343＜452$,所以$c＜a＜b$。

【分析】要比较a、b、c的大小，观察发现a中含有因数1412，因此考虑对b、c利用平方差公式分解因式，使b、c也出现因数1412，只需比较各数中除1412外的另一个因数的大小，即可简化运算，避免直接计算大数平方的繁琐。
【解析】
1. 计算a：$a=7^3×1412=343×1412$；
2. 用平方差公式计算b：根据平方差公式$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$，得$b=932^2-480^2=(932+480)×(932-480)=1412×452$；
3. 用平方差公式计算c：同理，$c=515^2-191^2=(515+191)×(515-191)=706×324=1412×162$；
4. 比较因数大小：因为$162＜343＜452$，所以$1412×162＜1412×343＜1412×452$，即$c＜a＜b$。
【答案】D
【知识点】平方差公式、有理数运算、数的大小比较
【点评】本题通过平方差公式简化了大数运算，重点考察公式的灵活应用，是比较数大小的典型代数题型，解题思路清晰，计算量适中。
【难度系数】0.6

8.(杭州市拱墅区)分解因式:$4ab^{3}-ab=$。

$ab(2b+1)(2b-1)$

【分析】分解因式时，需先观察多项式是否存在公因式，若有则优先提取公因式，再对剩余部分结合公式法进一步分解。本题中多项式$4ab^3 - ab$的公因式为$ab$，提取后剩余的$4b^2 -1$符合平方差公式的结构特征，可继续分解。
【解析】解：$4ab^3 - ab = ab(4b^2 -1) = ab[(2b)^2 -1^2] = ab(2b+1)(2b-1)$
【答案】$ab(2b+1)(2b-1)$
【知识点】提公因式法分解因式，平方差公式分解因式
【点评】本题是基础因式分解题，考查因式分解的核心方法，步骤明确，属于初中数学的基础考点，难度较低。
【难度系数】0.8

9.(苍南县)已知常数$a$满足$x^2+ax-10=(x+5)(x-2)$,则$a=$。

$3$

【分析】
要解决这个问题，我们可以利用整式乘法的法则将等式右边的因式展开，再通过对应项系数相等的关系求出常数a的值。具体思路是：先把右边的乘积式展开合并同类项，再与左边的二次三项式对比，一次项的系数就是要求的a。
【解析】
首先，将等式右边的$(x+5)(x-2)$利用多项式乘多项式法则展开：
$(x+5)(x-2) = x · x - 2 · x + 5 · x - 5 × 2 = x^2 + 3x - 10$
已知$x^2 + ax -10 = (x+5)(x-2)$，即$x^2 + ax -10 = x^2 + 3x -10$，根据等式两边对应项系数相等，可得一次项系数$a=3$。
【答案】
$3$
【知识点】
多项式乘多项式；对应项系数相等
【点评】
本题是整式乘法的基础应用题，核心考查因式分解与整式乘法的互逆关系，通过展开乘积式对比系数即可快速求解，属于巩固基础的典型题目。
【难度系数】
0.9

10.(杭州市西湖区)分解因式:$(x-1)^2\_\_\_\_\_\_-9=$$\underline{\hspace{10cm}}$。

$(x+2)(x-4)$

【分析】首先观察原式，发现其为两个平方项的差，符合平方差公式的结构特征，因此考虑用平方差公式进行因式分解。先将原式转化为$a^2 - b^2$的形式，再套用公式分解，最后化简括号内的式子即可得到结果。
【解析】解：原式$=(x-1)^2 - 3^2$
根据平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，可得：
$=[(x-1)+3][(x-1)-3]$
$=(x+2)(x-4)$
【答案】$(x+2)(x-4)$
【知识点】因式分解-平方差公式
【点评】本题考查利用平方差公式进行因式分解，属于基础题型，核心是准确识别平方差的结构，熟练运用公式分解并化简。
【难度系数】0.7

11.(金华市)若关于$x$的代数式$x^2 - 2(m - 3)x + 9$($m$是常数)是一个多项式的平方，则$m=$。

$6或0$

【分析】要解决本题，需利用完全平方公式的结构特征分析：完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，题目中的代数式是多项式的平方，对应公式结构，可确定首项、末项与公式中$a^2$、$b^2$的关系，进而根据中间项的系数特点列出关于$m$的方程求解。
【解析】因为代数式$x^2 - 2(m - 3)x + 9$是一个多项式的平方，根据完全平方公式，该式可写成$(x\pm3)^2$，展开后中间项为$\pm6x$，因此原式中$x$的一次项系数需等于$\pm6$，即：
$-2(m - 3)=6$ 或 $-2(m - 3)=-6$
解第一个方程：
$-2(m - 3)=6$，两边同除以$-2$得$m - 3=-3$，解得$m=0$；
解第二个方程：
$-2(m - 3)=-6$，两边同除以$-2$得$m - 3=3$，解得$m=6$；
综上，$m$的值为$6$或$0$。
【答案】6或0
【知识点】完全平方公式
【点评】本题考查完全平方公式的应用，核心是掌握公式的结构特征，注意中间项有正负两种情况，需避免漏解，属于基础题型。
【难度系数】0.5

12.(绍兴市上虞区)已知$a=2018x+2017$，$b=2018x+2018$，$c=2018x+2019$，则多项式$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=$。

$3$

【分析】
要计算多项式$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac$的值，直接代入$a、b、c$的表达式计算会很繁琐，因此需先对该多项式进行恒等变形。利用常用的整式恒等公式：$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac = \frac{1}{2}[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]$，该变形可简化计算，只需先求出$a-b、b-c、c-a$的值，再代入即可。
【解析】
解：对多项式变形：
$\begin{aligned}a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac&=\frac{1}{2}(2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ac)\\&=\frac{1}{2}[(a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ac + a^2)]\\&=\frac{1}{2}[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]\end{aligned}$
计算$a、b、c$的差值：
$a - b = (2018x + 2017) - (2018x + 2018) = -1$
$b - c = (2018x + 2018) - (2018x + 2019) = -1$
$c - a = (2018x + 2019) - (2018x + 2017) = 2$
代入变形后的式子：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{2}[(-1)^2 + (-1)^2 + 2^2]\\&=\frac{1}{2}(1 + 1 + 4)\\&=\frac{1}{2}×6\\&=3\end{aligned}$
【答案】
$3$
【知识点】
整式的恒等变形、完全平方公式
【点评】
本题考查整式的恒等变形，核心是利用$a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ac = \frac{1}{2}[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]$这一常用公式简化计算，避免直接代入的复杂运算，解题关键在于对多项式的合理变形。
【难度系数】
0.5

13.(16分)(杭州市萧山区)因式分解:
(1)$4x^2 - \frac{1}{9}$。
(2)$3a - 6a^2 + 3a^3$。
(3)$(m + n)^2 - 4n^2$。
(4)$xy^2 - \frac{1}{4}x^2y - y^3$。

(1)原式=$(2x+\dfrac{1}{3})(2x-\dfrac{1}{3})$。
(2)原式=$3a(1-2a+a^{2})=3a(1-a)^{2}$。
(3)原式=$(m+n+2n)(m+n-2n)=(m+3n)(m-n)$。
(4)原式=$-\dfrac{1}{4}y(x^{2}-4xy+4y^{2})=-\dfrac{1}{4}y(x-2y)^{2}$。

【分析】
本题考查因式分解，需根据式子特征选择合适方法：(1)式为两平方项的差，用平方差公式分解；(2)式先提公因式，再用完全平方公式；(3)式将$(m+n)$视为整体，用平方差公式；(4)式先提公因式，再用完全平方公式，分解需彻底。
【解析】
(1) 原式符合平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，其中$a=2x$，$b=\frac{1}{3}$，故原式=$(2x+\frac{1}{3})(2x-\frac{1}{3})$；
(2) 先提取公因式$3a$，得$3a(1 - 2a + a^2)$，括号内为完全平方式$1 - 2a + a^2=(1 - a)^2$，故原式=$3a(1 - a)^2$；
(3) 将$(m+n)$和$2n$分别看作平方项，利用平方差公式得$(m+n)^2 - (2n)^2=(m+n+2n)(m+n-2n)$，化简后为$(m+3n)(m-n)$；
(4) 先提取公因式$-\frac{1}{4}y$，得$-\frac{1}{4}y(x^2 - 4xy + 4y^2)$，括号内为完全平方式$x^2 -4xy +4y^2=(x-2y)^2$，故原式=$-\frac{1}{4}y(x-2y)^2$。
【答案】
(1)$(2x+\frac{1}{3})(2x-\frac{1}{3})$；(2)$3a(1-a)^2$；(3)$(m+3n)(m-n)$；(4)$-\frac{1}{4}y(x-2y)^2$
【知识点】
因式分解、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题为基础因式分解题，综合考查提公因式法与公式法的运用，需熟练掌握公式结构，分解时要确保彻底，是初中代数的核心基础题型。
【难度系数】
0.8