3.(德清县)下列多项式中,能用公式法分解因式的是 ()

A.$a^2 - a$
B.$a^2 + b^2$
C.$-a^2 + 9b^2$
D.$a^2 + 4ab - 4b^2$

C

【分析】
要判断多项式能否用公式法分解因式，需先明确公式法分解因式常用的公式：平方差公式（$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$）、完全平方公式（$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$），再逐一分析选项：A选项用提公因式法，B选项无法分解，C选项符合平方差公式，D选项不符合完全平方公式结构，据此判断。
【解析】
对各选项逐一分析：
选项A：$a^2 - a = a(a - 1)$，使用的是提公因式法，不属于公式法分解因式，排除；
选项B：$a^2 + b^2$，既不满足平方差公式（是平方和而非平方差），也不满足完全平方公式的结构，无法用公式法分解，排除；
选项C：$-a^2 + 9b^2 = (3b)^2 - a^2$，符合平方差公式$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$（其中$x=3b$，$y=a$），能用公式法分解，符合题意；
选项D：$a^2 + 4ab - 4b^2$，完全平方公式要求平方项同号，且中间项为首尾底数乘积的±2倍，此处$-4b^2$为负，中间项$4ab$也不符合结构，无法用公式法分解，排除。
【答案】
C
【知识点】
因式分解-公式法，平方差公式
【点评】
本题考查公式法分解因式，核心是掌握平方差公式和完全平方公式的结构特征，区分提公因式法与公式法，通过逐一判断选项即可得出结论，属于基础题，难度不大。
【难度系数】
0.7

4.(杭州市上城区)因式分解:
(1)$x^3 - 4x$。
(2)$(2x + y)^2 - 6(2x + y) + 9$。
(3)$4xy^2 - 4x^2y - y^3$。

(1)原式=$x(x^2-4)=x(x+2)(x-2)$。
(2)原式=$(2x+y-3)^2$。
(3)原式=$-y(4x^2-4xy+y^2)=-y(2x-y)^2$。

【分析】
因式分解需遵循“先提公因式，再用公式，分解彻底”的原则。本题三个小题的解题思路：
(1) 先提取公因式x，剩余部分符合平方差公式结构，进一步分解至无法再拆；
(2) 将(2x+y)视为整体，原式符合完全平方公式特征，直接套用公式分解；
(3) 先提取公因式-y（注意提负号时括号内各项变号），剩余部分用完全平方公式分解，确保分解彻底。
【解析】
(1) 原式 = $x(x^2 - 4) = x(x + 2)(x - 2)$；
(2) 原式 = $(2x + y)^2 - 2×3×(2x + y) + 3^2 = (2x + y - 3)^2$；
(3) 原式 = $-y(4x^2 - 4xy + y^2) = -y(2x - y)^2$。
【答案】
(1) $x(x+2)(x-2)$；(2) $(2x+y-3)^2$；(3) $-y(2x-y)^2$
【知识点】
提公因式法因式分解、公式法因式分解
【点评】
本题为因式分解基础题，重点考察提公因式法、平方差公式及完全平方公式的应用，解题时需注意分解彻底，提负号时符号的处理，整体思想的运用（第2题）是解题关键，适合巩固因式分解的核心方法。
【难度系数】
0.8

例3 (绍兴市上虞区)已知$x-y=\dfrac{1}{2},xy=\dfrac{4}{3}$,则$xy^2 - x^2y$的值是。

$-\dfrac{2}{3}$

【分析】要计算代数式$xy^2 - x^2y$的值，首先对该式进行因式分解，提取公因式$xy$，将其转化为含有已知条件$x-y$和$xy$的形式，再通过变形$y - x = -(x - y)$，最后代入已知数值计算即可。
【解析】对$xy^2 - x^2y$提取公因式$xy$，得：
$xy^2 - x^2y = xy · y - xy · x = xy(y - x)$
又因为$y - x = -(x - y)$，所以原式可变形为：
$xy(y - x) = -xy(x - y)$
已知$x - y = \dfrac{1}{2}$，$xy = \dfrac{4}{3}$，代入上式得：
$-\dfrac{4}{3} × \dfrac{1}{2} = -\dfrac{2}{3}$
【答案】$-\dfrac{2}{3}$
【知识点】因式分解（提公因式法）、代数式求值
【点评】本题属于代数式求值的基础题型，核心是通过因式分解将所求式子转化为已知条件的形式，考查学生对提公因式法的掌握及代数变形能力，难度较低。
【难度系数】0.7

例4 (宁波市鄞州区)教科书中这样写道:“我们把多项式$a^2+2ab+b^2$及$a^2-2ab+b^2$叫作完全平方式。”如果一个多项式不是完全平方式,我们常做如下变形:先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变,这种方法叫作配方法。配方法是一种重要的解决问题的数学方法,不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式,还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等。例如将$x^2+2x-3$分解因式:$x^2+2x-3=(x^2+2x+1)-4=(x+1)^2-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1)$。例如求代数式$2x^2+4x-6$的最小值:$2x^2+4x-6=2(x^2+2x-3)=2(x+1)^2-8$。可知当$x=-1$时,$2x^2+4x-6$有最小值,最小值是$-8$。根据阅读材料用配方法解决下列问题:
(1)分解因式:$m^2-4m-5=$$\underline{\hspace{5em}}$。
(2)当$a,b$为何值时,多项式$a^2+b^2-4a+6b+18$有最小值? 请求出这个最小值。
(3)当$a,b$为何值时,多项式$a^2-2ab+2b^2-2a-4b+27$有最小值? 请求出这个最小值。

(1)$m^2-4m-5=m^2-4m+4-9=(m-2)^2-9=(m-2+3)(m-2-3)=(m+1)(m-5)$。
故答案为$(m+1)(m-5)$。
(2)因为$a^2+b^2-4a+6b+18=(a-2)^2+(b+3)^2+5$,所以当$a=2,b=-3$时,多项式$a^2+b^2-4a+6b+18$有最小值5。
(3)因为$a^2-2ab+2b^2-2a-4b+27=a^2-2a(b+1)+(b+1)^2+(b-3)^2+17=(a-b-1)^2+(b-3)^2+17$,所以当$a=4,b=3$时,多项式$a^2-2ab+2b^2-2a-4b+27$有最小值17。

【分析】
本题利用配方法，通过添加适当项凑完全平方式，结合平方的非负性解决问题：第(1)题通过配方法转化为平方差形式分解因式；第(2)(3)题将多项式分组凑成关于字母的完全平方式，利用平方≥0的性质，当所有平方项为0时，多项式取得最小值。
【解析】
(1) 对多项式$m^2-4m-5$配方法凑完全平方式：
$m^2-4m-5 = (m^2-4m+4) - 4 -5 = (m-2)^2 - 9$，
再利用平方差公式分解：
$(m-2)^2 - 3^2 = (m-2+3)(m-2-3) = (m+1)(m-5)$。
(2) 对多项式$a^2+b^2-4a+6b+18$分组配方法：
$a^2+b^2-4a+6b+18 = (a^2-4a+4) + (b^2+6b+9) -4 -9 +18 = (a-2)^2 + (b+3)^2 +5$，
因为$(a-2)^2 ≥ 0$，$(b+3)^2 ≥0$，当$(a-2)^2=0$且$(b+3)^2=0$时，即$a=2$，$b=-3$，多项式取得最小值，最小值为5。
(3) 对多项式$a^2-2ab+2b^2-2a-4b+27$分组配方法：
先将$a$作为主元凑完全平方式：
$a^2-2a(b+1) + (b+1)^2 - (b+1)^2 +2b^2 -4b +27 = (a-b-1)^2 + b^2 -6b +26$，
再对$b$凑完全平方式：
$b^2-6b+26 = (b-3)^2 -9 +26 = (b-3)^2 +17$，
因此原式$=(a-b-1)^2 + (b-3)^2 +17$，
因为平方项非负，当$(a-b-1)^2=0$且$(b-3)^2=0$时，即$b=3$，$a=3+1+3=4$，多项式取得最小值，最小值为17。
【答案】
(1)$(m+1)(m-5)$；(2)当$a=2$，$b=-3$时，最小值为5；(3)当$a=4$，$b=3$时，最小值为17。
【知识点】
配方法、完全平方公式、因式分解
【点评】
本题考查配方法的应用，核心是通过凑完全平方式将多项式转化为平方和形式，利用平方的非负性解决因式分解与最值问题，需注意分组时的符号处理及常数项调整，是初中代数的重要方法。
【难度系数】
0.4

5.(杭州市萧山区)若$M=(2a-3)(3a-1),N=2a(a-\dfrac{3}{2})-1,$则M,N的大小关系是 ()
A.M≥ N
B.M＞N
C.M
D.由a的取值决定

A

【分析】要比较两个代数式M和N的大小，通常采用作差法，计算M与N的差，通过判断差的正负性确定两者的大小关系。具体步骤为：先分别展开M和N的表达式，再计算M-N，对结果化简、因式分解，最后利用平方的非负性判断差的符号。
【解析】
1. 展开并化简M：
$M=(2a-3)(3a-1)=2a·3a + 2a·(-1) + (-3)·3a + (-3)·(-1)=6a^2 -2a -9a +3=6a^2 -11a +3$
2. 展开并化简N：
$N=2a(a-\dfrac{3}{2})-1=2a· a + 2a·(-\dfrac{3}{2})-1=2a^2 -3a -1$
3. 计算M-N并化简：
$M-N=(6a^2 -11a +3)-(2a^2 -3a -1)=6a^2 -11a +3 -2a^2 +3a +1=4a^2 -8a +4$
4. 因式分解判断符号：
$4a^2 -8a +4=4(a^2 -2a +1)=4(a-1)^2$
因为对于任意实数a，$(a-1)^2≥0$，所以$4(a-1)^2≥0$，即$M-N≥0$，故$M≥ N$。
【答案】A
【知识点】代数式大小比较、作差法、完全平方公式因式分解
【点评】本题是整式运算中比较代数式大小的基础题型，核心方法为作差法，通过整式展开、合并同类项、因式分解后利用平方的非负性得出结论，考查学生对整式运算和因式分解的掌握情况，难度适中。
【难度系数】0.7

6.(杭州市西湖区)将多项式$x^2 - 3x + 2$分解因式:$x^2 - 3x + 2 = (x - 2)(x - 1)$,说明多项式$x^2 - 3x + 2$有一个因式为$x - 1$,还可知:当$x - 1 = 0$时,$x^2 - 3x + 2 = 0$。利用上述阅读材料解答以下两个问题:
(1)若多项式$x^2 + kx - 8$有一个因式为$x - 2$,求$k$的值。
(2)若$x + 2,x - 1$是多项式$2x^3 + ax^2 + 7x + b$的两个因式,求$a,b$的值。

(1)令$x-2=0$,即当$x=2$时,$4+2k-8=0$,解得$k=2$。
(2)令$x=-2$,则$-16+4a-14+b=0①$,令$x=1$,则$2+a+7+b=0②$,由①②得$a=13,b=-22$。

【分析】
本题利用材料给出的规律：若多项式有因式$x - m$，则当$x = m$时，该多项式的值为0解题。问题（1）中，已知多项式有因式$x - 2$，令$x = 2$代入多项式使其值为0，即可求解$k$；问题（2）中，多项式有两个因式$x + 2$和$x - 1$，分别令$x = -2$和$x = 1$代入多项式得到两个方程，联立方程组求出$a$、$b$的值。
【解析】
（1）因为多项式$x^2 + kx - 8$有一个因式为$x - 2$，根据规律，当$x - 2 = 0$即$x = 2$时，多项式的值为0。将$x = 2$代入多项式得：
$2^2 + 2k - 8 = 0$
化简得：$4 + 2k - 8 = 0$，即$2k - 4 = 0$，解得$k = 2$。
（2）因为$x + 2$、$x - 1$是多项式$2x^3 + ax^2 + 7x + b$的两个因式，所以：
当$x + 2 = 0$即$x = -2$时，多项式的值为0，代入得：
$2×(-2)^3 + a×(-2)^2 + 7×(-2) + b = 0$
计算得：$-16 + 4a - 14 + b = 0$，整理为$4a + b = 30$ ①；
当$x - 1 = 0$即$x = 1$时，多项式的值为0，代入得：
$2×1^3 + a×1^2 + 7×1 + b = 0$
计算得：$2 + a + 7 + b = 0$，整理为$a + b = -9$ ②；
用① - ②消去$b$：$(4a + b) - (a + b) = 30 - (-9)$，即$3a = 39$，解得$a = 13$；
将$a = 13$代入②得：$13 + b = -9$，解得$b = -22$。
【答案】
(1)$k = 2$；(2)$a = 13$，$b = -22$
【知识点】
因式分解的应用，多项式的因式性质，二元一次方程组的解法
【点评】
本题为材料阅读型题目，核心是理解多项式的因式与多项式值的对应关系，将因式转化为$x$值代入计算，步骤清晰，主要考查学生提取材料信息和基础计算能力。
【难度系数】
0.7